Questions du sujet
1. Montrer que les polynômes $L_i$ forment une base de $\mathbb{C}_n[X]$. 2. Écrire la matrice $M$ du système $\{1, X, X^2, \cdots, X^n\}$ dans la base $\{L_0, L_1, \cdots, L_n\}$. 3. Écrire les matrices, notées respectivement $T_a$ et $D$, des endomorphismes $t_a$ et $d$ dans la base $B$. 4. En déduire les éléments propres de ces endomorphismes. On donnera les valeurs propres, les espaces propres correspondants ainsi que leurs dimensions. 5. Quels sont les sous-espaces vectoriels de $E$ stables par $d$ ? Donner leur nombre.} 6. Soit $P(X)=\sum_{i=0}^k p_i X^i$ un polynôme fixé de degré $k$ ($p_k \neq 0$). Montrer que le système $\left( P, \frac{d(P)}{1!}, \frac{d^2(P)}{2!}, \cdots, \frac{d^k(P)}{k!} \right)$ constitue une base $B_1$ de $E$. Donner la matrice de passage $R$ de $B$ vers $B_1$. 7. Pour $a \in \mathbb{C}^*$, exprimer les coordonnées du système $S = \{P(X), P(X+a), P(X+2a), \cdots, P(X+ka)\}$ dans la base $B_1$. On note $U$ la matrice ainsi obtenue. En déduire que $S$ constitue une base de $E$ qu’on notera $B_2$. 8. On note $Q$ la matrice de passage de $B$ vers $B_2$. Exprimer $Q$ en fonction de $R$ et $U$. 9. Pour $a$ fixé dans $\mathbb{C}^*$, caractériser les sous-espaces vectoriels de $E$ stables par $t_a$. 10. Préciser les réels $a$ pour lesquels la fonction $\varphi_a$ est injective. Dans le cas contraire, montrer que $\varphi_a$ est périodique.} 11. Pour $f \in E$, donner les valeurs de la suite $c_n(t_a(f))$ en fonction des valeurs prises par la suite $c_n(f)$. 12. Donner les valeurs propres de $t_a$. Caractériser les valeurs de $a$ pour lesquelles les espaces propres de $t_a$ sont tous de dimension $1$. 13. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension finie $p > 1$ et stable par $t_a$. Soit $f \in F$, $f$ non nul, montrer qu’il existe $p+1$ scalaires $\alpha_j$ non tous nuls tels que pour tout entier relatif $n$, \[ \left( \sum_{j=0}^{p} \alpha_j \exp(inaj) \right) c_n(f) = 0. \] 14. Soit $a$ réel fixé tel que $a/\pi$ soit irrationnel. Soit $f$ appartenant à $F$, montrer qu’il existe un entier $N_f$ tel que $c_n(f) = 0$ pour $|n| > N_f$. 15. Montrer qu’il existe un entier $N$ tel que pour tout $g$ appartenant à $F$, $c_n(g) = 0$ pour $|n| > N$.} 16. Soit $G$ le sous-espace vectoriel de $E$ engendré par $(e_k, k = -N, \cdots, N)$. Vérifier que $F \subset G$ et $G$ stable par $t_a$. 17. L’endomorphisme $t_a$ restreint à $G$ est-il diagonalisable ? 18. Montrer qu’on peut trouver un ensemble fini $S$ d’entiers relatifs tel que $F$ soit le sous-espace vectoriel engendré par les $e_k$ pour $k$ décrivant $S$.}FAQ
La base de Lagrange est une famille de polynômes utilisés pour l’interpolation polynomiale. Travailler dans cette base facilite le calcul des coefficients quand on connaît les valeurs du polynôme sur différents points. Pour les questions de concours en CPGE option PSI comme ici, savoir montrer qu’une famille de polynômes forme une base, puis exprimer d’autres bases usuelles (comme {1, X, X^2, …}) dans la base de Lagrange, fait vraiment partie des incontournables. Débloque le corrigé sur Prépa Booster pour t’entraîner sur ce type d’exercices.
Un endomorphisme de dérivation (d) applique la dérivée à tout polynôme, tandis que la translation (t_a) transforme un polynôme P(X) en P(X+a). Chacun a ses propriétés propres : la dérivation génère des sous-espaces en cascade décroissante et la translation conduit à des notions de stabilité spécifiques. En concours, bien comprendre comment déterminer matrices, valeurs propres et espaces propres de ces endomorphismes est primordial.
La matrice de passage permet de convertir les coordonnées d’un vecteur exprimé dans une base vers une autre base. Dans le contexte des polynômes, cela permet de passer facilement d’une base usuelle (comme les puissances de X) à une base adaptée au problème (comme la base de Lagrange ou celle provenant d’un polynôme fixé et de ses dérivées). Cette compétence est souvent sollicitée pour montrer la généralité et la robustesse de l’analyse algébrique en concours.
La stabilité d’un sous-espace par un endomorphisme permet d’analyser sa structure de façon plus fine et d’identifier des sous-espaces invariants où l’action est plus simple à décrire, voire décomposer l’espace tout entier. Cela intervient souvent dans l’étude de la diagonalisabilité ou de la trigonalisation des endomorphismes. Pour la PSI au concours Mines-Ponts, c’est très souvent abordé en question transversale.
Pour les endomorphismes usuels, il existe des méthodes adaptées : la dérivation possède une structure nilpotente tandis que la translation t_a s’apparente à une transformation quasi-périodique. On commence par traduire l’action de l’endomorphisme sur la base de l’espace, puis on résout les équations caractéristiques. Le corrigé corrigé accessible sur Prépa Booster te donnera la démarche détaillée pour ces situations typiques de concours.
Maîtriser l’écriture d’un endomorphisme sous forme de matrice te permet d’utiliser toutes les techniques de calcul matriciel (valeurs propres, diagonalisation, étude de la stabilité, etc.). Cela permet aussi de visualiser les transformations et de comparer différentes écritures du même endomorphisme selon les bases choisies. C’est un outil incontournable pour réussir les exercices sur la structure des espaces vectoriels.
Oui, lorsqu’on travaille sur un espace de polynômes de degré fixé, on peut expliciter les sous-espaces stables — par exemple, ceux engendrés par des polynômes dont les degrés sont bornés ou dont les coefficients vérifient certaines conditions. Savoir donner leur nombre ou leur structure est une question classique de compréhension du cours en PSI.
Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses espaces propres atteint la dimension totale de l’espace. Pour la dérivation, ce n’est le cas que sur des sous-espaces très spécifiques, alors que pour la translation, le choix des bases et des paramètres (comme la rationalité de a/π) joue un rôle. Découvre des exemples corrigés directement sur Prépa Booster pour t’entraîner !
Le choix judicieux d’une base peut simplifier drastiquement les calculs et mettre en lumière les propriétés cachées des endomorphismes, notamment leurs valeurs propres, leurs espaces propres et leur structure globale. Savoir manipuler plusieurs bases et articuler les matrices de passage témoigne de ta maîtrise algébrique, ce qui est très valorisé lors de l’épreuve du concours.
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