Questions du sujet
1. En observant que $V(f)$ et $-V^*(f)$ sont des primitives de $f$, montrer que pour tous $f, g$ dans $E$, on a $\langle V(f), g \rangle = \langle f, V^*(g) \rangle$. 2. Montrer que l’endomorphisme $V^* \circ V$ est symétrique défini positif. En déduire que ses valeurs propres sont strictement positives.\\ Soit $\lambda$ une valeur propre de $V^* \circ V$ et $f_\lambda$ un vecteur propre associé à $\lambda$. 3. Montrer que $f_\lambda$ est de classe $C^2$ et est solution de l’équation différentielle :\\ $y” + \dfrac{1}{\lambda} y = 0$ avec les conditions $y\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$ et $y'(0) = 0$. 4. En déduire que $\lambda$ est une valeur propre de $V^* \circ V$ si et seulement s’il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $\lambda = \dfrac{1}{(2n+1)^2}$. Préciser alors les vecteurs propres associés. 5. Rappeler, sans démonstration, la loi de $S_n$. En déduire, avec démonstration, les valeurs de l’espérance et de la variance de $S_n$ en fonction de $n$ et de $x$.} 6. En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que pour tout $\alpha > 0$ :\\ \[ \sum_{0 \leq k \leq n} \left|\frac{k}{n} – x\right|^\alpha \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} \leq \frac{1}{4n\alpha^2} \] 7. Montrer que :\\ \[ B_n(f)(x) – f(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}\left[f\left(\frac{k}{n}\right) – f(x)\right] \] et en déduire que la suite $(B_n(f))_{n\in\mathbb{N}}$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,1]$. On pourra utiliser le résultat de la question précédente ainsi que le théorème de Heine. 8. Montrer que si $p$ est un polynôme de degré $n \in \mathbb{N}$, la fonction $t \mapsto p(\cos t)$ définie sur $[0, \pi]$ appartient à $F_n$. 9. Trouver une suite $(\alpha_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de nombres réels strictement positifs telle que la suite $(\alpha_n c_n)_{n\in\mathbb{N}}$ soit orthonormée. Déduire du théorème d’approximation de Weierstrass que la suite orthonormée $(\alpha_n c_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est totale. 10. Soit $f \in G$. Démontrer que $\|f-P_{F_n}(f)\|_G$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers l’infini. Si, de plus, la suite $(P_{F_n}(f))_{n\in\mathbb{N}}$ converge uniformément sur $[0,\pi]$ vers une fonction $g$, montrer que $g=f$.} 11. Soit $n \in \mathbb{N}$. Déterminer les coordonnées de $P_{F_n}(g_x)$ sur la base $(c_0,c_1,\ldots,c_n)$ de $F_n$. En déduire que pour tout $t \in [0, \pi/2]$ : \[ \frac{\pi}{2} – \max(x,t) = \frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\cos((2n+1)x)}{(2n+1)^2}\cos((2n+1)t). \] 12. Montrer que pour tous $f \in E$ et $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ : \[ V^* \circ V (f)(x) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{\pi}{2} – \max(x,t)\right) f(t) dt \] et en déduire la suite des coefficients $(a_n(f))_{n\in\mathbb{N}}$ pour laquelle on a : \[ V^* \circ V(f)(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(f) \cos((2n+1)x). \] 13. Montrer que pour tous $f \in E$ et $n \in \mathbb{N}$, $\left\langle V^* \circ V(f), \varphi_n \right\rangle = \dfrac{1}{(2n+1)^2} \langle f, \varphi_n \rangle$. 14. Montrer que $g$ est solution de l’équation différentielle $S$ si et seulement si $g = \lambda \cdot V^* \circ V (g) + V^* \circ V (h)$ et que dans ce cas, on a les formules suivantes pour tout $n \in \mathbb{N}$ : \[ \left(1 – \frac{\lambda}{(2n+1)^2}\right)\langle g, \varphi_n \rangle = \frac{1}{(2n+1)^2} \langle h, \varphi_n \rangle \] et \[ g = \sum_{n=0}^{+\infty} \langle g, \varphi_n \rangle \varphi_n. \] 15. On suppose dans cette question que $\lambda$ n’est pas égal au carré d’un entier impair. Montrer que la série : \[ \sum \frac{1}{(2n+1)^2 – \lambda} \langle h, \varphi_n \rangle \varphi_n \] est normalement convergente. Exhiber alors une solution de $S$.} 16. On suppose maintenant qu’il existe $p \in \mathbb{N}$ tel que $\lambda = (2p+1)^2$. Montrer que si $\langle h, \varphi_p \rangle = 0$ alors $S$ a une infinité de solutions, puis exhiber l’une d’entre elles. Que peut-on dire si $\langle h, \varphi_p \rangle \neq 0$ ?}FAQ
En utilisant le fait que V(f) et -V*(f) sont des primitives de f, tu peux exploiter la propriété des opérateurs adjoints. Par définition, l’adjoint V* vérifie cette relation d’orthogonalité. C’est une propriété fondamentale des opérateurs différentiels en analyse fonctionnelle.
