Questions du sujet
1. Montrer que $h u = -u$ et que $h v = v$ dès que $v$ est orthogonal à $u$. 2. Démontrer que $h$ est symétrique et orthogonale. 3. Soit $g \in \mathbb{R}^m$, de composantes $\gamma_i,\, 1 \leq i \leq m$, un vecteur unitaire non colinéaire à $e_1$. On pose $u = \dfrac{g – e_1}{\sqrt{2(1 – \gamma_1)}}$, montrer que $u$ est unitaire et que $h g = e_1$. 4. En déduire que si $x$ est un vecteur de $\mathbb{R}^m$ non colinéaire à $e_1$, il existe un vecteur unitaire $u$ et une matrice de Householder associée $h$ telle que $h x = \|x\| e_1$. 5. Montrer que $b^s$ est semblable à $q^b$ et qu’on peut choisir $h_1$ de telle sorte que $\sigma^b_{i1} = \sigma^b_{1i} = 0$ pour $i = 3, \ldots, m$.} 6. En déduire un procédé permettant de déterminer une matrice tridiagonale symétrique semblable à $q^b$. 7. Soit $\lambda \in \sigma(t^0)$ et $x$ un vecteur propre associé de composantes $\xi_j$, $j = 1, \ldots, m$. En raisonnant par l’absurde, montrer que $\xi_m \neq 0$. 8. Démontrer que les sous-espaces propres de $t^0$ sont de dimension $1$. Quel est le cardinal de $\sigma(t^0)$ ? 9. Étant donnée $t(t)$ solution de (5), et donc $u(t)$, démontrer que le système différentiel $\left\{\begin{array}{l} v'(t) = u(t) v(t),\ t \in \mathbb{R} \\ v(0) = I \end{array}\right.$ admet une solution et une seule $v(t)$ sur $\mathbb{R}$. 10. Montrer que pour tout $t \in \mathbb{R}$, la matrice $v(t)$ solution de (6) est orthogonale.} 11. Montrer que $^t v(t) t(t) v(t)$ est une matrice constante que l’on déterminera. Les valeurs propres de $t(t)$ dépendent-elles de $t$ ? 12. Montrer que la fonction $L$ est constante. En déduire que les fonctions $\beta_i$ sont bornées sur $\mathbb{R}$, soit par $D$. 13. Pour $1 \leq i \leq m-1$, montrer que $2\int_0^t \alpha_i^2(s)\, ds = \sum_{j=1}^i (\beta_j(t)-b_j)$ et en déduire que les $\alpha_i^2$ sont intégrables sur $\mathbb{R}$. 14. En déduire que les $\beta_i(t)$, $i = 1, \ldots, m$ possèdent une limite quand $t \to \pm \infty$. 15. Déduire des résultats des questions précédentes que la fonction $\alpha_i \alpha_i’$ est intégrable sur $\mathbb{R}$. En déduire la limite de $\alpha_i(t)$ lorsque $t \to \pm \infty$.} 16. Montrer que pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, $\chi_t(\lambda)$ tend vers $\prod_{i=1}^m (\lambda – \beta_i^+)$ (respectivement vers $\prod_{i=1}^m (\lambda – \beta_i^-)$) lorsque $t \to +\infty$ (respectivement $-\infty$). 17. En déduire que $\sigma(t) = B^+ = B^-$. 18. On suppose que $A^+$ n’est pas vide et on pose $\tau = \inf\{t\ |\ t \in A^+\}$. Déterminer la valeur de $\alpha_i(\tau)$ et montrer que pour $t \in\,]0,\tau[$, $\alpha_i(t)$ est du même signe que $a_i$. 19. En supposant toujours que $A^+$ n’est pas vide, montrer que $\forall t \in [0, \tau[$,\[|\ln |\alpha_i(t)| – \ln |\alpha_i(0)|| \leq 2D\tau.\] En déduire que nécessairement $A^+ = \emptyset$, puis que $\alpha_i$ ne s’annule en aucun point de $\mathbb{R}$. 20. En raisonnant par l’absurde, montrer que $\beta_{i+1}^+ < \beta_i^+$, $i = 1, \ldots, m-1$ ; en déduire que $\beta_i^+ = \lambda_i$, $i = 1, \ldots, m$.} 21. Montrer que si $\delta$ est choisi tel que $0 < \delta < \beta_i^+ - \beta_{i+1}^+$, $i = 1, \ldots, m-1$, alors il existe $S$ et $C$ strictement positifs tels que $\forall s > S$, $|\alpha_i(s)| < C e^{-\delta s}$, $i = 1, \ldots, m-1$. En déduire que pour $t > S$, $\exists C’ > 0$ tel que $|\lambda_i – \beta_i(t)| < C' e^{-2\delta t}$, $i = 1, \ldots, m$.}FAQ
Une matrice de Householder est une matrice symétrique et orthogonale utilisée pour effectuer des réflexions dans un espace vectoriel. Elle est particulièrement utile en algèbre linéaire pour la réduction de matrices sous forme tridiagonale, comme dans le sujet Mines-Ponts 2013. Si tu veux voir comment elle est appliquée dans ce problème, débloque les corrigés pour accéder à des explications détaillées !
