Questions du sujet
1. Soit $f \in C^1_K(\mathbb{R}^2, \mathbb{R})$. Montrer que si $f$ est radiale, il existe $F \in C^1_K(\mathbb{R}^+; \mathbb{R})$ telle que \[ f(x) = F(\|x\|), \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}^2. \] 2. Soit $f \in C^1_K(\mathbb{R}^2; \mathbb{R})$; pour $x \in \mathbb{R}^2$, on considère la fonction \[ T_{f,x} : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R},\quad (y, \varphi) \longmapsto f(x + \mathrm{Rot}_\varphi(y)). \] Montrer que la fonction $T_{f, x}(y, \varphi)$ est continue sur $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}$ et que pour tout $y \in \mathbb{R}^2$, la fonction $\varphi \mapsto T_{f, x}(y, \varphi)$ est $2\pi$-périodique. 3. Montrer que la fonction \[ T_{f,x} : y \longmapsto \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} T_{f, x}(y, \varphi) \,\mathrm{d}\varphi \] est radiale. 4. Soit $x \in \mathbb{R}^2$, que l’on écrit $x = \|x\|u_\psi$ où $\psi$ appartient à $[0, 2\pi[$. Soit $\varphi \in [0, 2\pi[$ et $\theta \in [0, 2\pi[$. Montrer que l’ensemble \[ D_{x,\varphi} = \left\{ x + \mathrm{Rot}_\varphi(pu_\theta + tv_\theta),\ t \in \mathbb{R} \right\} \] est une droite dont on précisera les paramètres en fonction de $\|x\|$, $\psi$, $\varphi$, $p$ et $\theta$. On pourra commencer par étudier $D_{O,\varphi}$. 5. Soit $f \in C^1_K(\mathbb{R}^2; \mathbb{R})$. Soit $(x, R) \in \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^+$. Montrer que les applications \[ V_i : x_i \longmapsto \int_0^R f(x_1 + r\cos\theta, x_2 + r\sin\theta)\, r\, \mathrm{d}r, \quad i = 1, 2 \] \[ W_i : x_i \longmapsto \int_0^{2\pi} \int_0^R f(x_1 + r\cos\theta, x_2 + r\sin\theta)\, r\, \mathrm{d}r\, \mathrm{d}\theta, \quad i = 1, 2 \] sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et calculer leur dérivée.} 6. Soient $P$ et $Q$ deux éléments de $C^1_K(\mathbb{R}^2; \mathbb{R})$ et soit $(x, R) \in \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^+$. En utilisant la formule de Green-Riemann, montrer l’identité : \[ \int_0^{2\pi} \int_0^R \left( \frac{\partial Q}{\partial x_1}(x + r u_\theta) – \frac{\partial P}{\partial x_2}(x + r u_\theta) \right) r\, \mathrm{d}r\, \mathrm{d}\theta = \int_0^{2\pi} P(x + R u_\theta)(-R\sin\theta)\, \mathrm{d}\theta + \int_0^{2\pi} Q(x + R u_\theta)R\cos\theta\, \mathrm{d}\theta. \] 7. Établir, pour tout $(x, R) \in Q_A$, les deux identités suivantes : \[ \iint_{\mathbb{R}^2} f(y_1, y_2) \, \mathrm{d}y_1 \mathrm{d}y_2 = \iint_{\mathbb{R}^2} f(x_1 + z_1, x_2 + z_2) \, \mathrm{d}z_1 \mathrm{d}z_2 = \int_0^{2\pi} \int_0^R f(x_1 + r\cos\theta, x_2 + r\sin\theta)\, r\, \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta. \] 8. Soit $R > A$. Montrer que $W_1$ et $W_2$ sont constantes sur $B(O, R – A)^\circ$ et établir, pour tout $x \in B(O, R – A)^\circ$, les relations : \[ \int_0^{2\pi} f(x_1 + R\cos\theta, x_2 + R\sin\theta)\cos\theta\, \mathrm{d}\theta = 0 \] et \[ \int_0^{2\pi} f(x_1 + R\cos\theta, x_2 + R\sin\theta)\sin\theta\, \mathrm{d}\theta = 0. \] 9. Montrer que $y_1f$ et $y_2f$ satisfont les hypothèses du lemme. 10. Soit $(x, R) \in Q_A$. Montrer, pour tous les entiers $k$ et $l$, l’identité suivante : \[ \int_0^{2\pi} f(x + R u_\theta) \cos^k \theta \sin^l \theta\, \mathrm{d}\theta = 0. \] On pourra raisonner par récurrence sur $n = k + l$.} 11. Soit $(x, R) \in Q_A$. En déduire, pour tout entier $n$, les identités : \[ \int_0^{2\pi} f(x + R u_\theta)\cos(n\theta)\,\mathrm{d}\theta = 0 \qquad \text{et} \qquad \int_0^{2\pi} f(x + R u_\theta)\sin(n\theta)\,\mathrm{d}\theta = 0. \] 12. Établir, pour tout $(x, R) \in Q_A$, que \[ \int_0^{2\pi} f^2(x_1 + R\cos\theta, x_2 + R\sin\theta)\,\mathrm{d}\theta = 0. \] 13. Prouver le lemme. 14. Montrer, pour tout $\theta \in [0,2\pi[$ et pour tout $p > 0$, les identités suivantes : \[ \widehat{f}(\theta, p) = \widehat{f}(0, p) = 2 \int_0^{+\infty} F(\sqrt{p^2 + t^2})\,\mathrm{d}t. \] 15. Établir, pour tout $v > 0$, l’identité \[ \widehat{f}(0, \sqrt{v}) = \int_v^{+\infty} F(\sqrt{u})(u-v)^{-1/2}\,\mathrm{d}u. \]} 16. En déduire que $F$ est nulle sur $]A, +\infty[$. 17. Établir, pour tout $(\theta, p)$, l’identité \[ \widetilde{T}_{f, x}(\theta, p) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \int_\mathbb{R} T_{f, x}(pu_\theta + tv_\theta, \varphi)\, \mathrm{d}t\, \mathrm{d}\varphi. \] 18. Montrer pour tout $\theta \in [0,2\pi[$, la propriété : \[ \widetilde{T}_{f, x}(\theta, p) = 0 \text{ pour } p>A + \|x\|. \] 19. Quel est géométriquement, l’ensemble $\{x + \mathrm{Rot}_\varphi y,\, \varphi \in [0, 2\pi]\}$ ? Que signifie géométriquement la condition $\|y\| > A + \|x\|$ ? 20. Prouver le théorème.}FAQ
