Questions du sujet
1. Montrer que pour toute variable aléatoire $X$ réelle à valeurs dans $\{1,\ldots,n\}$ et pour tout $m \in \{1,\ldots,n\}$, \[ E(X) \leq m + 1 + n P(X \geq m). \] 2. À l’aide d’une comparaison entre une somme et une intégrale, montrer que \[ n \ln(n) – n + 1 \leq \sum_{k=1}^n \ln(k). \] En déduire l’inégalité \[ \frac{n^n}{e^n} \leq n! \] 3. Justifier que $u$ et $u$ sont bien définies. Montrer qu’elles sont monotones puis qu’elles convergent. 4. Montrer que $u$ est la plus petite suite (au sens de $\preceq$) qui est décroissante et plus grande que $u$. Montrer de même que $u$ est la plus grande suite (au sens de $\preceq$) qui est croissante et plus petite que $u$. 5. Si $v = (v_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est une autre suite réelle bornée plus grande que $u$, comparer les limites de $u$ et de $v$.} 6. Montrer que $u$ et $u$ sont adjacentes si et seulement si $u$ converge. En ce cas, que peut-on dire des limites des trois suites $u$, $u$ et $u$ ? 7. Soit $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls tels que $m \geq 2n$. On note $q$ le quotient et $r$ le reste de la division euclidienne de $m$ par $n$. Montrer que \[ u_m \leq (q-1)u_n + u_{n+r} \] et en déduire l’inégalité \[ \frac{u_m}{m} \leq \frac{m-n-r}{m}\cdot \frac{u_n}{n} + \frac{\max\{u_n,u_{n+1},…,u_{2n-1}\}}{m}. \] 8. En déduire que la suite $\left(\frac{u_m}{m}\right)_{m\in\mathbb{N}^*}$ est bornée, puis que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, \[ \lim_{m\to+\infty} \frac{u_m}{m} \leq \frac{u_n}{n}. \] 9. En conclure que la suite $\left(\frac{u_n}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge. 10. Montrer que si $P(X_1 < x) = 1$, alors pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $P(Y_n < x) = 1$ et que si $P(X_1 \geq x) > 0$, alors pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $P(Y_n \geq x) > 0$.} 11. Soit $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls. Montrer l’inclusion d’événements suivante : \[ \left\{Y_m \geq x \right\} \cap \left\{ \frac{1}{n} \sum_{k=m+1}^{m+n} X_k \geq x\right\} \subset \left\{ Y_{m+n} \geq x\right\} \] et en déduire l’inégalité \[ P(Y_{m+n} \geq x) \geq P(Y_m \geq x)P(Y_n \geq x). \] 12. Démontrer la convergence de la suite \[ \left( P(Y_n \geq x)^{1/n} \right)_{n\in\mathbb{N}^*} \] 13. À l’aide d’un raisonnement par récurrence sur le nombre $s$ de piles, montrer qu’à l’issue du processus, pour tout jeton de valeur $z$ de la dernière pile, il existe une liste $b = (b_1,\ldots,b_s)$ de réels extraite de la liste $a$ vérifiant : \begin{itemize} \item $b$ est décroissante et de longueur $s$ ; \item pour tout $i \in \{1,\ldots,s\}$ le jeton n°$i$ de valeur $b_i$ est dans la $i$-ème pile en partant de la gauche ; \item $b_s = z$. \end{itemize} 14. En déduire que la liste $a$ admet au moins une liste extraite croissante de longueur $p+1$ ou une liste extraite décroissante de longueur $q+1$. 15. Les variables aléatoires réelles $A_1, A_2, …, A_n$ sont-elles mutuellement indépendantes ?} 16. Soit $k \in \{1,…,n\}$ et $s = (s_1, …, s_k)$ une liste croissante de longueur $k$ d’éléments de $\{1,…,n\}$. On note $A_s$ l’événement : « la liste $(A_{s_1},…, A_{s_k})$ est croissante ». Montrer que $P(A_s) = \frac{1}{k!}$. 17. Démontrer que $C_n$ et $D_n$ ont la même loi. Démontrer alors, à l’aide du résultat de la question 14, que : \[ \mathbb{E}(C_n) \geq \sqrt{\frac{n}{2}}. \] 18. Démontrer que pour tout $k \in \{1,…,n\}$, \[ P(C_n \geq k) \leq \frac{\binom{n}{k}}{k!