Mines Maths 1 PSI 2002

Questions du sujet

1. I-1. Rayon de convergence :\\
a. Exemples : étant donnés un réel $a$ différent de 0 $(a \neq 0)$ et un entier naturel $p$ différent de 0 $(p \geq 1)$, déterminer les rayons de convergence et les sommes $F_1$, $F_2$ et $F_3$ des séries entières de terme général $u_n x^n$, lorsque la fonction $f$ est successivement définie par l’une des trois relations suivantes :\\
$f_1(t) = a ;\quad f_2(t) = a t ;\quad f_3(t) = p t^{p – 1}$.\\
Préciser les ensembles de définition des trois fonctions $F_1$, $F_2$ et $F_3$ ; pour déterminer la fonction $F_3$, exprimer le coefficient $u_n$ pour $n \geq p-1$ au moyen du coefficient du binôme $C_{p-1}^n = \binom{n}{p-1}$.

2. I-1.b. Déterminer, pour une fonction $f$ réelle, définie sur le segment $[0,1]$, indéfiniment dérivable, le rayon de convergence de la série entière de terme général $u_n x^n$.

3. I-2. Suite de terme général $u_n$ :\\
a. Démontrer que, si la fonction $f$ prend une valeur en 0 strictement positive $f(0) > 0$, il existe un rang $N$ tel que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $N$, le réel $u_n$ soit de signe constant.

4. I-2.b. Étudier la convergence de la suite $u_n$ $(n \in \mathbb{N})$ dans les deux cas suivants :\\
i. le réel $|f(0)|$ appartient à l’intervalle semi-ouvert $[0, 1)$ $(0 \leq |f(0)| < 1)$,\\ ii. le réel $|f(0)|$ est strictement supérieur à 1 $(|f(0)| > 1)$.

5. I-3. Série de terme général $u_n$ :\\
Soit $\alpha$ la valeur prise par la fonction dérivée $f’$ en 0 : $\alpha = f'(0)$.\\
Soit $v_n$ $(n \in \mathbb{N})$ la suite définie par les relations suivantes :\\
$v_0 = 1$ ; pour tout entier $n\geq 1 : v_n = \frac{u_n}{n\alpha}$.\\
Dans le cas particulier où $\alpha$ est nul : $v_n = u_n$.\\
Étudier la convergence de la série dont le terme général $w_n$, $n \geq 1$, est défini par la relation : $w_n = \ln\left(\frac{v_n}{v_{n-1}}\right)$.\\
En déduire l’existence d’une constante $L\neq 0$, telle que $u_n$ soit équivalent à l’infini à $L \alpha^n$.}

6. I-4. Fonction $F$ :\\
a. Soit $f$ une fonction réelle, définie sur le segment $[0,1]$, strictement positive, indéfiniment dérivable, prenant la valeur 1 en 0 ; déterminer l’ensemble de définition $D_F$ de la fonction $F$, c’est-à-dire l’ensemble des réels pour lesquels la série de terme général $u_n x^n$ est convergente ; les coefficients $u_n$ sont définis par la relation (U) de la première page.

7. I-4.b. Exemple : étant donné un réel $\alpha$ différent d’un entier naturel, soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0,1]$ par la relation suivante : $f(t) = 1 + \alpha t$.\\
Soit $F$ la fonction égale à la somme de la série entière de terme général $u_n x^n$ ; les coefficients $u_n$ sont définis par la relation (U). Écrire l’expression de $F(x)$ comme somme d’une série entière ; préciser son rayon de convergence. Reconnaître la fonction $F$.

8. II-1. Propriétés de la fonction $g$ :\\
a. Démontrer que la fonction $g$, définie par les relations ci-dessus, est continue sur l’intervalle ouvert $(-1,1)$. Calculer pour tout réel $\alpha$, appartenant à l’intervalle ouvert $(-1,1)$, l’intégrale $I_\alpha$ définie par la relation ci-dessous :\\
$I_\alpha = \int_0^\alpha g(t)\, dt$.

9. II-1.b. Soit $h$ la fonction complexe, périodique de période $2\pi$, définie sur l’intervalle semi-ouvert $[0,2\pi)$ par la relation suivante :\\
pour tout réel $t$ vérifiant $0 \leq t < 2\pi$, $h(t) = e^{i\alpha t}$.\\ Déterminer le développement en série de Fourier de la fonction $h$ ; préciser la convergence de la série obtenue. En déduire la relation :\\ $g(\alpha) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\alpha}{\alpha^2 – n^2}$. 10. II-1.c. En déduire une expression de l’intégrale $I_\alpha$, considérée à l’alinéa a, au moyen de la somme d’une série.} 11. II-2. Convergence de la suite $u_n$ $(n \in \mathbb{N})$ :\\ Démontrer que la suite $u_n$ $(n \in \mathbb{N})$ définie à partir de la fonction $f$ grâce aux relations (U) est convergente et déterminer sa limite. 12. III-1. Existence des fonctions $G_n$ et $G$ :\\ Démontrer que les deux fonctions $G_n$ et $G$ sont définies et continues sur la demi-droite ouverte $(0,+\infty)$. Démontrer que la suite des fonctions $G_n$, $n = 1,2,\ldots$, converge simplement, sur la demi-droite ouverte $(0,+\infty)$, vers la fonction $G$. 13. III-2. Une expression de $G_n(x)$ :\\ a. Étant donnés un entier naturel $n$ et un réel $x$ strictement positif $(x>0)$, soit $J_n(x)$ l’intégrale définie par la relation suivante :\\
$J_n(x) = \int_0^1 (1-t^n) t^{x-1} dt$.\\
Calculer cette intégrale.

14. III-2.b. En déduire, pour tout entier $n \geq 1$ et tout réel $x > 0$, une expression de $G_n(x)$.

15. III-3. Relation des compléments :\\
Démontrer, pour tout réel $x$ strictement compris entre 0 et 1 $(0 < x < 1)$, la relation suivante :\\ $G(x) + G(1-x) = \frac{\pi}{\sin(\pi x)}$.}