Questions du sujet
1. Soit $z \in D$. Montrer la convergence de la série $\sum\limits_{n \geq 1} \frac{z^n}{n}$. Préciser la valeur de sa somme lorsque $z \in ]-1, 1[$. On notera $$L(z) := \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{z^n}{n}.$$
2. Soit $z \in D$. Montrer que la fonction $\Phi : t \mapsto L(tz)$ est dérivable sur un intervalle ouvert incluant $[-1, 1]$ et donner une expression simple de sa dérivée sur $[-1, 1]$.
3. Soit $z \in D$. Montrer que la fonction $\Psi : t \mapsto (1 – tz) e^{L(tz)}$ est constante sur $[0, 1]$, et en déduire que \[\exp(L(z)) = \frac{1}{1-z}.\]
4. Montrer que $|L(z)| \leq -\ln(1 – |z|)$ pour tout $z$ dans $D$. En déduire que la série $\sum\limits_{n \geq 1} L(z^n)$ est convergente pour tout $z$ dans $D$. \\ Dans la suite, pour tout $z \in D$ on note \[ P(z) := \exp\left(\sum_{n=1}^{+\infty} L(z^n)\right). \]
5. Soit $z \in D$. Vérifier que $P(z) \neq 0$, que
\[ P(z) = \lim_{N \to +\infty} \prod_{n=1}^N \frac{1}{1-z^n} \]
et que pour tout réel $t>0$,
\[
\ln P(e^{-t}) = -\sum_{n=1}^{+\infty} \ln(1 – e^{-nt}).
\]
}
6. Montrer que $q$ est continue par morceaux sur $\mathbb{R}$, qu’elle est $1$-périodique et que la fonction $|q|$ est paire.
7. Montrer que $\int_{1}^{+\infty} \frac{q(u)}{e^{tu} – 1} du$ est bien définie pour tout réel $t>0$.
8. Montrer que pour tout entier $n>1$,
\[\int_{1}^{n} \frac{q(u)}{u} du = \ln(n!) + (n-1) – n\ln(n) – \frac{1}{2}\ln(n) = \ln\left(\frac{n! e^n}{n^n \sqrt{n}}\right) – 1.\]
9. Montrer que $\int_{[n]}^{x} \frac{q(u)}{u} du$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$, et en déduire la convergence de l’intégrale $\int_{1}^{+\infty} \frac{q(u)}{u} du$, ainsi que l’égalité
\[\int_{1}^{+\infty} \frac{q(u)}{u} du = \frac{\ln(2\pi)}{2} – 1.\]
10. À l’aide d’un développement en série sous l’intégrale, montrer que
\[\int_{0}^{+\infty} \ln(1 – e^{-u}) du = -\frac{\pi^2}{6}.\]}
11. Montrer que
\[
\int_{0}^{1} \ln \left(\frac{1 – e^{-tu}}{t}\right) du \underset{t \to 0^+}{\longrightarrow} -1.
\]
On pourra commencer par établir que $x \mapsto \frac{1-e^{-x}}{x}$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$.
12. Pour $k \in \mathbb{N}^*$ et $t \in \mathbb{R}_+$, on pose
\[
u_k(t) = \int_{k/2}^{(k+1)/2} \frac{tq(u)}{e^{tu} – 1} du \text{ si } t > 0, \qquad u_k(t) = \int_{k/2}^{(k+1)/2} \frac{q(u)}{u} du \text{ si } t = 0.
\]
Montrer que $u_k$ est continue sur $\mathbb{R}_+$ pour tout $k \in \mathbb{N}^*$.
13. Soit $t \in \mathbb{R}_+^*$. Montrer successivement que
\[
|u_k(t)| = \int_{k/2}^{(k+1)/2} \frac{t|q(u)|}{e^{tu} – 1} du
\]
puis $u_k(t) = (-1)^k |u_k(t)|$ pour tout entier $k \geq 1$, et établir enfin que
\[
\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad \left| \sum_{k=n}^{+\infty} u_k(t) \right| \leq \frac{1}{2n}.
\]
On admettra dans la suite que cette majoration vaut encore pour $t=0$.
14. En déduire que
\[
\int_{1}^{+\infty} \frac{t q(u)}{e^{tu} – 1} du \underset{t\to0^+}{\longrightarrow} \frac{\ln(2\pi)}{2} – 1.
\]
15. Montrer, pour tout réel $t > 0$, l’identité
\[
\int_{1}^{+\infty} \frac{t q(u)}{e^{tu}-1} du = -\frac{1}{2} \ln(1-e^{-t}) – \ln P(e^{-t}) – \int_{1}^{+\infty} \ln(1 – e^{-tu}) du.
\]}
16. Conclure que
\[
\ln P(e^{-t}) = \frac{\pi^2}{6t} + \frac{\ln(t)}{2} – \frac{\ln(2\pi)}{2} + o(1)
\]
quand $t$ tend vers $0^+$.
