Questions du sujet
1. Exhiber toutes les matrices de $U_n$ pour $n = 2$ et $3$, et déterminer les valeurs correspondantes de $u_n$. (Dans le cas $n = 3$, on pourra raisonner sur la position des éléments nuls dans chacune de ces matrices.) 2. Soit $X_0$ le vecteur de $\mathbb{R}^n$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$ et $J$ la matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$. Si $A \in U_n$, montrer que $X_0$ est un vecteur propre de $A$. Quelle est la valeur propre associée ? 3. Soit $H_n$ l’ensemble des éléments de $U_n$ comportant un $1$ en position $(1,1)$. On note $h_n$ le cardinal de $H_n$. Calculer la somme de toutes les matrices de $U_n$ en fonction de $h_n$ et de $J$. 4. Établir la relation $u_n = n^2 h_n$ pour tout $n \geq 2$. (On pourra s’aider des deux questions précédentes.) 5. Soit $K_n$ l’ensemble des éléments de $H_n$ comportant un $1$ en position $(1,2)$ et un $1$ en position $(2,1)$. On note $k_n$ le cardinal de $K_n$. Pour tout $n \geq 2$, établir une relation donnant $h_n$ en fonction de $k_n$ et de $(n-1)^2$.} 6. En examinant les possibilités pour le coefficient situé en position $(2,2)$, démontrer la relation $k_n = u_{n-2} + h_{n-1}$ pour tout $n \geq 4$. 7. On pose $w_n = \dfrac{u_n}{(n!)^2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Déduire de ce qui précède une relation de récurrence pour la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$, puis pour la suite $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$. 8. Prouver que $w_n \in [0,1]$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, et que la série de terme général $w_n$ diverge. Que peut-on en déduire pour le rayon de convergence de la série entière $\sum w_n x^n$ ? 9. On pose $W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} w_n x^n$ pour tout $x \in ]-1, 1[$. Donner une équation différentielle vérifiée par $W$ et en déduire une expression de $W(x)$ en fonction de $x$. 10. Cette partie permet d’obtenir un équivalent de $u_n$ pour $n \to +\infty$. Soit $\alpha$ un réel et $\beta$ un réel $> 0$. On considère la fonction $\varphi$ définie pour $x \in ]-1,1[$ par la formule :\[\varphi(x) = \dfrac{e^{\alpha x}}{(1-x)^{\beta}}\]. Montrer que $\varphi(x)$ est la somme d’une série entière $\sum \varphi_n x^n$ pour tout $x \in ]-1, 1[$.} 11. Montrer que si $x \in ]-1, 1[$, on peut écrire :\[\frac{1}{(1-x)^{\beta}} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\]où l’on exprimera les coefficients $a_n$ en fonction de $n!$, $\Gamma(\beta)$ et $\Gamma(n+\beta)$. 12. En déduire que $\varphi_n = \dfrac{\psi_n}{n! \, \Gamma(\beta)}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, où l’on a posé :\[\psi_n = \int_0^{\infty} u^{\beta-1} e^{-u} (\alpha+u)^n du.\] 13. On fixe $a \in \mathbb{R}$ tel que $a > |\alpha|$. À l’aide des variations de la fonction $u \mapsto e^{-u} (\alpha+u)^n$ définie pour tout $u \geq -\alpha$, montrer que\[ \left| \int_0^a u^{\beta-1} e^{-u} (\alpha+u)^n du \right| \]est négligeable devant $\int_a^{\infty} u^{\beta-1} e^{-u} (\alpha+u)^n du$ quand $n \to +\infty$. 14. En déduire qu’il existe $a > |\alpha|$ tel que $\psi_n$ soit équivalent à l’intégrale\[ \int_a^{\infty} e^{-u} (\alpha+u)^{n+\beta-1} du \]quand $n \to +\infty$. 15. En conclure que les suites $\psi_n$ et $e^{\alpha} \Gamma(n+\beta)$ sont équivalentes.} 16. On revient sur la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie au début du problème. Établir un équivalent de $\varphi_n$, puis de $u_n$ quand $n \to +\infty$. On prendra soin de simplifier l’équivalent trouvé de $u_n$ en utilisant la formule de Stirling. 17. Dans cette partie, on cherche à déterminer le rang $r_n$ du système constitué des $u_n$ matrices de $U_n$, considérées comme des éléments de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On rappelle que $X_0$ est le vecteur de $\mathbb{R}^n$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$, et que $J$ est la matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$. Calculer $r_n$ pour $n = 2$ et $3$. (Dans le cas $n = 3$, on pourra considérer les matrices $J – A$, où $A \in U_3$.) 