Questions du sujet
1. Justifier que $P$ et $D$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$. 2. Montrer que si $f \in E$, $u(f)$ et $v(f)$ sont bien définies et appartiennent à $E$, et que l’on définit ainsi des endomorphismes $u$ et $v$ de $E$. 3. Montrer que $P$ est stable par $u$ et par $v$. 4. Établir pour $n \in \mathbb{N}$ une relation simple entre $W_{n+2}$ et $W_n$. En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $$W_n W_{n+1} = \frac{\pi}{2(n + 1)}.$$ 5. Montrer que la suite $(W_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante. Déterminer sa limite et donner un équivalent de cette suite.} 6. Vérifier que $M$ est bien définie et montrer que $u$ est une application continue de l’espace vectoriel normé $(E, M)$ dans lui-même. 7. L’application $v$ est-elle continue de $(E, M)$ dans lui-même ? 8. Vérifier que l’application $N : E \rightarrow \mathbb{R}$ définie par $N(f) = M(f) + M(f’)$ est une norme sur $E$, et montrer que $v$ est continue de $(E, N)$ dans $(E, M)$. Les normes $M$ et $N$ sont-elles équivalentes ? 9. Si $f \in E$ et $\varepsilon > 0$, montrer qu’il existe $p \in P$ tel que $f(0) = p(0)$ et $|f'(x)-p'(x)| \leq \varepsilon$ pour tout $x \in I$. En déduire que $P$ est dense dans l’espace vectoriel normé $(E, N)$. 10. Déterminer les restrictions de $u \circ v$ et $v \circ u$ à $P$.} 11. Déterminer $(u \circ v)(f)$ pour tout $f \in E$. Le réel $0$ est-il valeur propre de l’endomorphisme $v$ ? 12. Déterminer également $(v \circ u)(f)$ pour tout $f \in E$. Conclure. 13. Pour tout $f \in E$, donner une relation liant $v(f)$ et $u(f’)$. Calculer $u(\arctan’)$ à l’aide du changement de variable $z = \tan t$ et en déduire $u(\argsh”)$. 14. Montrer que $f \in E$ est paire (respectivement impaire) si et seulement si $u(f)$ l’est. Qu’en est-il pour $v$ ? 15. Montrer que $\lambda$ est une valeur propre de $v$ si et seulement si $\frac{1}{\lambda}$ est une valeur propre de $u$. Qu’en est-il des vecteurs propres correspondants ?} 16. Montrer que $D$ est stable par $u$. L’est-il par $v$ ? 17. On considère une valeur propre $\lambda$ de $u$, de vecteur propre associé $f \in E$. Vérifier que si $n \in \mathbb{N}$, le nombre $m_n = \max_{t \in I} |f^{(n)}(t)|$ est bien défini, et établir que pour tout $x \in I$, $|\lambda| \cdot |f^{(n)}(x)| \leq \frac{2 m_n W_n}{\pi}$. En déduire que $f \in P$. 18. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $u$ et $v$. 19. L’espace vectoriel $E$ admet-il une base de vecteurs propres de $u$ ? de $v$ ? L’ensemble des valeurs propres de $u$ (respectivement de $v$) est-il une partie fermée de $\mathbb{C}$ ?}FAQ
Vérifie que chaque ensemble contient le vecteur nul et qu’il est stable par combinaison linéaire : pour P (l’espace des polynômes) la somme et le scalaire d’un polynôme sont encore des polynômes ; pour D (l’ensemble des dérivées de polynômes ou un sous-espace défini par dérivation selon l’énoncé) la combinaison linéaire de dérivées reste une dérivée d’un polynôme. Ces vérifications élémentaires suffisent à conclure.
Montre d’abord que les formules données pour u(f) et v(f) fournissent des fonctions régulières sur I (continuité, dérivabilité demandée dans E). Ensuite vérifie la linéarité : u(af+bg)=au(f)+bv(f) et de même pour v. Ces deux points établissent que u et v sont bien des endomorphismes de E. Les détails techniques sont de nature analytique (contrôle des intégrales, dérivation sous le signe intégral si nécessaire).
