Questions du sujet
1. Montrer, pour tout entier relatif $m$, que $u_m$ est $2\pi$-périodique, continue sur $\mathbb{R}$ et que l’on a la relation suivante : \[ \int_0^{2\pi} |u_m(y)|^2 dy = 2\pi \sum_{n \in \mathbb{Z}} |a_{m,n}(u)|^2. \] } 2. Pour tout réel $y$, établir l’identité \[ \sum_{m \in \mathbb{Z}} |u_m(y)|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |u(x, y)|^2 dx. \] } 3. Prouver que la série double \[ \sum_{m \in \mathbb{Z}} \sum_{n \in \mathbb{Z}} |a_{m,n}(u)|^2 \] converge et établir l’identité \[ \sum_{m \in \mathbb{Z}} \sum_{n \in \mathbb{Z}} |a_{m,n}(u)|^2 = \frac{1}{4\pi^2}\int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} |u(x, y)|^2 dx\,dy. \] } 4. Prouver que pour tout couple de réels $(x, y)$, la série double suivante est sommable : \[ \sum_{m \in \mathbb{Z}} \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_{m,n}(u) e^{imx + iny}. \] On pose alors \[ v(x, y) = \sum_{m \in \mathbb{Z}} \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_{m,n}(u) e^{imx + iny}. \] } 5. Prouver que $v$ ainsi définie est continue.} 6. Démontrer que $v$ est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}^2$ et que pour tout couple $(k, l)$ d’entiers naturels : \[ \frac{\partial^{k+l} v}{\partial x^k\partial y^l}(x, y) = \sum_{m \in \mathbb{Z}} \sum_{n \in \mathbb{Z}} (im)^k (in)^l a_{m,n}(u) e^{imx + iny}. \] } 7. Soit un réel $y$. Montrer que pour tout entier relatif $k$, \[ \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} v(x, y) e^{-ikx} dx = \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_{k, n}(u) e^{iny}. \] } 8. Pour tout couple $(k, l)$ d’entiers relatifs, calculer $a_{k, l}(v)$.} 9. En déduire que $u = v$.} 10. Pour tout couple d’entiers relatifs $(m, n)$, exprimer $a_{m,n}\left(\frac{\partial u_0}{\partial x}\right)$ en fonction de $a_{m,n}(u_0)$.} 11. Démontrer, pour tous les entiers naturels $k$ et $l$, que la suite double \[ \left(|a_{m,n}(u_0)|(1 + |m|)^k (1 + |n|)^l\right)_{(m,n)\in\mathbb{Z}^2} \] est bornée. } 12. Construire une fonction $u$ qui soit solution du problème posé. \textit{Indication : on pourra chercher $u$ sous la forme} \[ u(t, x, y) = \sum_{m \in \mathbb{Z}} \sum_{n \in \mathbb{Z}} \varphi_{m, n}(t) \alpha_{m, n} e^{imx + iny}. \] } 13. Soit $u(t, x, y)$ une solution du problème précédent. Pour $t$ réel positif, on pose \[ E_u(t) = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} |u(t, x, y)|^2 dx dy + \int_0^{t} \left( \int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} \left| \frac{\partial u}{\partial x}(s, x, y) \right|^2 + \left| \frac{\partial u}{\partial y}(s, x, y) \right|^2 dx\,dy \right) ds. \] Montrer que la fonction $E_u$ est continue sur $\mathbb{R}_+$ et dérivable sur $\mathbb{R}^*_+$. Exprimer sa dérivée sous forme d’une intégrale sur $[0, 2\pi]^2$. } 14. Pour tout $(t, x, y)$ appartenant à $\mathbb{R}^*_+ \times \mathbb{R}^2$, établir l’identité suivante : \[ \left( \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial \bar{u}}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial \bar{u}}{\partial y} + \frac{u}{2} \frac{\partial \bar{u}}{\partial t} + \frac{\bar{u}}{2} \frac{\partial u}{\partial t} \right)(t, x, y) = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} \left( u \frac{\partial \bar{u}}{\partial x} + \bar{u} \frac{\partial u}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( u \frac{\partial \bar{u}}{\partial y} + \bar{u} \frac{\partial u}{\partial y} \right) \right) (t, x, y) \] } 15. Prouver que $E_u(t) = E_u(0)$ pour tout $t > 0$.} 16. Montrer que le problème posé possède au plus une solution.}FAQ
Les séries de Fourier doubles permettent de représenter une fonction périodique de deux variables, ici u(x, y), comme une somme infinie de fonctions oscillantes. Dans ce sujet, elles servent à traduire analytiquement les propriétés de régularité, de convergence et d’orthogonalité qui régissent les solutions d’équations aux dérivées partielles sur le domaine du tore (carré [0,2π]^2 avec conditions périodiques). Comprendre leur emploi est essentiel pour aborder efficacement la résolution des exercices de ce type aux concours. Pour un corrigé détaillé sur l’utilisation concrète des séries de Fourier, pense à débloquer les corrigés de Prépa Booster !
