Questions du sujet
1. Montrer que si $A$ est positive, alors pour toute matrice réelle $M \in \mathcal{M}_{n,p}$, la matrice $^t\!M A M$ est symétrique positive. 2. Montrer que toutes les puissances entières d’une matrice symétrique positive $A$ sont positives. 3. Montrer que $A \in \mathcal{S}_n$ est positive, respectivement définie positive, si et seulement si les valeurs propres de $A$ sont toutes positives, respectivement strictement positives. 4. Si $A$ est définie positive, montrer qu’il existe une matrice $C$, symétrique définie positive telle que $C^2 = A$. 5. Si $A$ et $C$ sont symétriques définies positives et $C^2 = A$, montrer que, pour toute valeur propre $\lambda$ de $A$, on a~: \[\ker(A – \lambda I_n) = \ker\left(C – \sqrt{\lambda} I_n \right).\]} 6. En déduire que si $A$ est définie positive, il existe une unique matrice symétrique définie positive $C$ telle que $C^2 = A$ et que dans toute base orthonormale de vecteurs propres de $A$, la matrice $C$ est diagonale.\\ On notera désormais $C = A^{1/2}$. 7. On suppose $A$ définie positive. Montrer que $A$ est inversible et qu’il existe une unique matrice, notée $A^{-1/2}$, symétrique définie positive telle que $A^{-1/2}A^{-1/2} = A^{-1}$. 8. Prouver que $(A^{1/2})^{-1} = A^{-1/2}$. 9. Montrer que l’ordre de Löwner est une relation d’ordre sur $\mathcal{S}_n$. 10. Soit $B \in \mathcal{S}_n$ avec $A \preceq B$. Montrer que pour toute matrice réelle $C \in \mathcal{M}_{n,p}$, la relation $^t\!CA C \preceq\, ^t\!CB C$ est vérifiée.} 11. Montrer que si $I_n \preceq A$ alors $A$ est inversible et $A^{-1} \preceq I_n$. 12. En déduire que si $0_n \prec A \preceq B$ alors $B$ est inversible et $B^{-1} \preceq A^{-1}$. 13. Donner un système de conditions nécessaires et suffisantes portant sur les réels $a$, $b$ et $c$ pour que la matrice $D = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ soit positive. 14. On considère les deux matrices suivantes~: \[D = \begin{pmatrix} a & b \\ b & 1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B = \begin{pmatrix} 2a & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}.\] Montrer qu’il existe des réels $a$ et $b$ de sorte que $0_n \preceq D \preceq B$ mais que $D^2 \not\preceq B^2$. 15. On considère $f$ une fonction de $\mathbb{R}_+$ dans $\mathbb{R}$ et l’on note $R = P f(\Delta) P^{-1}$. Soit $X \in \mathcal{M}_{n,1}$ et $\lambda$ un réel positif tels que $MX = \lambda X$. Calculer $R X$.} 16. Montrer que, pour toutes matrices $P$ et $Q$ inversibles et toutes matrices diagonales $\Delta_P$ et $\Delta_Q$ de $\mathcal{M}_n$ telles que $M = P \Delta_P P^{-1} = Q \Delta_Q Q^{-1}$, on a : \[P f(\Delta_P)P^{-1} = Q f(\Delta_Q)Q^{-1}.\] 17. Pour $r \in \mathbb{R}$, on pose $\varphi_r(s) = s^{-r-1}$. Pour quelles valeurs de $r$ a-t-on $\varphi_r \in E$~? Exprimer alors, pour tout $t > 0$, $L_{\varphi_r}(t)$ en fonction de $L_{\varphi_r}(1)$~. 18. Soit $s \geq 0$. On pose pour tout $t \geq 0$, $f_s(t) = 1 – \frac{1}{1 + s t}$. Exprimer $f_s(A)$ lorsque $A$ est une matrice symétrique positive. 19. Montrer que $f_s$ est matriciellement croissante sur $\mathbb{R}_+$. 20. Pour toute matrice $A \in \mathcal{S}_n$ positive et toute matrice colonne $X \in \mathcal{M}_{n,1}$, établir l’identité~: \[(L_\varphi(A)X | X) = \int_0^{+\infty} \varphi(s)(f_s(A) X | X)\,ds.\]} 21. Montrer que, pour toute $\varphi \in E$, l’application $L_\varphi$ est matriciellement croissante sur $\mathbb{R}_+$. 22. Soient $A$ et $B$ deux matrices symétriques telles que $0 \preceq A \preceq B$. Compte-tenu des questions précédentes, pour quelles valeurs du réel positif $r$, pouvez-vous montrer que $A^r \preceq B^r$~?}FAQ
Une matrice symétrique positive est une matrice carrée réelle, symétrique, dont toutes les valeurs propres sont positives ou nulles. Si elles sont toutes strictement positives, on parle de définitive positive. Ce sont des outils centraux en algèbre linéaire et en analyse car elles modélisent beaucoup de situations où il y a une notion de distance, d’énergie ou d’optimisation. Leur propriété clé : elles généralisent la notion du carré d’un nombre réel, ce qui est essentiel dans de nombreux problèmes d’ingénierie, de physique, et d’optimisation.