}. \] 19. Soit $n$ un entier naturel non nul et $\alpha$ un réel strictement supérieur à $1$. Justifier qu’il existe un entier naturel non nul $k$ tel que $k-1 < \alpha e \sqrt{n} \leq k$. À l’aide du résultat de la question 2, déduire de la question précédente que \[ P(C_n \geq \alpha e \sqrt{n}) \leq \left(\frac{1}{\alpha}\right)^{2\alpha e \sqrt{n}}. \] 20. En déduire qu’il existe une suite $(\epsilon_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ tendant vers $0$ telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, \[ \frac{\mathbb{E}(C_n)}{\sqrt{n}} \leq \left( 1 + n^{-1/4} \right)e + \epsilon_n. \] En conclure que $\lim_{n \to +\infty} \frac{\mathbb{E}(C_n)}{\sqrt{n}}$ existe et que $\lim_{n \to +\infty} \frac{\mathbb{E}(C_n)}{\sqrt{n}} \leq e$. }FAQ
Dans ce sujet, tu dois être à l’aise avec l’espérance de variables aléatoires discrètes, la comparaison entre événements, la notion d’indépendance et les inégalités classiques des probabilités. Savoir manipuler la convergence en loi, travailler sur des suites de variables aléatoires et s’appuyer sur la loi des grands nombres sont également essentiels.
Dans ce sujet, on te demande souvent de comparer des sommes à des intégrales pour majorer ou minorer certaines quantités, par exemple quand tu approches la somme des logarithmes par une intégrale. Cette technique est fondamentale pour estimer des suites, des séries ou encore des factorielles, et elle tombe régulièrement dans les questions de concours en MP.
Pour bien gérer les suites adjacentes et convergentes, il faut maîtriser la définition de suites monotones et bornées. Savoir prouver qu’une suite est croissante, décroissante ou adjacente est indispensable, tout comme comprendre comment la convergence se déduit de ces propriétés. N’oublie pas que beaucoup d’exercices demandent d’argumenter sur la borne inférieure et la borne supérieure.
Elles reviennent souvent car elles permettent de comparer des croissances asymptotiques, de donner des estimations précises ou d’aborder la notion d’ordre de grandeur, notamment dans les problèmes de dénombrement et d’analyses combinatoires. Ces outils servent aussi à établir des bornes ou évaluer des probabilités, un classique en maths de CPGE !
La récurrence, c’est ton alliée dans ces chapitres ! Commence toujours par comprendre le cas de base, puis explicite bien l’hérédité en reformulant clairement la propriété pour n et n+1 (ou n et n-1 selon la question). Prends le temps d’identifier ce qui passe d’un étage à l’autre et n’hésite pas à t’appuyer sur une interprétation combinatoire des suites pour guider tes preuves.
Le mieux, c’est d’enchaîner les sujets d’annales corrigés pour repérer les schémas-types et progresser sur les méthodes attendues. Tu peux aussi t’aider du dashboard personnalisé de Prépa Booster pour cibler tes faiblesses, accéder à des exercices corrigés complémentaires et suivre tes progrès. Débloque les corrigés pour profiter de tout ça !
On attend de toi la rigueur dans les raisonnements, mais aussi la capacité à mobiliser différentes notions (analyse, probabilités, combinatoire). Savoir faire des liens entre des résultats, utiliser la bonne méthode au bon moment et justifier clairement chaque étape te permettra de mettre toutes les chances de ton côté au concours.