Questions du sujet
1. Après avoir justifié l’existence des bornes supérieures, montrer que :
\[
\sup_{x\in E,\, x\neq 0} \frac{\|u(x)\|}{\|x\|} = \sup_{x\in E,\, \|x\|=1} \|u(x)\|.
\]
2. On note $\lVert u \rVert = \sup_{x\in E,\, x\neq 0} \frac{\|u(x)\|}{\|x\|}$. Montrer que $\lVert \cdot \rVert$ est une norme sur $L(E)$.
3. Montrer qu’il s’agit d’une norme sous-multiplicative, c’est-à-dire que :\\
\[
\forall (u, v) \in L(E)^2,\, \lVert uv \rVert \leq \lVert u \rVert \cdot \lVert v \rVert,
\]
et en déduire une majoration de $\lVert u^k \rVert$, pour tout entier naturel $k$, en fonction de $\lVert u \rVert$ et de l’entier $k$.
4. Montrer qu’il existe un entier naturel non nul $r$, des nombres complexes distincts $\lambda_1, \lambda_2, …, \lambda_r$, ainsi que des entiers naturels non nuls $m_1, m_2, …, m_r$, tels que :
\[
\mathbb{C}^n = \bigoplus_{i=1}^r E_i,
\]
où pour $i \in \{1,\ldots, r\}$, $E_i = \ker(a – \lambda_i \mathrm{id}_{\mathbb{C}^n})^{m_i}$.
5. Montrer que, pour tout $i \in \{1, \ldots, r\}$, il existe une constante $C_i \geq 0$ telle que :
\[
\forall u \in L(E_i),\quad \lVert q_i u p_i \rVert_c \leq C_i \lVert u \rVert_i.
\]
}
6. Montrer que, pour $i \in \{1, \ldots, r\}$, $E_i$ est stable par $a$.
7. Soient $(i, j) \in \{1, \ldots, r\}^2$. Exprimer $p_i q_j$ puis $\sum_{i=1}^r q_i p_i$ en fonction des endomorphismes $\mathrm{id}_{\mathbb{C}^n}$ et $\mathrm{id}_{E_j}$.
8. Montrer que :
\[
a = \sum_{i=1}^r q_i a_i p_i.
\]
9. En déduire que :
\[
\forall t \in \mathbb{R},~e^{ta} = \sum_{i=1}^r q_i e^{t a_i} p_i.
\]
10. Montrer par ailleurs que :
\[
\forall i \in \{1,\ldots, r\},\, \forall t \in \mathbb{R},\quad \lVert e^{t a_i}\rVert_i \leq |e^{t\lambda_i}| \sum_{k=0}^{m_i-1} \frac{|t|^k}{k!} \lVert a_i – \lambda_i \mathrm{id}_{E_i} \rVert^k.
\]
}
11. En déduire l’existence d’un polynôme $P$ à coefficients réels tel que :
\[
\forall t \in \mathbb{R},\quad \lVert e^{ta}\rVert_c \leq P(|t|) \sum_{i=1}^r e^{t \Re(\lambda_i)},
\]
où $\Re(z)$ désigne la partie réelle d’un nombre complexe $z$.
12. Pour toute matrice $A \in M_n(\mathbb{R})$, on notera $u_A$ l’endomorphisme canoniquement associé à $A$ dans $\mathbb{R}^n$ et $v_A$ l’endomorphisme de $\mathbb{C}^n$ canoniquement associé à $A$, vue comme une matrice de $M_n(\mathbb{C})$. On conservera la notation $\lVert \cdot \rVert_c$ pour la norme introduite à la partie A sur $L(\mathbb{C}^n)$ et on utilisera $\lVert \cdot \rVert_r$ sur $L(\mathbb{R}^n)$. Montrer qu’il existe $C\geq 0$ telle que :
\[
\forall A\in M_n(\mathbb{R}),~\forall t\in\mathbb{R},~\lVert e^{t u_A} \rVert_r \leq C \lVert e^{t v_A} \rVert_c.
\]
13. Montrer que :
\[
\forall x_0 \in \mathbb{R}^n,\quad \lim_{t\to +\infty} \|g_{x_0}(t)\| = 0 \iff \mathrm{Sp}(A) \cap \left( \mathbb{R}^*_{+} + i\mathbb{R} \right) = \varnothing.
\]
14. On se place dans cette question dans le cas où toutes les valeurs propres de $A$ ont une partie réelle strictement négative. Montrer alors qu’il existe deux constantes $C_2$ et $\alpha$ strictement positives telles que :
\[
\forall t\in\mathbb{R}_+,~\lVert e^{t u} \rVert_r \leq C_2 e^{-\alpha t},
\]
et en déduire une majoration de $\|g_{x_0}(t)\|$ pour $t\in\mathbb{R}_+$.}
15. Montrer que la fonction
\[
b:\quad
\begin{array}{ccc}
\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n & \rightarrow & \mathbb{R} \\
(x, y) & \mapsto & \int_0^{+\infty} \langle e^{ta}(x)|e^{ta}(y) \rangle dt
\end{array}
\]
est bien définie et qu’elle définit un produit scalaire sur $\mathbb{R}^n$.
16. Démontrer alors que :
\[
\forall x\in \mathbb{R}^n,~~ d q(x)(a(x)) = 2 b(x,a(x)) = -\|x\|^2.
\]
17. Pour toute fonction $y$ définie sur $\mathbb{R}_+$, on associe la fonction $\Psi(y)$ définie par :
\[
\Psi(y):~ \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}^n,~ t \mapsto \varphi(y(t)) – a(y(t)).
\]
Vérifier l’égalité
\[
\forall t\in \mathbb{R}_+,~ q(f_{x_0})'(t) = -\|f_{x_0}(t)\|^2 + 2 b(f_{x_0}(t), \Psi(f_{x_0})(t)).
\]
18. Prouver l’existence de deux nombres réels $\alpha$ et $\eta$ strictement positifs tels que, pour tout $t\in\mathbb{R}_+$, on ait :
\[
q(f_{x_0}(t))\leq \alpha \implies -\|f_{x_0}(t)\|^2 + 2b(f_{x_0}(t), \Psi(f_{x_0})(t)) \leq -\eta q(f_{x_0}(t)).
\]
On fixe un tel couple $(\alpha,\eta)$ pour la suite de ce problème.
19. Montrer alors que :
\[
q(x_0)\leq \alpha \implies \forall t\geq 0,~q(f_{x_0})(t)\leq e^{-\eta t} q(x_0).
\]}
20. En déduire l’existence de trois constantes $\tilde{\alpha},\, C$ et $\epsilon$ strictement positives telles que :
\[
\forall x_0\in B(0,\tilde{\alpha}),~\forall t\in \mathbb{R}_+,~ \|f_{x_0}(t)\| \leq C e^{-\frac{\epsilon}{2}t} \|x_0\|,
\]
où $B(0,\tilde{\alpha})$ désigne la boule ouverte, pour la norme $\| . \|$, de centre $0$ et de rayon $\tilde{\alpha}$.}