Dans les sujets d’équations aux dérivées partielles des concours CPGE, comme ici, on attend souvent de montrer que la solution est non seulement continue, mais aussi de classe C∞ (lisse) sur l’ensemble des variables. Cette régularité est cruciale : elle garantit que les manipulations (dérivations, développement en séries, changements d’ordre de sommation ou d’intégration) sont toutes justifiées. Cela permet aussi de contrôler la convergence des séries représentatives et d’assurer l’unicité de la solution. Ce genre de maîtrise technique est évalué dans toutes les épreuves Mines-Ponts, donc il faut bien s’entraîner !
Les identités d’énergie relient généralement des expressions impliquant la norme au carré de la solution u et de ses dérivées à une énergie totale, souvent conservée ou décroissante, comme ici avec la fonction E_u(t). Elles traduisent des lois de conservation (énergie, masse) très présentes en physique et mathématiques appliquées. La capacité à établir ces égalités ou à en déduire l’unicité de la solution est indispensable en CPGE scientifique. Pour approfondir la compréhension de ce mécanisme et voir des corrigés types, tu peux débloquer l’accès à tous nos corrigés et exercices sur Prépa Booster.
Les coefficients a_{m,n}(u) sont tout simplement les coefficients de la série de Fourier double de la fonction u(x, y) sur le domaine [0,2π]^2. Ils mesurent la contribution de chaque mode oscillant e^{imx+iny} à la fonction globale. Pour les calculer, il faut intégrer u contre les fonctions e^{-imx-iny} sur le domaine, en utilisant la formule d’orthogonalité des exponentielles complexes. Maîtriser ce calcul te servira non seulement en maths, mais aussi en physique pour les séries de Fourier à deux variables.
La convergence des séries, en particulier des séries doubles, repose sur les propriétés d’orthogonalité des fonctions de base (exponentielles ou trigonométriques) ainsi que sur la régularité et l’intégrabilité de u. Ici, le sujet t’amène à utiliser le théorème de Parseval, qui relie la somme des carrés des coefficients (norme l^2) à la norme L^2 de la fonction, garantissant ainsi la convergence de la série dans ce cadre. Ce processus est fondamental à connaître pour tout concours scientifique niveau Mines-Ponts.
Ce sujet couvre des thèmes incontournables en analyse pour la filière PC : convergence de séries, méthodes de Fourier, analyse fonctionnelle sur les espaces de fonctions, régularité et unicité des solutions d’EDP, et manipulation d’intégrales multiples. Il t’entraîne à mobiliser théorie, calculs rigoureux et capacités rédactionnelles précises – qualités recherchées et valorisées dans les copies au concours. Si tu veux t’entraîner efficacement, n’hésite pas à tester le dashboard personnalisé et toutes les ressources sur Prépa Booster en débloquant les corrigés.