Questions du sujet
1. Soient $\lambda$ un réel dans l’intervalle $]0, 1[$, et $a$ et $b$ deux réels positifs. Montrer que $$ \lambda a + (1-\lambda)b \geq a^{\lambda}b^{1-\lambda}, $$ (on pourra introduire une certaine fonction auxiliaire dont on justifiera la concavité). Montrer en outre que pour tout réel $u>1$, $$ (\lambda a + (1-\lambda)b)^u \leq \lambda a^u + (1-\lambda) b^u. $$ 2. Soient $a$ et $b$ deux réels positifs et $\lambda$ un réel dans $]0, 1[$. Montrer que $$ (a+b)^{\lambda} \leq a^{\lambda} + b^{\lambda}. $$ 3. On note $F = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx$ et $G = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\,dx$. Montrer que pour tout $t$ dans l’intervalle $]0, 1[$ il existe un unique réel noté $u(t)$ et un unique réel noté $v(t)$ tels que $$ \frac{1}{F} \int_{-\infty}^{u(t)} f(x)\,dx = t,\quad \frac{1}{G} \int_{-\infty}^{v(t)} g(x)dx = t. $$ (On pourra étudier les variations de la fonction : $u \mapsto \frac{1}{F}\int_{-\infty}^u f(x)\,dx$). 4. Montrer que les applications $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur l’intervalle $]0, 1[$ et, calculer pour chaque $t \in ]0, 1[$ les nombres dérivés $u'(t)$ et $v'(t)$. 5. Prouver que l’ensemble image de l’application $w$ définie sur $]0,1[$ par $$ \forall t \in ]0,1[,\, w(t) = \lambda u(t) + (1-\lambda)v(t), $$ est égal à $\mathbb{R}$. Puis montrer que $w$ définit un changement de variable de $]0,1[$ sur $\mathbb{R}$. En utilisant ce dernier et $\int_{-\infty}^{+\infty} h(w)dw$, montrer que $f, g$ et $h$ satisfont l’inégalité “P-L” $(1)$.} 6. Prouver que pour tous $x, y \in \mathbb{R}$, $$ \Psi(\lambda x + (1-\lambda)y) \geq \Psi(x)^{\lambda} \Psi(y)^{1-\lambda}. $$ Où $\Psi(u) = \exp(-u^2)$ pour tout réel $u$. 7. Soit $M$ un réel strictement positif. On suppose dans les questions 7), 8) et 9) que $f$ et $g$ sont nulles en dehors de l’intervalle $[-M, M]$. On note $\Lambda = \min(\lambda, 1-\lambda)$, $\Theta = \max(\lambda, 1-\lambda)$ et $M_c = M \max(\lambda, 1-\lambda)$. Pour chaque réel $u$ on pose: $$ \Psi_M(u) = \begin{cases} \exp\left(-\frac{1}{\Theta^2}(|u|-M_c)^2\right), & \text{si } |u| > M_c \\ 1, & \text{si } |u| \leq M_c \end{cases} $$ Soit $x, y \in \mathbb{R}$. On pose $z = \lambda x + (1-\lambda) y$. Prouver que si $|y| \leq M$ alors $\Psi(x) \leq \Psi_M(z)$. De même, prouver que si $|x| \leq M$ alors $\Psi(y) \leq \Psi_M(z)$. 8. Soit $\varepsilon \in ]0, 1[$, $f_{\varepsilon} = f + \varepsilon \Psi$ et $g_{\varepsilon} = g + \varepsilon \Psi$. Montrer que $$ \forall x, y \in \mathbb{R},\, f_{\varepsilon}(x)^{\lambda} g_{\varepsilon}(y)^{1-\lambda} \leq h(z) + \varepsilon \Lambda ( \|f\|_{\infty}^{\lambda} + \|g\|_{\infty}^{1-\lambda} ) (\Psi_M(z))^{\Lambda} + \varepsilon \Psi(z), $$ où $z = \lambda x + (1-\lambda)y$. On commencera par appliquer l’inégalité de la question 2, puis les deux questions précédentes. On rappelle que $f(x) = 0$ si $|x| > M$ et que $g(y) = 0$ si $|y| > M$. 9. En déduire que si $f$ et $g$ sont nulles en dehors d’un intervalle borné alors l’inégalité “P-L” est satisfaite. 10. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On désigne par $\chi_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la fonction continue qui vaut $1$ sur $[-n, n]$, qui vaut $0$ sur $]-\infty, -n-1] \cup [n+1, +\infty[$ et qui est affine sur chacun des deux intervalles $[-n-1, -n]$ et $[n, n+1]$. Montrer que $$ \forall x, y \in \mathbb{R},\, \chi_n(x)^{\lambda} \chi_n(y)^{1-\lambda} \leq \chi_{n+1}(\lambda x + (1-\lambda)y). $$} 11. Montrer que l’inégalité “P-L” (1) est satisfaite (si on choisit d’utiliser le théorème de convergence dominée alors on vérifiera soigneusement que ses conditions de validité sont remplies). 