Questions du sujet
1. I-1. La suite des nombres premiers est illimitée :\\ Démontrer que la suite des nombres premiers est illimitée en considérant, par exemple, pour $n$ nombres premiers $p_1, p_2, \ldots, p_n$ donnés, l’entier $Q$ défini à partir de ces $n$ nombres premiers par la relation suivante :\\ $Q = p_1 p_2 \ldots p_n + 1 = \prod_{i=1}^{n} p_i + 1$. 2. I-2. Ensemble $M_n$ :\\ a. Justifier la relation suivante :\\ $1 \leq \frac{1}{n^s} \leq \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{n^{k s}}$. 3. b. Soient $a$ et $b$ deux entiers, différents l’un de l’autre, tous les deux supérieurs ou égaux à 2 ($a \neq b$, $a \geq 2, b \geq 2$) ; démontrer que la série double de terme général $u_{i j}$, $i = 0,1,2,\ldots$, $j = 0,1,2,\ldots$ définie par la relation suivante\\ $u_{i j} = \frac{1}{a^{i s} b^{j s}}$, $i = 0,1,2,\ldots, j=0,1,2,\ldots$\\ est sommable. Déterminer sa somme $S$. 4. c. Démontrer que l’application $(\alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_n) \mapsto p_1^{s \alpha_1} p_2^{s \alpha_2} \ldots p_n^{s \alpha_n}$, de $\mathbb{N}^n$ dans $M_n$, est injective. En déduire qu’il est possible d’indexer les réels $m$ dans l’ordre croissant : l’application $i \mapsto m_i$ est strictement croissante de $\mathbb{N}$ sur $M_n$.\\ Exemples : écrire la suite des 12 premiers termes de la suite $(m_i)_{i\in\mathbb{N}}$ lorsque le réel $s$ est égal à 1 et l’entier $n$ égal à 2 puis à 3. 5. d. Démontrer l’inégalité suivante :\\ $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^s} \leq \prod_{i=1}^{N} \frac{1}{1-1/p_i^s}$\\ Retrouver, en donnant une valeur particulière au réel $s$, le résultat : la suite des entiers premiers est illimitée.\\ Déterminer, en supposant le réel $s$ inférieur ou égal à 1 ($0 < s \leq 1$), la limite, lorsque l’entier $n$ tend vers l’infini, de l’expression $f_n(s)$ introduite ci-dessus.} 6. e. Établir, lorsque le réel $s$ est strictement supérieur à 1 ($s > 1$), l’encadrement ci-dessous :\\ $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^s} \leq \prod_{i=1}^{N} \frac{1}{1-1/p_i^s} \leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^s}$\\ En déduire, pour $s > 1$, la limite de l’expression $f_n(s)$ introduite ci-dessus lorsque l’entier $n$ tend vers l’infini. 7. I-3. Série de terme général $1/p_i$, $i=1,2,\ldots$ :\\ Déduire des résultats ci-dessus la nature de la série de terme général $v_i$, $i=1,2,\ldots$, défini par la relation suivante :\\ $v_i = \ln \frac{1}{1-1/p_i}$.\\ En déduire la nature de la série de terme général :\\ $w_i = \frac{1}{p_i}$, $i=1,2,\ldots$.\\ Quelle conclusion qualitative est-il possible d’en tirer sur la répartition des nombres premiers ? 8. I-4. Fonction $\zeta$ :\\ Soit $\zeta$ la fonction limite de la suite $f_n$. Démontrer que cette fonction, définie d’après la question I-2.e sur la demi-droite ouverte $(1,+\infty)$ par la relation ci-dessous, est continûment dérivable.\\ $\zeta(s) = \lim_{N\to\infty} \prod_{i=1}^{N} \frac{1}{1-1/p_i^s} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^s}$. 9. II-1. Majoration du produit $P_n$ des nombres premiers majorés par un entier $n$ :\\ a. Construire un tableau donnant pour les valeurs 2, 3, 4 et 5 de l’entier $n$ les valeurs de $N$, $p_N$, $P_n$, $4^n$. 10. b. Vérifier que, si l’entier $n+1$ n’est pas premier, l’inégalité $P_n \leq 4^n$ implique l’inégalité $P_{n+1} \leq 4^{n+1}$.} 11. c. L’entier $n+1$ est premier dans cet alinéa ; justifier l’existence d’un entier $m$ tel que :\\ $2m+1 = n+1$.\\ Démontrer que tout nombre premier $p$ compris entre $m+2$ et $n+1$ ($m+2 \leq p \leq n+1$) divise le coefficient du binôme $C_{2m+1}^m$. Établir la majoration suivante :\\ $C_{2m+1}^m \leq 4^m$.\\ En déduire que l’inégalité $P_{m+1} \leq 4^{m+1}$ implique l’inégalité $P_{n+1} \leq 4^{n+1}$. 12. d. En déduire, pour tout entier $n\geq 2$, la majoration :\\ $P_n = \prod_{i=1}^N p_i \leq 4^n$. 13. II-2. Une expression du p. p. c. m. $d_n$ :\\ Démontrer que le p. p. c. m. $d_n$ est égal au produit des nombres premiers $p_i$, inférieurs ou égaux à l’entier $n$, élevés à des puissances $\alpha_i$ égales aux parties entières du rapport $\ln n$ sur $\ln p_i$ ; c’est-à-dire :\\ $p_N \leq n < p_{N+1}, d_n = \prod_{i=1}^N p_i^{\alpha_i},$ avec : $\alpha_i = \left\lfloor \frac{\ln n}{\ln p_i} \right\rfloor$. 