Une fonction radiale est une fonction définie sur ℝ² (ou plus généralement sur ℝⁿ) qui ne dépend que de la distance au centre, c’est-à-dire du module ‖x‖. Elle s’écrit donc f(x) = F(‖x‖), où F est une application de ℝ⁺ dans ℝ. Ce type de fonction est invariant par rotation : f(x) reste le même si on fait tourner x autour de l’origine. Retrouver ce lien te sera utile dans de nombreux problèmes en analyse ou en physique, et maîtriser cette notion est souvent récompensé dans les concours comme Mines-Ponts.
Le passage en coordonnées polaires transforme souvent des intégrales ardues en calculs beaucoup plus simples lorsque la situation est radiale ou possède une symétrie circulaire. Cela permet non seulement de simplifier les bornes d’intégration, mais aussi de révéler ou exploiter des invariances de rotation. On retrouve cet outil dans de nombreux exercices d’analyse de concours et il est incontournable pour travailler sur des domaines ou des fonctions présentant une symétrie circulaire.
La formule de Green-Riemann relie une intégrale double sur un domaine du plan à une intégrale curviligne sur le bord de ce domaine. Elle permet de transformer certains calculs d’aire ou d’intégrale en problèmes de circulation ou vice-versa. Cette formule est très présente dans les sujets de concours car elle te pousse à raisonner de manière géométrique sur les domaines, et à utiliser la symétrie ou les propriétés des fonctions pour simplifier les calculs. Maîtriser son application te donne un vrai avantage !
Une rotation dans le plan est une transformation isométrique qui fait tourner tous les points autour d’un point fixe (souvent l’origine) d’un même angle. Utiliser la rotation permet de simplifier de nombreux problèmes d’analyse, notamment lorsqu’il s’agit de fonctions invariantes par rotation ou d’intégrales sur des cercles. Les exercices utilisant la rotation testent ta rigueur dans le calcul et ta compréhension des symétries du plan, deux compétences clés pour briller au concours.
Travailler sur l’invariance et la symétrie te permet de découvrir des méthodes de simplification et de factorisation naturelles, exploitant la géométrie du problème. Cela permet souvent de réduire drastiquement la complexité d’un calcul ou de montrer rapidement certaines propriétés, ce que les correcteurs du concours apprécient particulièrement ! Pour aller plus loin, tu peux débloquer les corrigés sur Prépa Booster et avoir accès à des analyses détaillées de chaque type de symétrie rencontrée au concours.
Une fonction à support compact est nulle en dehors d’un certain domaine borné : elle est donc particulièrement adaptée aux intégrales sur tout ℝ². La différentiation et l’intégration se font alors sans risque de divergences aux bornes, ce qui simplifie de nombreux raisonnements dans les sujets. Ce type de fonction apparaît régulièrement, notamment dans la théorie de la transformation de Fourier ou des convolutions.
Les raisonnements par récurrence sur les puissances de sinus et cosinus sont un classique car ils montrent ta maitrise des identités trigonométriques et de la technique. Cela permet aussi d’aborder des familles d’intégrales ou d’égalités valables pour tout entier, qui peuvent souvent se relier à la théorie de Fourier ou à l’étude des symétries. Savoir les manipuler efficacement est un atout certain !
Géométriquement, l’ensemble obtenu en appliquant toutes les rotations à un point autour d’un centre forme un cercle. Si tu pars d’un point x et que tu fais tourner un vecteur y d’angle φ, tu décris précisément le cercle de centre x et de rayon ‖y‖. Cette compréhension est utile pour aborder des questions de support, d’intégration sur des lignes, ou encore d’invariance – des classiques du concours, qu’on retrouve dans ce sujet Mines-Ponts. Pour t’entraîner sur ce type de questions, pense à débloquer les corrigés et accéder à l’intégralité des exercices similaires sur Prépa Booster !