17. Pour $(n,N) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*$, on note $P_{n,N}$ l’ensemble des listes $(a_1, …, a_N) \in \mathbb{N}^N$ telles que $\sum_{k=1}^{N} k a_k = n$. Si cet ensemble est fini, on note $p_{n,N}$ son cardinal. \\ Soit $n \in \mathbb{N}$. Montrer que $P_{n,N}$ est inclus dans $\llbracket 0, n \rrbracket^N$ et non vide pour tout $N \in \mathbb{N}^*$, que la suite $(p_{n,N})_{N\geq 1}$ est croissante et qu’elle est constante à partir du rang $\max(n,1)$.
18. Dans toute la suite, on notera $p_n$ la valeur finale de $(p_{n,N})_{N\geq 1}$.
\\
Soit $N \in \mathbb{N}^*$. Donner une suite $(a_{n,N})_{n \in \mathbb{N}}$ telle que
\[
\forall z \in D, \quad \frac{1}{1-z^N} = \sum_{n=0}^{+\infty} a_{n,N} z^n.
\]
En déduire, par récurrence, la formule
\[
\forall N \in \mathbb{N}^*, \forall z \in D, \quad \prod_{k=1}^{N} \frac{1}{1-z^k} = \sum_{n=0}^{+\infty} p_{n,N} z^n.
\]
19. On fixe $\ell \in \mathbb{N}$ et $x \in [0,1[$. En utilisant le résultat de la question précédente, établir la majoration
\[
\sum_{n=0}^{\ell} p_n x^n \leq P(x).
\]
En déduire le rayon de convergence de la série entière $\sum_n p_n z^n$.
20. Soit $z \in D$. En examinant la différence
\[
\sum_{n=0}^{+\infty} p_n z^n – \sum_{n=0}^{+\infty} p_{n,N} z^n,
\]
démontrer que
\[
P(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} p_n z^n.
\]}
21. Soit $n \in \mathbb{N}$. Montrer que pour tout réel $t > 0$,
\[
p_n = \frac{e^{nt} P(e^{-t})}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{e^{-in\theta} P(e^{-t} e^{i\theta})}{P(e^{-t})} d\theta. \tag{1}
\]
Dans le reste du problème, l’objectif est d’utiliser la formule (1) pour obtenir un contrôle assez fin du nombre $p_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
22. Soit $x \in [0,1[$ et $\theta \in \mathbb{R}$. En utilisant la fonction $L$, montrer que
\[
\left|\frac{1-x}{1-x e^{i\theta}}\right| \leq \exp\left( -(1 – \cos \theta) x \right).
\]
En déduire que pour tout $x \in [0,1[$ et tout réel $\theta$,
\[
\left|\frac{P(xe^{i\theta})}{P(x)}\right| \leq \exp \left(-\frac{1}{1-x} + \text{Re}\left( \frac{1}{1-x e^{i\theta}} \right) \right).
\]
23. Soit $x \in [0,1[$ et $\theta$ un réel. Montrer que
\[
\frac{1}{1-x} – \text{Re} \left( \frac{1}{1-xe^{i\theta}} \right) \geq \frac{x(1-\cos\theta)}{(1-x)\left((1-x)^2 + 2x(1 – \cos\theta) \right)}.
\]
En déduire que si $x \geq \frac{1}{2}$ alors
\[
\left| \frac{P(xe^{i\theta})}{P(x)} \right| \leq \exp \left( -\frac{1-\cos\theta}{6(1-x)^3} \right)
\]
ou
\[
\left| \frac{P(xe^{i\theta})}{P(x)} \right| \leq \exp \left( -\frac{1}{3(1-x)} \right).
\]
Pour ce dernier résultat, on distinguera deux cas selon les valeurs relatives de $x(1-\cos\theta)$ et $(1-x)^2$.
24. Montrer qu’il existe un réel $\alpha > 0$ tel que
\[
\forall \theta \in [-\pi, \pi],\ 1 – \cos\theta \geq \alpha \theta^2.
\]
En déduire qu’il existe trois réels $t_0 > 0$, $\beta > 0$ et $\gamma > 0$ tels que, pour tout $t \in ]0, t_0]$ et tout $\theta \in [-\pi, \pi]$,
\[
\left| \frac{P(e^{-t} e^{i\theta})}{P(e^{-t})} \right| \leq e^{-\beta (t^{-3/2} \theta)^2}
\]
ou
\[
\left| \frac{P(e^{-t} e^{i\theta})}{P(e^{-t})} \right| \leq e^{-\gamma (t^{-3/2}|\theta|)^{2/3}}.
\]
25. En déduire que
\[
\int_{-\pi}^{\pi} e^{-i \frac{\pi}{2\theta}} \frac{1}{6 t^2} \frac{P(e^{-t} e^{i\theta})}{P(e^{-t})} d\theta = O(t^{3/2})
\]
quand $t$ tend vers $0^+$.}
26. En prenant $t = \sqrt{\frac{\pi}{6n}}$ dans (1), conclure que
\[
p_n = O \left( \frac{\exp\left(\pi \sqrt{\frac{2n}{3}}\right)}{n} \right)
\]
quand $n$ tend vers $+\infty$.}