Pour démontrer qu’une matrice symétrique réelle A est définie positive, tu peux utiliser plusieurs critères équivalents : toutes ses valeurs propres sont strictement positives, ou pour tout vecteur X non nul, le produit scalaire (AX|X) est strictement positif. Tu peux aussi utiliser le critère de Sylvester (tous les mineurs principaux strictement positifs) pour les matrices réelles. Cette analyse fait partie des incontournables dans les sujets d’algèbre des concours scientifiques, et c’est attendu aussi bien à l’écrit qu’à l’oral.
L’ordre de Löwner, noté A ⪯ B, signifie que la matrice B – A est positive (ou définie positive). C’est un ordre partiel sur l’ensemble des matrices symétriques, très utilisé pour comparer des matrices positives. Cela permet par exemple de généraliser des inégalités de réels au monde matriciel, avec des applications majeures en physique mathématique, en statistiques (cov-ariances) et en optimisation matricielle. Maîtriser les subtilités de cet ordre te donne de sérieux atouts en maths de prépa.
Dans le contexte du sujet Mines-Ponts 2006, prendre la racine carrée d’une matrice (notée A^{1/2}) ou même A^r pour un exposant réel, cela signifie trouver une matrice symétrique positive (quand elle existe) telle que sa puissance r donne A. Pour les matrices diagonalisables à valeurs propres strictement positives, ça revient à appliquer la fonction racine sur les valeurs propres sur la base des vecteurs propres. C’est fondamental pour la théorie spectrale et de nombreuses applications scientifiques.
La diagonalisation des matrices symétriques réelles s’appuie fortement sur le théorème spectral : toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormale (base de vecteurs propres). Cela rend tous les calculs de puissances, d’inverses ou d’applications fonctionnelles (f(A)) beaucoup plus accessibles, car il suffit de manipuler la matrice diagonale. Cette compétence est indispensable dans les sujets difficiles d’algèbre du concours Mines-Ponts, et bien sûr pour tes futures études en sciences ou ingénierie.
Appliquer une fonction à une matrice, c’est exploiter la diagonalisation : si A = PDP^{-1} et D diagonale, alors f(A) = Pf(D)P^{-1} où f(D) consiste à appliquer f à chaque valeur propre. Évidemment, il faut que f soit définie sur le spectre (ensemble des valeurs propres) de A. Cette notion est capitale pour construire, par exemple, des exponentielles de matrices, des racines carrées, ou pour généraliser de nombreuses idées analytiques dans le cadre matriciel.
Dès que tu rencontres une matrice hessienne symétrique définie positive dans une fonction à plusieurs variables, tu sais que le point critique associé est un minimum local : c’est une application directe de l’algèbre linéaire à l’analyse. Encore une fois, la maîtrise de ce concept revient systématiquement dans les sujets de concours, et il te rendra service dans tous les domaines scientifiques et techniques abordant l’optimisation.
Attention notamment à ne pas confondre matrice positive (toutes les valeurs propres positives ou nulles) et définie positive (toutes strictement positives) ; à ne pas supposer trop vite l’inversibilité ; et à bien vérifier si les résultats sont vrais pour une matrice quelconque ou seulement dans le cas symétrique. Manipule avec rigueur le passage à la diagonale, la notion de racine ou de puissance, et les liens avec l’ordre de Löwner. Pense à relire les corrigés détaillés sur Prépa Booster pour t’imprégner des subtilités rencontrées en vraies situations de concours !
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