Questions du sujet
1. Soit $z$ un réel strictement positif. Déterminer des conditions nécessaires et suffisantes sur les réels $\alpha$ et $\beta$ pour que la fonction $$ t \mapsto t^{\alpha-1}(1+t)^{\beta-1}e^{-zt} $$ soit intégrable sur $\mathbb{R}_+$.} 2. Soit $z$ un réel strictement positif. Déterminer des conditions nécessaires et suffisantes sur les réels $\alpha$, $\beta$ pour que la fonction $$ t \mapsto (-t)^{\alpha-1}(1+t)^{\beta-1}e^{-zt}, $$ soit intégrable sur $]-1, 0[$.} 3. Montrer que $I_1$ et $I_2$ sont continûment dérivables sur $\mathbb{R}_+^*$ et que $$ I_1′ = -K \quad \text{et} \quad I_2′ = -K + I_2. \quad \text{(E)} $$} 4. Montrer que $zK = \alpha I_1 + \beta I_2$.} 5. En déduire que le vecteur $I(z) = \begin{pmatrix} I_1(z) \\ I_2(z) \end{pmatrix}$ est solution d’un système différentiel linéaire sur $\mathbb{R}_+^* :$ $$ I'(z) = A(z)I(z),\quad (S) $$ où $A(z)$ est une matrice que l’on explicitera.} 6. Montrer que $K$ satisfait sur $\mathbb{R}_+^*$ une équation différentielle linéaire d’ordre 2 que l’on explicitera.} 7. Montrer que les fonctions $J_1$, $J_2$, $L$ satisfont les mêmes relations que respectivement, $I_1$, $I_2$, $K$ définies dans l’équation (E), que le vecteur $$ J = \begin{pmatrix} J_1 \\ J_2 \end{pmatrix} $$ est solution du même système différentiel que $I$ (voir (S)), et que $L$ satisfait la même équation différentielle que $K$ (trouvée à la question 6).} 8. Montrer que pour tout $t > 0$ et $z \geq 1$ $$ \left| (1+\frac{t}{z})^{\beta-1} – 1 \right| \le \begin{cases} \frac{t}{z} |\beta-1| (1+t)^{\beta-2}, & \text{si } \beta \geq 2, \\ \frac{t}{z} |\beta-1|, & \text{si } \beta \leq 2. \end{cases} $$} 9. En déduire que pour tous réels $\alpha>0$, $\beta>0$ $$ \int_{0}^{+\infty} t^{\alpha-1}(1+t)^{\beta-1} e^{-zt} dt $$ est équivalent à $\Gamma(\alpha)z^{-\alpha}$ quand $z$ tend vers $+\infty$, c’est-à-dire que $$ \left( \int_{0}^{+\infty} t^{\alpha-1}(1+t)^{\beta-1} e^{-zt} dt – \Gamma(\alpha)z^{-\alpha} \right) = o(z^{-\alpha}), $$ quand $z$ tend vers $+\infty$.} 10. Montrer, pour tous réels $\alpha>0$ et $\beta>0$ et pour tout réel $z$, l’identité : $$ \int_{-1}^{-1/2} (-t)^{\alpha-1}(1+t)^{\beta-1}e^{-zt}dt = e^z z^{-\beta} \int_0^{z/2} u^{\beta-1}\left(1-\frac{u}{z}\right)^{\alpha-1}e^{-u}du. $$} 11. En déduire que cette intégrale est équivalente à $\Gamma(\beta) e^z z^{-\beta}$ quand $z$ tend vers $+\infty$.} 12. En déduire que $$ \int_{-1}^{0} (-t)^{\alpha-1}(1+t)^{\beta-1} e^{-zt} dt $$ est équivalent à $\Gamma(\beta) e^z z^{-\beta}$ quand $z$ tend vers $+\infty$. Pour tous réels $\alpha > 0$, $\beta > 0$, $z > 0$ on définit le Wronskien $$ w(z) = \det \begin{pmatrix} I_1(z) & J_1(z) \\ I_2(z) & J_2(z) \end{pmatrix}. $$} 13. Donner un équivalent de $w(z)$ quand $z$ tend vers $+\infty$.} 14. Montrer que $w$ satisfait une équation différentielle linéaire d’ordre 1 que l’on explicitera.} 15. Montrer que, pour tout $z$ réel strictement positif, $w(z) = \Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)z^{-\alpha-\beta}e^z$.} 16. Montrer que si $\beta$ est un entier strictement positif $$ \int_0^{+\infty} t^{\alpha-1}(1+t)^{\beta-1} e^{-zt}dt = z^{-\alpha-\beta+1}P(z) $$ où $P(z)$ est un polynôme de degré $\beta-1$ en la variable $z$, que l’on explicitera. Pour tout réel $x$ et tout entier positif $n$, on pose $$ (x, n) = \prod_{k=0}^{n-1}(x+k) $$ pour $n>0$ et $(x, 0) = 1$.} 17. Soient $a$ et $b$ deux réels. On suppose de plus que $b$ n’est pas un entier négatif. Calculer le rayon de convergence de la série entière de terme général $$ u_k = \frac{(a, k)}{k!(b, k)}. $$ On note alors pour tout réel $x$ $$ F(a, b, x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(a, k)}{k!(b, k)} x^k. $$} 18. Montrer pour tout réel strictement positif $z$, l’identité suivante : $$ \int_{-1}^{0} (-t)^{\alpha-1}(1+t)^{\beta-1}e^{-zt}dt = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}F(\alpha, \alpha+\beta, z). $$} 19. Montrer directement (sans utiliser la partie I) que la fonction $y(x) = F(a, b, x)$ est solution sur $\mathbb{R}$ de l’équation différentielle suivante $$ xy”(x) + (b-x) y'(x) – a y(x) = 0. $$} 20. Montrer que si $b$ n’est pas un entier, on peut trouver des réels $a_0$ et $b_0$ tels que $y(z) = z^{1-b} F(a_0, b_0, z)$ soit solution sur $\mathbb{R}_+^*$ de la même équation différentielle.}FAQ