14. II-3. Une minoration du p. p. c. m. $d_{2n+1}$ :\\ Étant donné un entier $n\geq 2$, soit $I_n$ l’intégrale définie par la relation suivante :\\ $I_n = \int_0^1 x^n (1-x)^n dx$.\\ a. Démontrer la majoration :\\ $I_n \leq \frac{1}{4^n}$. 15. b. Démontrer que le p. p. c. m. $d_{2n+1}$ est divisible par tout entier $n+k+1$, lorsque l’entier $k$ varie de $0$ à $n$ ($0 \leq k \leq n$). En déduire que le produit $d_{2n+1} I_n$ est un entier en considérant, par exemple, une expression de $I_n$ obtenue par développement de $(1-x)^n$.\\ Démontrer, à l’aide de la majoration de l’intégrale $I_n$, une minoration du p. p. c. m. $d_{2n+1}$.} 16. III-1. Un résultat auxiliaire :\\ Préciser, pour une suite $A = (a_k)_{k\geq 1}$ donnée, sur quels intervalles la fonction $H_A$ est continue.\\ Quels sont ses points de discontinuité ?\\ Préciser en ces points $x$ la valeur de $H_A(x^+)-H_A(x^-)$. 17. Soit $f$ une fonction réelle, définie et continûment dérivable sur la demi-droite fermée $[2, +\infty[$, et une suite réelle $A = (a_i)_{i\geq 1}$ ; démontrer la relation suivante : pour tout réel $x$ compris entre $p_N$ et $p_{N+1}$, $p_N\leq x< p_{N+1}$ il vient :\\ $\sum_{i=1}^{N} a_i f(p_i) = H_A(x)f(x) - \int_2^x H_A(t)f'(t)dt$. 18. III-2. Une majoration de la fonction $\vartheta$ :\\ a. Démontrer la majoration suivante de la fonction $\vartheta$ :\\ $\vartheta(x) \leq x\ln 4$. 19. b. Établir en choisissant, dans la relation établie à la question précédente, comme suite $A$, la suite $\ln p_k, k=1,2,...$, et comme fonction $f$, la fonction $x\mapsto 1/\ln x$, l’inégalité suivante :\\ $\pi(x) \leq \frac{x}{\ln x}\ln 4 - \int_2^x \frac{dt}{\ln t^2}$. 20. c. Démontrer la convergence vers 0, lorsque le réel $x$ croît vers l’infini, de la fonction $R(x)$ suivante :\\ $R(x) = \frac{\ln x}{x}\int_2^x \frac{dt}{\ln t^2}$.\\ Indication : introduire, pour $x>4$, les intégrales de 2 à $x$ et de $x$ à $x$.} 21. d. En déduire l’existence d’un réel $x_0$ tel que, pour tout réel $x$ supérieur ou égal à $x_0$, la fonction $\pi$ vérifie la majoration suivante :\\ $\pi(x)\leq \frac{4\ln2}{\ln x}x$. 22. III-3. Une minoration de la fonction $\pi$ :\\ En utilisant par exemple la minoration du p. p. c. m. $d_{2n+1}$ obtenue à la question II-3, démontrer qu’il existe un réel $x_1$ tel que, pour tout réel $x$ supérieur ou égal à $x_1$, la fonction $\pi$ vérifie la minoration suivante :\\ $\pi(x)\geq \frac{\ln2}{2} \frac{x}{\ln x}$. 23. IV-1. Théorème d’Euler :\\ a. Démontrer que, pour que l’élément $a$ de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ soit inversible, il faut et il suffit que l’entier $a$ soit premier avec $n$. Donner les valeurs de $\phi(n)$ lorsque l’entier $n$ prend toute valeur de 2 à 7. 24. b. Démontrer que l’ensemble $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ des éléments de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ inversibles est un groupe multiplicatif. Quel est son cardinal ?\\ Soit $a$ un entier compris entre 0 et $n-1$ ($0\leq a\leq n-1$), premier avec $n$. Soit $\phi(n)$ le nombre d’éléments de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ inversibles. Démontrer la relation :\\ $a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod n$.\\ Indication : considérer l’application $\varphi: b\mapsto b.a$ de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ dans lui-même puis l’expression $c$ définie par la relation suivante :\\ $c = \prod_{b \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times} b.a$. 25. c. Application : déterminer le reste de la division de $251^{311}$ par 6.} 26. IV-2. Principe de cryptographie :\\ Soit $n$ un entier $n\geq 2$ égal au produit de deux nombres premiers $p$ et $q$ ; $n = p\cdot q$.\\ a. Démontrer la relation :\\ $\phi(n) = (p-1)(q-1)$. 27. Soit $e$ un nombre entier premier avec $(p-1)(q-1)$.\\ b. Établir l’existence d’un entier $d$ tel que\\ $e.d \equiv 1\pmod{(p-1)(q-1)}$.\\ Exemple simple : $n=6,\ e=5$ ; calculer, pour tout élément $a$ de $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, $a^{e.d}$. 28. c. Démontrer pour tout élément $a$ de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, la relation :\\ $a^{e.d} \equiv a \pmod n$.\\ En fait l’entier $e$ est connu de l’expéditeur, l’entier $d$ du destinataire. L’entier $d$ est très difficile à calculer si la factorisation de l’entier $n$ n’est pas connue (les entiers $p$ et $q$ sont grands).\\ Chiffrement du message $a$ par l’expéditeur : $a\mapsto a^e$ ; déchiffrement par le destinataire : $a^e\mapsto (a^e)^d$. Le message est retrouvé.}FAQ