12. On note $\langle\cdot\, ;\,\cdot\rangle$ le produit scalaire euclidien canonique de l’espace vectoriel $\mathbb{R}^n$. Soit $S \in \mathrm{End}\, \mathbb{R}^n$ un endomorphisme symétrique de l’espace euclidien $(\mathbb{R}^n, \langle\cdot\, ;\,\cdot\rangle)$. On suppose que $\forall x \in \mathbb{R}^n,\, \langle S(x)\, ;\, x\rangle \geq 0$. Prouver alors que l’application définie par $$ \forall x \in \mathbb{R}^n,\quad f(x) = \exp(-\langle S(x)\, ;\, x\rangle), $$ est continue et log-concave sur $\mathbb{R}^n$. 13. Soit $\lambda \in ]0, 1[$ et $f, g, h$ des fonctions de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}_+$ continues à support borné et telles que $$ \forall X \in \mathbb{R}^2,\, \forall Y \in \mathbb{R}^2,\, h(\lambda X + (1-\lambda) Y) \geq f(X)^{\lambda} g(Y)^{1-\lambda}. $$ Montrer que $$ \iint_{\mathbb{R}^2} h(x, y) dxdy \geq \left( \iint_{\mathbb{R}^2} f(x, y) dxdy\right)^{\lambda} \left( \iint_{\mathbb{R}^2} g(x, y) dxdy\right)^{1-\lambda}. $$ 14. Soit $A$ une partie ouverte bornée non vide de $\mathbb{R}^2$. On désigne par $C(A)$ l’ensemble des fonctions continues $f$ de $\mathbb{R}^2$ dans $[0, 1]$ telles que $\forall(x, y) \in \mathbb{R}^2 \setminus A,\ f(x, y) = 0$ (en d’autres termes $f$ est nulle hors de $A$). Montrer alors que la borne supérieure $$ \sup_{f \in C(A)} \iint_{\mathbb{R}^2} f(x, y) dxdy $$ existe et définit un réel strictement positif noté $V(A)$. 15. On considère un rectangle $]a, b[ \times ]c, d[$ du plan $\mathbb{R}^2$, avec $a < b$ et $c < d$. On désigne par $D(O, R)$ le disque ouvert de centre l’origine $O$ et de rayon $R > 0$ du plan euclidien $\mathbb{R}^2$. Calculer alors les deux réels $V(]a, b[ \times ]c, d[)$ et $V(D(O, R))$. Que représentent-ils respectivement? (Dans le calcul de $V(]a, b[ \times ]c, d[)$ on pourra utiliser des fonctions du type $(x, y)\mapsto f(x, y) = \phi(x)\varphi(y)$, où $\phi$ et $\varphi$ sont des fonctions continues et affines par morceaux bien choisies).} 16. Soient $A$ et $B$ deux parties ouvertes bornées non vides de $\mathbb{R}^2$ et $\lambda \in ]0, 1[$. Vérifier que $\lambda A + (1-\lambda) B$ est un ouvert borné de $\mathbb{R}^2$. Puis montrer que $$ V(\lambda A + (1-\lambda) B) \geq V(A)^{\lambda} V(B)^{1-\lambda}. $$ Pour démontrer cette inégalité, on utilisera le résultat admis suivant. Pour tout $f \in C(A)$ et $g \in C(B)$, la fonction $h$ déterminée par: $$ \forall Z \in \mathbb{R}^2,\ h(Z) = \sup\{ f(X)^{\lambda}g(Y)^{1-\lambda}\ /\ X, Y \in \mathbb{R}^2,\, Z = \lambda X + (1-\lambda) Y \} $$ définit une fonction continue sur $\mathbb{R}^2$. 17. Soit $u: \mathbb{R}^2 \to ]0, +\infty[$ une fonction continue et log-concave au sens de la partie II. Prouver que l’inégalité précédente reste vraie si on remplace l’application $V$ par l’application $\gamma$ définie pour toute partie ouverte bornée (non vide) $A$ de $\mathbb{R}^2$ par $$ \gamma(A) = \sup_{f \in C(A)} \iint_{\mathbb{R}^2} f(x, y) u(x, y) dxdy. $$}FAQ
Le sujet couvre plusieurs thèmes majeurs : inégalités (de Jensen, de Hölder), fonctions convexes et concaves, changements de variables en intégration, propriétés des fonctions log-concaves, étude de variations et de dérivabilité, compréhension des transformations d’ensembles, et applications concrètes en dimension 2 (aires de domaines, convexité, support de fonctions). La maîtrise de ces notions est essentielle pour réussir les épreuves de concours d’entrée aux grandes écoles.
