Questions du sujet
1. Montrer qu’une matrice $S \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ appartient à $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ si, et seulement si, $\mathrm{Sp}(S) \subset \mathbb{R}^+$. De même, on admettra dans la suite du problème que : $S \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ si, et seulement si, $\mathrm{Sp}(S) \subset \mathbb{R}_+^*$.
2. Montrer que $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ et $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ sont des parties convexes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Sont-elles des sous-espaces vectoriels de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ ?
3. Montrer que, si $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$, il existe $S \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ telle que $A = S^2$.
4. Soit $I$ intervalle de $\mathbb{R}$. Soit $f : I \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction convexe. Montrer que, pour tout $p \in \mathbb{N}^*$, pour tout $(\lambda_1, \ldots, \lambda_p) \in (\mathbb{R}_+)^p$ tel que $\sum_{i=1}^p \lambda_i = 1$ et pour tout $(x_1, \ldots, x_p) \in I^p$, on a : \[f\left( \sum_{i=1}^p \lambda_i x_i \right) \leq \sum_{i=1}^p \lambda_i f(x_i).\]
5. Montrer l’inégalité $\dfrac{\mathrm{Tr}(M)}{n} \geq \det^{1/n}(M)$.}
6. Exprimer $\Vert M \Vert_2$ en fonction des valeurs propres de $M$.
7. En déduire que \[ \frac{\mathrm{Tr}(M)}{n} – \det^{1/n}(M) \geq \frac{ \left\| M – \det^{1/n}(M) I_n \right\|_2^2 }{2n\|M\|_2^2}. \]
8. Soient $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Montrer qu’il existe une matrice diagonale $D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $Q \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ telles que $B = Q D Q^\top$ et $A = Q Q^\top$. Que dire des éléments diagonaux de $D$ si $B \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ ?
9. Étudier la convexité de la fonction $t \mapsto \ln (1 + e^t)$.
10. Montrer l’inégalité \[ \forall (A, B) \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})^2, \qquad \det^{1/n}(A+B) \geq \det^{1/n}(A) + \det^{1/n}(B). \]}
11. Montrer que, si $A$ et $B$ appartiennent $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$, alors : \[ \forall t \in [0,1],\quad \det((1-t) A + t B) \geq \det(A)^{1-t} \det(B)^t. \] Justifier que cette inégalité reste valable pour $A$ et $B$ seulement dans $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$.
12. Que peut-on en déduire sur la fonction $\ln \circ \det$ sur $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ ?
13. Exprimier, pour tout $t \in \mathbb{R}$, $g(t)$ à l’aide des valeurs propres de $A$, où $g : t \mapsto \det(I_n + tA)$. En déduire que $g$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$.
14. Soit $f : t \mapsto \ln(\det(I_n + tA))$. Montrer que \[ \forall t \in \mathbb{R}_+, \quad \ln(\det(I_n + tA)) \leq \mathrm{Tr}(A) t. \]
15. Montrer que $f_A$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_A(t) = \det(A + t M)$, où $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$, $M \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$.}
16. Montrer qu’il existe $\varepsilon_0 > 0$ tel que, pour tout $t \in ] – \varepsilon_0, \varepsilon_0[$, $A + t M \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$.
17. Montrer que $f_A(t) =_{t \to 0} \det(A) + \det(A) \mathrm{Tr}(A^{-1} M)t + o(t)$.
18. Déterminer $f’_A(t)$ pour tout $t \in ] – \varepsilon_0, \varepsilon_0[$.
19. On admet que la fonction $\Phi : t \mapsto (A + t M)^{-1}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $] – \varepsilon_0, \varepsilon_0[$. En remarquant que $\Phi(t) \times (A + tM) = I_n$, montrer que \[ \Phi(t) =_{t \to 0} A^{-1} – A^{-1} M A^{-1} t + o(t). \]
20. Soit $\alpha \in \left] -\frac{1}{n}, +\infty \right[ \setminus \{ 0 \}$. On définit l’application $\varphi_{\alpha}$ par \[ \forall t \in ] -\varepsilon_0, \varepsilon_0[, \quad \varphi_{\alpha}(t) = \frac{1}{\alpha} \det^{-\alpha}(A + t M). \] Montrer que $\varphi_{\alpha}$ est dérivable sur $] -\varepsilon_0, \varepsilon_0[$ et que \[ \forall t \in ] -\varepsilon_0, \varepsilon_0[, \quad \varphi’_\alpha(t) = – \mathrm{Tr} \big[ (A + tM)^{-1} M \big] \det^{-\alpha}(A + tM). \]}
21. Montrer que $\varphi_{\alpha}$ est deux fois dérivable en $0$ et que \[ \varphi”_{\alpha}(0) = \det^{-\alpha}(A) \left[ \alpha \mathrm{Tr}^2(A^{-1} M) + \mathrm{Tr}\left( (A^{-1}M)^2 \right) \right]. \]
22. Montrer que $A^{-1}M$ est semblable à une matrice symétrique réelle.
23. En déduire que $\varphi”_{\alpha}(0) \geq 0$.
24. Montrer que, si $\varphi”_{\alpha}(0) > 0$, alors il existe $\eta > 0$, tel que pour tout $t \in ] -\eta, \eta[$, \[ \frac{1}{\alpha} \det^{-\alpha}(A + tM) \geq \frac{1}{\alpha} \det^{-\alpha}(A) – \mathrm{Tr}(A^{-1}M) \det^{-\alpha}(A) t. \]}