18. On considère l’espace vectoriel $V_n$ des matrices $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $X_0$ soit à la fois un vecteur propre pour $A$ et pour sa transposée $A^T$. Montrer que $U_n \subset V_n$ et comparer les valeurs propres de $A$ et de $A^T$ associées à $X_0$ lorsque $A \in V_n$. 19. Déterminer la dimension de $V_n$. (On pourra considérer une base orthonormée de $\mathbb{R}^n$ dont un des vecteurs est colinéaire à $X_0$.) En déduire une majoration sur $r_n$. 20. Pour $n \geq 3$, soit $A$ une matrice de $U_n$ comportant des $1$ en positions $(1,1)$ et $(2,2)$ et des $0$ en positions $(1,2)$ et $(2,1)$. Montrer qu’il existe une matrice $B$ de $U_n$ telle que $A – B$ ne comporte que des éléments nuls, sauf en positions $(i,j)$ pour $i \geq 2$ et $j \geq 2$. En déduire que si $r’_n$ désigne le rang du système constitué de toutes les matrices $U – V$ où $U, V \in U_n$, on a $r’_n \geq (n-1)^2$.} 21. Conclure.}FAQ
Tu dois être très à l’aise avec la manipulation des matrices, le calcul du rang, les ensembles de matrices à propriétés particulières (éléments nuls, matrices à coefficients 1 etc.), et la compréhension approfondie des vecteurs propres, valeurs propres et diagonalisation. De plus, une solide pratique des espaces vectoriels et de la double application du théorème de transfert entre une matrice et sa transposée sera indispensable.
Les fonctions génératrices et les séries entières sont utilisées ici pour étudier la suite (uₙ) et fournir une description fine de son comportement asymptotique. Elles te permettent de relier une suite à une fonction plus facile à manipuler analytiquement, et surtout de dériver des équivalents précis grâce à des techniques telles que le théorème de Stirling et l’étude du rayon de convergence. C’est une approche classique et puissante pour établir des résultats d’asymptotique ou des formules explicites liées aux combinaisons matricielles.
Le vecteur X₀ (tous les coefficients égaux à 1) et la matrice J (tous les coefficients égaux à 1) sont utilisés ici car ils révèlent la structure globale des matrices considérées. Étudier leurs interactions avec les matrices de Uₙ permet d’identifier des propriétés cruciales comme la symétrie, les valeurs propres associées, et simplifie grandement les calculs. Ces outils sont des classiques de l’analyse matricielle, car ils facilitent la description des sous-espaces invariants et des actions collectives sur les vecteurs particuliers.
Ce sujet illustre parfaitement comment une situation de dénombrement (combinatoire) peut être reformulée comme un problème matriciel. Les cardinaux des ensembles étudiés (Uₙ, Hₙ, Kₙ, etc.) sont reliés à des propriétés précises des matrices (emplacement des 1 et des 0, symétries, etc.). Cela t’apprend à traduire des problèmes combinatoires en langage matriciel, ce qui ouvre la voie à des résolutions puissantes via l’algèbre linéaire.
Dans les dernières parties du sujet, il te faut bien maîtriser les notions d’équivalent de suites, la formule de Stirling pour les factoriels, et les techniques d’analyse asymptotique via les intégrales, notamment l’estimation des intégrales à l’aide de changements de variables, de majorations/minorations, et d’études des extrêmes. Les résultats autour de la fonction Gamma, ainsi que les techniques pour démontrer qu’une partie d’une intégrale devient négligeable devant une autre, sont essentiels pour arriver au bon équivalent.
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Il est crucial de t’entraîner sur une large variété d’exercices : travaille les questions classiques de matrices, valeurs propres, équivalents de suites, intégrales, et manipulations combinatoires. Pense à chronométrer ton travail, à systématiquement rédiger proprement tes réponses, et à relire les corrigés pour assimiler les méthodes classiques, surtout celles des sujets des années précédentes. Pour progresser de façon ciblée et optimiser tes révisions, songe à débloquer les corrigés et à utiliser les fonctionnalités de suivi sur Prépa Booster !