Questions du sujet
1. Soit $n \in \mathbb{N}^* :$ montrer que l’application $k \mapsto \binom{n}{k}$ est croissante sur $\{0, \cdots, [n/2]\}$. En déduire que pour tout $k \in \{0, \cdots, n\}$, $\binom{n}{k} \leq \binom{n}{[n/2]}$.
2. Trouver un équivalent de $\binom{n}{[n/2]}$ quand $n$ tend vers l’infini. En déduire qu’il existe un entier $n_0$ tel que pour $n \geq n_0$, $\binom{n}{[n/2]} \leq \dfrac{2^n}{\sqrt{n}}$.
3. Montrer que pour tout entier non nul $n$ et tout $k \in \{0, \cdots, n\}$, $\binom{n}{k} 2^{k-1} \leq n^k$.
4. Pour tout $i \in \{1, \cdots, n\}$, exprimer $e_i$ en fonction de $v$ et $v – 2e_i$. En déduire que $\operatorname{Vect}(1,n) = \mathbb{R}^n$.
5. Déterminer l’espérance de $\det M(2)$.}
6. Montrer que la variance de $\det M(2)$ est égale à $2$.
7. Calculer $\mathbb{P}(\det M(2) = 0)$.
8. Quelle est la probabilité que les deux premières lignes de $M(n)$ soient égales ou opposées ?\\ En déduire que $\mathbb{P}(\det M(n) = 0) \geq 2^{1-n}$ si $n \geq 2$.
9. Soient $l_1, \cdots, l_n$ des vecteurs non nuls de $\mathbb{R}^n$. Montrer que ces vecteurs sont liés si et seulement si, il existe $j \in \{1, \cdots, n-1\}$ tel que $l_{j+1} \in \operatorname{Vect}(\{l_1, \cdots, l_j\})$.\\ En déduire que\\ $\mathbb{P}(\det M(n) = 0) \leq \sum_{j=1}^{n-1} \mathbb{P}(L^{(n)}_{j+1} \in \operatorname{Vect}(L^{(n)}_1, \cdots, L^{(n)}_j))$.
10. Montrer alors qu’il existe des réels $(\lambda_{i,j},\ 1 \leq i \leq n-d, 1 \leq j \leq n)$ tels que pour $x = (x_1, \cdots, x_n) \in H$ :\\
$\begin{pmatrix}
\lambda_{1,1} & \cdots & \lambda_{1,n} \\
\vdots & & \vdots \\
\lambda_{n-d,1} & \cdots & \lambda_{n-d,n}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\ \vdots \\ x_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\ \vdots \\ 0
\end{pmatrix}$.}
11. En utilisant le pivot de Gauss, montrer qu’il existe $1 \leq i_1 < \cdots < i_d \leq n$ tel que pour tout $(y_1, \cdots, y_d) \in \mathbb{R}^d$ il existe un unique $x = (x_1, \cdots, x_n) \in H$ tel que $x_{i_k} = y_k$ pour $k = 1, \cdots, d$.
12. En déduire que $\mathbb{P}(L^{(n)}_1 \in H) \leq 2^{d-n}$, puis que pour tout $j \in \{1, \cdots, n-1\}$,\\ $\mathbb{P}(L^{(n)}_{j+1} \in \operatorname{Vect}(L^{(n)}_1, \cdots, L^{(n)}_j)) \leq 2^{j-n}$.
13. Montrer que l’on peut trouver un vecteur non nul orthogonal à $\operatorname{Vect}(l_i, i=1, \cdots, q)$ qui soit à coordonnées dans $\mathbb{Z}$.
14. Montrer que $A_k$ est une anti-chaîne et que $|A_k| \leq \binom{n}{[n/2]} \leq \dfrac{2^n}{\sqrt{n}}$, la deuxième inégalité ayant lieu pour $n$ assez grand.
15. Quel est le cardinal de $S_A$ ?}
16. Soit $B \in \mathcal{A}$ avec $B \neq A$. Montrer que $S_A \cap S_B = \varnothing$.
17. En déduire que si $a_k$ désigne, pour $k \leq n$, le nombre d’éléments de $\mathcal{A}$ de cardinal $k$, alors $\sum_{k=0}^n \frac{a_k}{\binom{n}{k}} \leq 1$.
18. Montrer que $|\mathcal{A}| \leq \binom{n}{[n/2]}$.
19. Montrer que si $A \subset B \subset \{1, \cdots, n\},\ A \neq B$, alors $s_B - s_A \geq 2$.
20. Soit $J$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ de longueur $2$ : montrer que si $n$ est assez grand alors $\mathbb{P}(\langle L_1^{(n)}, v \rangle \in J) \leq \dfrac{1}{\sqrt{n}}$.\\ Montrer que cette propriété reste vraie si l’on suppose seulement que pour tout $j \in \{1, \cdots, n\}$, $|v_j| \geq 1$.}
21. Soit $d \in \{1, ..n\}$. Montrer l’inclusion
$\left\{ \{L_1^{(n)}, \cdots, L_d^{(n)}\} \text{ non } k\text{-universel} \right\} \subset \bigcup_{\substack{(j_1,\ldots,j_k) \in \{1,\ldots,n\}^k \\ j_1<\ldots