Questions du sujet
1. Soit $r \in \R^{*}_+$ et $p \in \N^*$. Justifier que la série entière $\sum_{n \geq 1} \frac{(pn)^r}{(pn)!} z^{pn}$ a pour rayon de convergence $+\infty$, et faire de même pour la série entière $\sum_{n\geq 1} \frac{(pn)^r}{(pn)!} z^{np}$.
2. Pour $x$ réel, expliciter $S_{0,1}(x)$ et $S_{0,2}(x)$, et en déduire la validité des énoncés $H_{0,1}$ et $H_{0,2}$.
3. Soit $x\in \R^*_+$. Montrer que $(Z_x)^r$ admet une espérance, et exprimer $\mathbb{E}\left[ (Z_x)^r \right]$ à l’aide de $S_{r,1}(x)$.
4. Pour $x > 0$, rappeler l’espérance et la variance de $X_x$. Déduire alors de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev que $\mathbb{P}\left( |Z_x-1| \geq x^{-1/3} \right) \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0$.
5. Montrer que pour tout réel $x>1$, $(1-x^{-1/3})^r \; \mathbb{P}(Z_x \geq 1-x^{-1/3}) \leq \mathbb{E}\left[ (Z_x)^r \right]$. Montrer en outre que $(1-x^{-1/3})^r \mathbb{P}(Z_x \geq 1-x^{-1/3}) \xrightarrow[x \to +\infty]{} 1$.}
6. Soit $N\in\N^*$ et $x \in \R^*_+$. Montrer que $Y_{x,N}$ admet une espérance et que $\mathbb{E}(Y_{x,N}) = x^N$.
7. Soit $N\in\N^*$. Montrer qu’il existe des réels $a_1,\ldots,a_N$ tels que $a_N=1$ et pour tout $x > 0$, $(X_x)^N = \sum_{k=1}^N a_k Y_{x,k}$. On pourra introduire la famille $(H_j)_{j\in\N}$ de polynômes à coefficients réels définie par $H_0=1$ et $\forall j \in \N^*, \; H_j = \prod_{i=0}^{j-1}(T-i)$, où l’indéterminée est notée $T$. En déduire que $\mathbb{E}\left[(Z_x)^N\right] \xrightarrow[x \to +\infty]{} 1$.
8. On pose $N= \lfloor r \rfloor$ et $s = r – N$. Montrer l’inégalité, $\forall t\in \R_+, \; t^s \leq s (t-1) + 1$, et en déduire $\forall x>0, \; (Z_x)^r \leq (1-s)(Z_x)^N + s (Z_x)^{N+1}$.
9. En combinant les résultats précédents, établir la convergence $\mathbb{E}\left[ (Z_x)^r\right] \xrightarrow[x \to +\infty]{} 1$ et conclure à la validité de l’énoncé $H_{r,1}$.
10. On fixe dans cette partie un entier naturel $p\geq 2$ et un réel $r>0$, et l’on se propose de déduire la validité de $H_{r,p}$ de celle de $H_{r,1}$. Pour $n\in \N$ et $x\in\R^*_+$, on pose $u_n(x) = \frac{n^r}{n!}x^n$.}
11. On fixe un réel $x>0$. Étudier le signe de la fonction $\Psi_x : t \mapsto t^{1-r}(t-1)^r – x$ sur $[1,+\infty[$. On montrera en particulier que $\Psi_x$ s’annule en un unique élément de $[1,+\infty[$ que l’on notera $t_x$. En déduire que la suite finie $(u_n(x))_{0\leq n\leq \lfloor t_x \rfloor}$ est croissante et que la suite $(u_n(x))_{n \geq \lfloor t_x \rfloor}$ est décroissante. L’ensemble $\{u_n(x)\mid n\in\N\}$ admet donc un maximum valant $u_{\lfloor t_x \rfloor}(x)$. Dans la suite de cette partie, ce maximum sera noté $M_x$.
12. Soit $\eta \in \R$. Déterminer la limite de $\Psi_x(x+\eta)$ quand $x\to+\infty$. En déduire que $t_x – x – r\xrightarrow[x\to+\infty]{}0$.
13. Montrer que pour tout entier relatif $k$, $u_{\lfloor x \rfloor + k}(x) \underset{x\to+\infty}{\sim} u_{\lfloor x \rfloor}(x)$.
14. Soit $m\in\N^*$. Montrer que $\sum_{i=\lfloor x\rfloor-m}^{\lfloor x\rfloor} u_i(x)\geq m\, u_{\lfloor x\rfloor}(x)$ pour $x$ voisin de $+\infty$. En déduire que, pour $x$ voisin de $+\infty$, $u_{\lfloor x\rfloor}(x)\leq \frac{x^r e^x}{m}$.
15. En déduire que pour tout entier relatif $k$, $u_{\lfloor x\rfloor+k}(x)= o_{x\to+\infty}(x^r e^x)$ puis que $M_x = o_{x\to+\infty}(x^r e^x)$. En vue de ce dernier résultat, on pourra commencer par démontrer que, pour $x$ assez grand, $M_x = u_{\lfloor x\rfloor+i}(x)$ pour un entier $i$ compris entre $\lfloor r\rfloor-1$ et $\lfloor r\rfloor+2$.}
16. Dans cette question et la suivante, on fixe un nombre complexe $z$ tel que $|z|=1$ et $z\neq 1$. Pour $n\in\N^*$, on pose $D_n = \sum_{k=0}^{n-1}z^k$. Montrer que $\forall n\in\N^*$, $|D_n|\leq \frac{2}{|1-z|}$ et que les séries $\sum_n D_n u_{n-1}(x)$ et $\sum_n D_n u_n(x)$ sont absolument convergentes.
17. On conserve le nombre complexe $z$ introduit dans la question précédente. Montrer que $\forall x\in\R^*_+$, \[ \sum_{n\geq 1} D_n\Big(u_{n-1}(x)-u_n(x)\Big) = S_{r,1}(zx) \] puis que, pour $x$ voisin de $+\infty$, \[ |S_{r,1}(zx)| \leq \frac{4 M_x}{|1-z|}, \] et conclure à la relation $S_{r,1}(zx) = o_{x\to+\infty}(x^re^x)$.
18. On pose $\omega := \exp{\left(\frac{2i\pi}{p}\right)}$. Pour tout réel $x$, montrer que \[ \sum_{k=0}^{p-1} S_{r,1}(\omega^k x) = p S_{r,p}(x) \] et en déduire la validité de $H_{r,p}$.
19. On s’intéresse ici à l’équation différentielle : (E) : $t\, x”(t) – x(t) = 0$. Montrer que, parmi les solutions de (E) sur $\R$ à valeurs réelles, il en existe une et une seule, notée $f$, qui soit la somme d’une série entière et vérifie $f'(0) = 1$. Expliciter la suite $(c_n)_{n\in\N}$ telle que $\forall t \in \R,\, f(t) = \sum_{n=0}^{+\infty}c_n t^n$.
20. Démontrer que $c_n \underset{n\to+\infty}{\sim} \frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{1}{\sqrt{n}}\frac{(2n)!}{4^n}$.}
21. En exploitant la validité de $H_{r,p}$ pour un couple $(r,p)$ bien choisi, démontrer l’équivalent \[ f(t) \underset{t\to+\infty}{\sim} \frac{t^{1/4}}{2\sqrt{\pi}}e^{2\sqrt{t}}. \]}