Pour réussir ce type de question, commence toujours par identifier la fonction à étudier (est-elle convexe ou concave ?) puis construis une fonction auxiliaire adaptée, comme suggéré dans l’énoncé. Pose-toi la question de la dérivabilité, examine les variations, puis exploite la propriété de convexité/concavité. Entraîne-toi aussi à repérer quels outils utiliser en fonction du contexte (intégrales, exponentielle, log-concavité, etc). Pour aller plus loin dans la méthodologie et les astuces de rédaction, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster !
La log-concavité est une propriété très puissante en analyse et en probabilités : elle permet de déduire des inégalités intéressantes sur les intégrales et des propriétés de concentration de mesure. On la retrouve fréquemment en concours car elle fait le pont entre arithmétique, analyse, probabilités et géométrie. Elle intervient aussi dans l’étude des lois gaussiennes, des grandes déviations, et dans la majoration d’aires ou de volumes via des transformations d’ensembles. Savoir la reconnaître et l’exploiter efficacement est donc incontournable.
Le changement de variable, en particulier dans les contextes de transformations linéaires ou d’intégration sur \( \mathbb{R} \) ou \( \mathbb{R}^2 \), permet de ramener des calculs complexes à des intégrales plus simples ou d’appliquer directement une inégalité comme celle de Prékopa-Leindler. Savoir effectuer ce travail finement est souvent ce qui distingue une copie solide d’une copie excellente lors du concours Mines-Ponts.
Quand tu travailles sur des fonctions à support borné, ou sur des domaines particuliers du plan, il s’agit souvent de montrer que la propriété d’inégalité intégrale subsiste après un changement linéaire ou quand tu « mélanges » des ensembles via une combinaison convexe. Cela nécessite de savoir caractériser précisément les supports, et d’utiliser habilement le théorème de convergence dominée ou Lebesgue pour justifier le passage à la limite. Ces aspects sont détaillés pas à pas dans les corrigés détaillés de Prépa Booster — n’hésite pas à les débloquer pour voir comment structurer ta rédaction !
Le sujet t’oriente vers l’utilisation de fonctions continues à support dans le domaine, comme les fonctions « chapeau » ou indicatrices arrondies (par morceaux affine). Pour maximiser tes intégrales de test et atteindre la valeur optimale (aire ou volume), il faut savoir construire ces fonctions et comprendre le passage à la limite : ainsi, on approche la « vraie » caractéristique du domaine tout en restant dans l’intégrable. C’est une compétence clé, utile tant en maths pures qu’en physique math, et bien sûr indispensable pour tous les concours !
Les fonctions à support compact, c’est-à-dire qui s’annulent hors d’un compact, permettent de manipuler les intégrales sur \( \mathbb{R} \) ou \( \mathbb{R}^2 \) sans se soucier de la convergence à l’infini. Elles facilitent l’application des grands théorèmes d’analyse (domination, passage à la limite, etc) et servent de passerelle pour étendre certains résultats d’inégalités à des fonctions plus générales par approximation.
Ce sujet montre très bien comment les outils d’analyse (intégrales, fonctions log-concaves) s’articulent avec la géométrie des ensembles (mélange convexes, aire des domaines). Les inégalités intégrales permettent de comparer des aires ou des volumes « mélangés » à ceux des domaines de départ. Savoir naviguer entre ces trois axes (calcul, géométrie, inégalités) est fondamental pour briller en CPGE et comprendre le sens profond des théorèmes vus en cours.
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