Ce sujet traite d’intégrales du type intégrale de Mellin et fait intervenir des fonctions comportant des puissances, des polynômes et des exponentielles. Pour leur intégrabilité sur différents intervalles, on t’invite à bien maîtriser les comportements asymptotiques aux bornes ainsi que l’utilisation des conditions nécessaires et suffisantes sur les paramètres (souvent notés α et β dans le sujet). Ces cas sont typiques en analyse supérieure et souvent mobilisés en concours.
Sur ce sujet, on te fait travailler aussi bien les équations différentielles d’ordre 1 que d’ordre 2. Pour une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients variables, pense à utiliser les méthodes classiques : identification d’une solution particulière, recherche de solutions de la forme puissance ou exponentielle, et mise en place du Wronskien pour tester l’indépendance des solutions. Ces techniques sont incontournables aussi bien en analyse qu’en physique.
Le Wronskien permet de vérifier si deux solutions sont linéairement indépendantes, condition essentielle pour obtenir la base de l’espace des solutions. Tu le retrouves ici à travers des fonctions intégrales dépendant de paramètres, une approche classique en CPGE MPSI/PSI. Savoir calculer le Wronskien et exploiter son équation différentielle associée, c’est un vrai atout pour traiter les systèmes d’équations et sécuriser des points précieux au concours.
La fonction Gamma apparaît très souvent dans l’étude d’intégrales généralisées et en approximation asymptotique, comme c’est le cas ici. Elle étend la notion de factorielle aux réels, et tu dois savoir la manipuler aussi bien en analyse qu’en probabilités. Sur ce sujet, on te demande d’identifier son apparition comme limite ou équivalent d’intégrales et de la relier à des comportements pour z tendant vers +∞. Si tu veux pousser à fond tes connaissances sur ces techniques, pense à débloquer les corrigés Prépa Booster pour accéder à plein d’exercices d’entraînement et des corrections détaillées.
Le sujet conduit naturellement à introduire la série hypergéométrique, notée F(a, b, x), qui généralise bien des cas classiques, et intervient dans l’analyse de solutions d’équations différentielles comme celles rencontrées ici. Savoir manipuler ses coefficients (factoriaux généralisés, rayons de convergence) t’apporte un vrai plus, autant pour la culture mathématique que pour résoudre les exercices originaux. Ce type de fonction spéciale revient régulièrement dans les concours, surtout pour distinguer les meilleurs.
Travaille bien les intégrales généralisées, la croissance comparée (équivalents, asymptotiques), le passage aux séries entières et la résolution d’équations différentielles linéaires à coefficients variables. Les liens entre analyse (intégrales, séries) et algèbre linéaire (systèmes, matrice A(z), Wronskien) sont omniprésents. Optimise tes révisions avec des exercices corrigés dans ta filière, accessibles sur Prépa Booster si tu veux accélérer ta progression !
Soigne la clarté : explicite toutes les étapes, précise les conditions sur les paramètres (par exemple, le domaine de validité des α, β, z), justifie l’utilisation des théorèmes (domination, convergence, changement de variable). Appuie-toi sur la structure des fonctions, rédige proprement les principales identités et n’hésite pas à encadrer ou à démontrer les résultats intermédiaires qui préparent ta conclusion. N’oublie pas que, pour accéder à une rédaction exemplaire, tu peux débloquer les corrigés complets sur Prépa Booster.