Le sujet Mines-Ponts MP 2002 balaye plusieurs domaines au cœur du programme de CPGE scientifique : arithmétique (notamment les nombres premiers, ppcm, théorème d’Euler), séries et produits infinis (fonction zêta de Riemann), analyse (inégalités, intégrales, convergence de séries) et même une incursion en cryptographie avec le chiffrement type RSA. Cet éventail reflète parfaitement les attendus des concours mines-ponts pour la filière MP.
La série des inverses des nombres premiers joue un rôle clé : sa divergence prouve que les nombres premiers sont suffisamment nombreux pour remplir l’ensemble des entiers, alimentant de nombreux résultats de théorie des nombres. C’est un passage obligé pour toute préparation sérieuse aux concours d’ingénieur, car elle relie arithmétique, analyse et aspects historiques des mathématiques.
La fonction zêta de Riemann $\zeta(s)$ intervient pour relier les séries d’entiers et les produits sur les nombres premiers, via l’identité d’Euler. Savoir manipuler $\zeta(s)$, comprendre sa convergence (en particulier pour $s > 1$), son développement en produit eulérien et ses implications arithmétiques (répartition des premiers, applications analytiques) est un grand classique des sujets de concours, et peut aussi être exploré en profondeur grâce aux corrigés détaillés disponibles après avoir débloqué l’accès sur Prépa Booster.
Les techniques d’encadrement reposent souvent sur l’utilisation d’inégalités analytiques astucieuses, la majoration ou la minoration de sommes ou de produits, et une analyse fine du comportement asymptotique des fonctions. Le sujet Mines-Ponts 2002 est typique avec ses encadrements (type $\frac{x}{2\ln x} < \pi(x) < \frac{4\ln 2}{\ln x} x$). Savoir justifier rigoureusement ces bornes, via des intégrales et des arguments combinatoires, est une compétence centrale pour réussir l’épreuve.
Le théorème d’Euler (ou petit théorème de Fermat généralisé) apparaît autant pour calculer des congruences dans les épreuves classiques que dans les bases théoriques des systèmes de cryptographie asymétrique type RSA. La fonction indicatrice d’Euler $\varphi(n)$ sert à compter les entiers premiers avec $n$, et son calcul est directement exploité pour preuve de propriétés de groupes, calculs pratiques de puissances modulo $n$ et simulation de protocoles de chiffrement. Entraîne-toi dessus, c’est une clé de voûte récurrente !
Le ppcm (plus petit commun multiple) surgit dès que l’on manipule des fractions, des congruences ou des propriétés globales de divisibilité. Dans le sujet Mines-Ponts 2002, il est utilisé pour construire des bornes sur la taille des produits de nombres premiers, obtenir des inégalités et attaquer les questions relatives à la répartition des nombres premiers. Ces raisonnements demandent à la fois rigueur et vision globale, soit tout ce que vise à t’apporter Prépa Booster via ses corrigés détaillés.
L’analyse s’allie à l’arithmétique pour obtenir des encadrements efficaces, des estimations asymptotiques et démontrer la croissance ou la convergence de sommes liées aux nombres premiers. Les intégrales ou inégalités d’analyse donnent des outils précieux et universels pour conclure sur le comportement d’une suite ou d’une fonction, au cœur des démonstrations élégantes attendues en concours Mines-Ponts.
Travaille la théorie des nombres, les séries, l’analyse (en particulier les techniques d’encadrement et de convergence) et les bases de la cryptographie. Rien ne vaut la pratique : entraîne-toi avec les annales, et une fois prêt·e à te corriger, débloque l’accès aux corrigés et au dashboard personnalisé sur Prépa Booster pour progresser de façon ciblée et gagner en confiance pour le jour J !