V* ∘ V est symétrique car (V* ∘ V)* = V* ∘ V** = V* ∘ V. Il est défini positif car ⟨V* ∘ V(f), f⟩ = ||V(f)||² ≥ 0, avec égalité si et seulement si f = 0. Ses valeurs propres sont donc strictement positives, ce qui est crucial pour la diagonalisation et l’étude spectrale.
Si f_λ est un vecteur propre de V* ∘ V associé à λ, alors V* ∘ V(f_λ) = λf_λ. En utilisant l’expression intégrale de V* ∘ V, tu peux dériver deux fois et obtenir l’équation différentielle y” + (1/λ)y = 0 avec les conditions aux limites données. C’est un classique des problèmes de Sturm-Liouville !
Les valeurs propres de V* ∘ V sont les λ = 1/(2n+1)² pour n ∈ ℕ. Les vecteurs propres associés sont les fonctions cos((2n+1)x), qui forment une base hilbertienne. C’est un résultat clé pour la résolution des équations différentielles avec conditions aux limites.
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet de majorer la somme pondérée des écarts |k/n – x|^α. En utilisant l’espérance et la variance de S_n, tu peux obtenir la majoration demandée. C’est une technique puissante pour contrôler les moments d’une variable aléatoire.
La convergence uniforme de B_n(f) vers f repose sur le théorème de Weierstrass et l’inégalité de la question précédente. En décomposant l’erreur et en utilisant la continuité uniforme de f sur [0,1], tu peux montrer que la norme infinie de B_n(f) – f tend vers 0. C’est un résultat fondamental en approximation polynomiale.
En utilisant le théorème d’approximation de Weierstrass, tu peux montrer que les polynômes trigonométriques sont denses dans E. Comme (α_n c_n) est une base hilbertienne, elle est nécessairement totale. C’est une conséquence directe de la théorie des séries de Fourier.
Les coordonnées de P_{F_n}(g_x) s’obtiennent en projetant g_x sur la base (c_0, …, c_n) de F_n. En utilisant la formule de projection orthogonale, tu peux calculer les coefficients comme produits scalaires ⟨g_x, c_k⟩ / ||c_k||². C’est une application directe de la théorie des espaces de Hilbert.
Si λ = (2p+1)², l’équation S a une infinité de solutions si ⟨h, φ_p⟩ = 0. Sinon, il n’y a pas de solution. C’est lié à la théorie de Fredholm et aux valeurs propres de l’opérateur V* ∘ V. Tu peux exhiber une solution particulière en utilisant les séries de Fourier généralisées.
Pour accéder aux corrigés complets et détaillés de ce sujet, ainsi qu’à d’autres ressources exclusives comme des exercices corrigés et un dashboard personnalisé, tu peux débloquer les corrigés sur Prépa Booster. C’est un excellent moyen de progresser efficacement en maths pour les concours !