Prouve que si p est un polynôme alors u(p) et v(p) s’expriment encore par des polynômes (ou des combinaisons finies de fonctions de la même famille que P selon l’énoncé). Concrètement, utilise l’expression intégrale/différentielle de u et v et l’algèbre des polynômes : intégrale, dérivée et produit par fonctions régulières conservant l’espace polynomial donné ici. Cela montre la stabilité.
Les W_n sont les intégrales de Wallis (par exemple W_n = ∫_0^{\pi/2} cos^n t dt). On obtient la relation de récurrence W_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}W_n en intégrant par parties. En combinant cette récurrence avec l’expression connue de W_0 et W_1 on montre le produit W_nW_{n+1}=\frac{\pi}{2(n+1)}. Les étapes calculatoires classiques apparaissent dans le corrigé détaillé.
À partir de W_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}W_n on voit que W_{n+2}
M est la norme suprême M(f)=\sup_{I}|f| (ou la semi-norme utilisée dans l’énoncé) ; vérifie les propriétés d’une norme sur E restreint. Pour u (opérateur de type intégral ou d’intégration bornée) montre l’inégalité du type M(u(f)) ≤ C M(f) avec constante C finie (contrôle de l’intégrale sur I), ce qui établit la continuité comme application linéaire bornée. Les calculs précis dépendent de la définition exacte de u fournie dans l’énoncé et sont traités dans le corrigé.
Souvent l’opérateur v implique une dérivation ou une opération non bornée pour la norme suprême ; on montre alors que v n’est pas continue pour la norme M en construisant une suite de fonctions bornées en sup norme dont les images par v n’ont pas de borne uniforme. La réponse est donc généralement non ; la démonstration constructive est dans le corrigé.
N est une norme parce que M est une norme sur f et f’ et les propriétés de positivité, homogénéité et inégalité triangulaire se vérifient. Avec N on contrôle à la fois la fonction et sa dérivée ; cela permet de majorer M(v(f)) par une combinaison de M(f) et M(f’) et donc d’obtenir la continuité de v : il existe C tel que M(v(f)) ≤ C N(f). Les normes M et N ne sont pas équivalentes sur E (N contrôle la dérivée et est plus forte) ; en particulier on peut exhiber une suite pour laquelle M reste bornée alors que N diverge, montrant la non-équivalence. Le corrigé détaille les constantes et les exemples.
Utilise l’approximation uniforme des fonctions et de leurs dérivées par des polynômes (approximation de Weierstrass pour f’ puis intégration pour retrouver f en ajustant la constante en 0). Construis p avec p'(x) approchant f'(x) uniformement et choisis la constante pour avoir p(0)=f(0). Cela montre qu’on peut rendre N(f-p)=M(f-p)+M(f’-p’) arbitrairement petit, donc P est dense dans (E,N). Pour la démonstration complète et les détails de construction, consulte le corrigé.
Sur P (espace des polynômes) les compositions u\circ v et v\circ u se calculent en utilisant l’expression algébrique des opérateurs sur monômes : tu appliques d’abord v puis u (ou inversement) et simplifies. On obtient des opérateurs linéaires qui préservent P ; dans la plupart des formulations du sujet ces compositions correspondent à applications algébriques simples (par exemple multiplications par un polynôme ou opérateurs différentiels d’ordre fini). Pour les expressions explicites sur une base canonique (1,x,x^2,…) et les formules exactes, consulte le corrigé.
La formule générale pour (u\circ v)(f) se déduit de la définition des opérateurs : en développant on obtient une expression qui s’écrit souvent comme une combinaison de f, f(0) et d’opérateurs simples. Concernant 0 comme valeur propre de v : si v(f)=0 alors v annule f ; selon la nature de v (typiquement un opérateur intégral inversible sur un sous-espace), la seule solution peut être f=0, donc 0 n’est pas valeur propre. L’argument précis (injection ou noyau de v) est développé dans le corrigé.
De même que pour u\circ v, développe v(u(f)) à partir des définitions ; souvent on montre une relation de commutation partielle ou que les deux compositions diffèrent d’une projection de rang fini. La conclusion porte sur la structure spectrale et l’inversibilité relative des opérateurs : par exemple u et v sont souvent inverses l’un de l’autre sur un certain sous-espace, ce qui a des conséquences sur les valeurs propres. Les calculs explicites figurent dans le corrigé.
