Questions du sujet
1. Déterminer le domaine de définition de $\sigma$ puis justifier que $\sigma$ est continue sur celui-ci.
2. Exhiber deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que :
\[
\forall n \in \mathbb{N}^\ast, \int_0^{\pi} (\alpha t^2 + \beta t) \cos(nt) \, dt = \frac{1}{n^2},
\]
puis vérifier que si $t \in ]0, \pi]$, alors :
\[
\forall n \in \mathbb{N}^\ast, \sum_{k=1}^n \cos(kt) = \frac{\sin\left( \frac{(2n+1)t}{2} \right)}{2 \sin\left( \frac{t}{2} \right)} – \frac{1}{2}.
\]
3. Justifier que, si $\varphi$ est une application de classe $\mathcal{C}^1$ de $[0, \pi]$ dans $\mathbb{R}$, alors
\[
\lim_{x \to +\infty} \int_0^{\pi} \varphi(t) \sin(xt) dt = 0,
\]
et en conclure que
\[
\sigma(1) = \frac{\pi^2}{6}.
\]
4. Déterminer le domaine de définition de $f$ puis vérifier que
\[
\forall x \in I, \quad (x+1)f(x) = (x+2)f(x+2).
\]
5. Justifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$, décroissante et convexe sur $I$.}
6. Donner un équivalent simple de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-1$.
7. Montrer que pour tout entier naturel $n$,
\[
f(n)f(n+1) = \frac{\pi}{2(n+1)}
\]
puis que :
\[
f(x) \underset{x\to +\infty}{\sim} \sqrt{\frac{\pi}{2x}}.
\]
8. Représenter graphiquement $f$ en exploitant au mieux les résultats précédents.
9. Justifier que, si $n \in \mathbb{N}$, l’intégrale généralisée $D_n$ est convergente, puis montrer que
\[
D_1 = \int_0^{\pi/2} \ln(\cos(t))\, dt.
\]
10. Calculer $f'(0)$ et $f'(1)$.}
11. Vérifier que si $n \in \mathbb{N}^\ast$, alors
\[
(-1)^n D_n = \int_0^{+\infty} \frac{u^n}{\sqrt{e^{2u}-1}}\, du,
\]
puis que
\[
D_n \underset{n \to +\infty}{\sim} (-1)^n n!
\]
12. Démontrer que $f$ est développable en série entière sur $]-1,1[$.
13. Montrer que $\Psi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$, puis que pour tout $x \in \mathbb{R}$,
\[
\Psi'(x) = 4 \sum_{k=1}^{\infty} \rho^k \sin(2kx).
\]
14. En déduire que pour tout $x \in \mathbb{R}$,
\[
\Psi(x) = 2 \ln\left(\frac{a+b}{2}\right) – 2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(2k x)}{k} \rho^k.
\]
15. En conclure que
\[
\int_0^{\pi} \Psi(x)^2 dx = 4\pi \left(\ln\left(\frac{a+b}{2}\right)\right)^2 + 2\pi \sigma(\rho^2).
\]}
16. Établir la convergence simple de la suite d’applications $(\Psi_n)_{n \in \mathbb{N}^\ast}$, de $]0, \pi]$ dans $\mathbb{R}$, définie par :
\[
\forall n \in \mathbb{N}^\ast, \forall t \in ]0, \pi],\quad \Psi_n(t) = \ln(a_n^2 \cos^2 t + b_n^2 \sin^2 t).
\]
En déduire $f”(0)$.
17. Vérifier que $f$ est une application de $I$ dans $\mathbb{R}$ ln-convexe.
18. Montrer que
\[
\forall p \in \mathbb{N}^\ast,\, \forall x \in \mathbb{R}_+, \quad \tilde{f}(x + p) = \tilde{f}(x) + \sum_{k=0}^{p-1} \ln\left( \frac{2x+2k+1}{2x+2k+2} \right).
\]
19. On suppose ici que $x \in \mathbb{R}^\ast_+$, $(n,p) \in (\mathbb{N}^\ast)^2$ et $x \leq p$. Vérifier que
\[
\tilde{f}(n) – \tilde{f}(n-1) \leq \frac{\tilde{f}(n+x) – \tilde{f}(n)}{x} \leq \frac{\tilde{f}(n+p) – \tilde{f}(n)}{p}
\]
et que $\tilde{f}(n+x) – \tilde{f}(n)$ admet une limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
20. En conclure que $f$ est la seule application de $I$ dans $\mathbb{R}$, qui soit ln-convexe, qui vérifie (1) et telle que $f(0) = \frac{\pi}{2}$.}
21. Plus généralement, déterminer, si $T \in \mathbb{R}^\ast_+$, toutes les applications $g$ de $]-T, +\infty[$ dans $\mathbb{R}$, ln-convexes et vérifiant
\[
\forall t \in ]-T, +\infty[, \quad (t+T)g(t) = (t+2T)g(t+2T).
\]
22. Existe-t-il une application $h$, de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et ln-convexe, vérifiant
\[
\forall t \in \mathbb{R}, \quad (t+T)h(t) = (t+2T)h(t+2T) ?
\]}