Pour montrer qu’une matrice est symétrique, il faut vérifier que \( h = {}^t h \). Pour l’orthogonalité, il faut montrer que \( h^{-1} = {}^t h \), c’est-à-dire que \( h {}^t h = I \). Dans le sujet, on utilise ces propriétés pour construire des transformations préservant les normes et les produits scalaires. Tu peux retrouver la démonstration complète dans le corrigé détaillé.
La réduction sous forme tridiagonale simplifie grandement le calcul des valeurs propres et des vecteurs propres, car elle permet d’utiliser des algorithmes numériques plus efficaces. C’est une étape clé dans des méthodes comme la méthode QR, souvent abordée en CPGE et dans les concours comme Mines-Ponts.
Ce type de système différentiel linéaire peut être résolu en utilisant des méthodes d’intégration ou en exploitant les propriétés des matrices orthogonales. Dans le sujet, on montre l’existence et l’unicité de la solution en utilisant le théorème de Cauchy-Lipschitz. Pour une résolution pas à pas, consulte le corrigé !
Les matrices orthogonales préservent les normes et les angles, ce qui est crucial pour étudier la stabilité des solutions d’équations différentielles. Dans le sujet, on utilise ces propriétés pour garantir que certaines quantités restent constantes au cours du temps, comme la fonction \( L \).
Si une fonction \( L(t) \) vérifie \( L'(t) = 0 \) pour tout \( t \), alors \( L \) est constante. Dans le sujet, on utilise cette propriété pour montrer que certaines quantités, comme les valeurs propres, ne dépendent pas du temps. C’est un résultat clé pour la suite du problème.
Les matrices tridiagonales symétriques ont des valeurs propres distinctes, ce qui implique que leurs sous-espaces propres sont de dimension 1. C’est une conséquence du théorème spectral et de la structure particulière de ces matrices. Dans le sujet, cela permet de conclure sur la multiplicité des valeurs propres.
Une matrice de Householder représente une réflexion par rapport à un hyperplan. Géométriquement, cela signifie qu’elle renvoie tout vecteur orthogonal à l’hyperplan et laisse inchangé tout vecteur parallèle à l’hyperplan. C’est une transformation linéaire très utile en algèbre numérique.
La stratégie consiste généralement à utiliser des transformations orthogonales pour simplifier la matrice, comme les matrices de Householder ou les rotations de Givens. Ensuite, on exploite les propriétés des matrices réduites (tridiagonales, par exemple) pour calculer les valeurs propres. Le sujet Mines-Ponts 2013 illustre parfaitement cette approche.
Les matrices orthogonales sont fondamentales en algèbre linéaire et en analyse numérique, car elles préservent les normes et les angles. Elles sont omniprésentes dans les problèmes de réduction de matrices, de diagonalisation et de résolution de systèmes différentiels. Maîtriser ces concepts est essentiel pour réussir les concours comme Mines-Ponts.