Il y a une relation de type v(f)=u(f’)+C(f) où C(f) est une constante dépendant de f(0) ou d’une évaluation en un point ; cela se démontre par dérivation et intégration par parties des formules de u et v. Pour u(arctan’) : comme arctan'(x)=1/(1+x^2), un changement z=tan t transformera l’intégrale en une intégrale sur t facile à calculer et donnera l’expression explicite de u(arctan’). À partir de cette expression et des relations fonctionnelles entre arctangente et arcsinus/hyperbolique on en déduit u(argsh”) en effectuant les dérivations et changements de variables analogues. Les calculs détaillés et l’expression explicite figurent dans le corrigé pour éviter les erreurs de changement de variable.
Si u est défini par une intégrale à noyau pair ou par une opération qui respecte la symétrie (intégration symétrique), alors u préserve la parité : f paire ⇔ u(f) paire, et même pour l’impair. Pour v la propriété dépend du noyau ; souvent v inverse la parité (ou ne la préserve pas), il faut vérifier directement v(f)(-x) en utilisant la définition. Le test se fait en remplaçant x par -x dans les formules et en comparant ; le corrigé donne la vérification complète.
Cette propriété suit immédiatement si u et v sont réciproques sur un sous-espace : si v(f)=\lambda f alors appliquer u donne u(v(f))=u(\lambda f)=\lambda u(f) et, quand u\circ v=Id sur l’espace considéré, on obtient f=\lambda u(f), donc u(f)=(1/\lambda)f. Ainsi \lambda valeur propre de v ⇔ 1/\lambda valeur propre de u, et les vecteurs propres sont les mêmes fonctions (jusqu’à normalisation) lorsque les opérateurs sont réciproques restreints. Les détails tiennent à la validité des compositions et du noyau ; voir le corrigé pour la justification complète.
Pour u : montre que si g appartient à D (par exemple dérivée d’un polynôme ou un certain sous-espace défini), alors u(g) conserve la propriété qui caractérise D ; cela se fait en calculant u(g) et ses dérivées. Pour v : il faut tester la même propriété ; souvent v n’envoie pas D dans D (elle n’est pas stable) et un contre-exemple explicite (une fonction de D dont l’image par v n’appartient plus à D) suffit pour le montrer. Les détails et l’exemple concret sont dans le corrigé.
m_n est bien défini car f est suffisamment régulière sur le compact I ; la borne maximale existe. L’inégalité s’obtient en appliquant l’opérateur u sur f et en comparant dérivées puis en majorant à l’aide des intégrales W_n (inégalités de type intégrale-convolution). En faisant tendre n→+∞ et en utilisant la décroissance des W_n (qui tendent vers 0), on obtient que toutes les dérivées de f s’annulent pour n assez grand sauf si f est un polynôme : cela force f à être un polynôme, donc f \in P. Le détail technique est donné pas à pas dans le corrigé.
En combinant les résultats précédents (stabilité de P, restriction des compositions à P et l’argument qui montre que tout vecteur propre de u appartient à P), on réduit le problème à la diagonalisation (ou à la résolution d’une équation aux valeurs propres) sur l’espace polynomial P de dimension finie en considérant une base adaptée. On obtient ainsi la liste explicite des valeurs propres (issues d’une matrice de Hankel ou d’une matrice triangulaire selon la base choisie) et des vecteurs propres polynomiaux correspondants. Les expressions exactes et leur justification algébrique apparaissent dans le corrigé détaillé.
Sur P (espace invariant de dimension infinie ou somme directe de sous-espaces invariants) on peut trouver une base de vecteurs propres restreinte si l’opérateur est diagonalisable sur chaque sous-espace invariant ; en général, u (resp. v) n’admet pas nécessairement une base complète de vecteurs propres dans E (cela dépend de la structure spectrale et de la non-compacticité éventuelle). L’ensemble des valeurs propres d’un opérateur linéaire sur un espace de dimension infinie n’est pas automatiquement fermé ; il peut contenir des points d’adhérence qui ne sont pas valeurs propres. Les réponses précises nécessitent l’étude fine de l’opérateur comme dans le corrigé : tu y trouveras les conclusions nettes et les contre-exemples si nécessaire.