Questions du sujet
1. Justifier qu’il existe un unique endomorphisme $u$ de $\mathbb{R}^n$ tel que pour tous $x, y$ dans $\mathbb{R}^n$, $\varphi(x, y) = \left\langle u(x), y \right\rangle$. Vérifier que $u$ est symétrique et en déduire que $\varphi$ est diagonalisable. 2. Montrer que pour tous $a, b \in \mathbb{R}^{n*}$, $a \otimes b$ est une forme bilinéaire sur $\mathbb{R}^n$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’elle soit symétrique. 3. On suppose dans cette question que $\varphi$ est de rang $1$. Montrer qu’il existe une forme linéaire $f \in \mathbb{R}^{n*}$ telle que $\varphi = \pm f \otimes f$. (On pourra considérer la base duale d’une base qui diagonalise $\varphi$.) 4. En déduire qu’une forme bilinéaire symétrique de rang $1$ est plate. 5. Réciproquement, soit $\varphi$ une forme bilinéaire symétrique plate non nulle. Quel est le rang de $\varphi$ ?} 6. Soit $i_0 \in I$. Montrer que si $u_{i_0}$ n’est pas une homothétie, les sous-espaces propres de $u_{i_0}$ sont de dimension strictement inférieure à $n$. Montrer par ailleurs que ces sous-espaces sont stables par tous les endomorphismes $u_i$. 7. Conclure. 8. Dans cette question préliminaire, on se donne deux matrices carrées $A,B$ d’ordre $n$ à coefficients réels. Montrer que si $A$ ou $B$ est inversible, alors $A + tB$ l’est aussi pour tout $t \in \mathbb{R}$ sauf éventuellement pour un nombre fini de valeurs de $t$. 9. Soit $r$ un entier naturel non nul et $(a_1,a_2,\ldots,a_r)$, $(b_1,b_2,\ldots,b_r)$ deux familles de vecteurs de $\mathbb{R}^p$. Montrer que si $(a_1,a_2,\ldots,a_r)$ est libre, alors $(a_1 + tb_1,a_2+tb_2,\ldots,a_r+tb_r)$ est également libre pour tout réel $t$ sauf éventuellement pour un nombre fini de valeurs de $t$. \\ En particulier $(a_1 + tb_1,a_2+tb_2,\ldots,a_r+tb_r)$ sera libre pour tout $t$ dans un voisinage de $0$. 10. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^n$ et tout $y \in \ker\widetilde{\varphi}(v)$, on a $\varphi(x, y) \in \operatorname{Im} \widetilde{\varphi}(v)$. \\ On pourra raisonner par l’absurde en montrant l’existence de vecteurs $e_1,\ldots,e_q$ de $\mathbb{R}^n$ tels que la famille $\left(\varphi(v,e_1), \ldots, \varphi(v,e_q), \varphi(x,y)\right)$ soit libre.} 11. Dans cette question, on suppose que $\varphi$ est plate. Montrer que $\ker\varphi = \ker\widetilde{\varphi}(v)$. Si de plus, $\ker\varphi = \{0\}$, en déduire que $p \geq n$. 12. Montrer que l’ensemble $V$ des vecteurs réguliers pour $\varphi$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$. 13. Montrer que $V$ est dense dans $\mathbb{R}^n$. 14. Montrer que $\widetilde{\varphi}(v)$ est un automorphisme. 15. Pour tout $x \in \mathbb{R}^n$, on définit l’endomorphisme $\psi(x) = \widetilde{\varphi}(x) \circ \widetilde{\varphi}(v)^{-1}$. \\ En utilisant la définition d’une application bilinéaire plate, montrer que $\psi(x)$ est auto-adjoint.} 16. Montrer que pour tous $x, y \in \mathbb{R}^n$, $\psi(x)\circ\psi(y) = \psi(y)\circ\psi(x)$. En déduire qu’il existe une base orthonormée $(e_1,e_2,\ldots,e_n)$ de $\mathbb{R}^n$ diagonalisant simultanément tous les endomorphismes $\psi(x)$. 17. Construire à l’aide de $(e_1,e_2,\ldots,e_n)$ une base qui diagonalise $\varphi$. On pourra utiliser la symétrie de $\varphi$.}FAQ
Par le théorème de représentation des formes bilinéaires symétriques, toute forme bilinéaire symétrique φ sur ℝⁿ peut s’écrire φ(x,y) = ⟨u(x), y⟩ où u est un endomorphisme symétrique unique. Comme u est symétrique, il est diagonalisable, ce qui entraîne que φ est diagonalisable. Pour approfondir, débloque les corrigés et accède à des exercices similaires sur Prépa Booster !
Si φ est de rang 1, sa matrice dans une base diagonalisante est de rang 1. On peut donc l’écrire φ(x,y) = ±f(x)f(y) où f est une forme linéaire, c’est-à-dire φ = ±f⊗f. C’est une propriété clé des formes bilinéaires symétriques de rang 1, souvent utilisée en algèbre linéaire avancée.
Une forme bilinéaire φ est dite plate si pour tout vecteur v régulier (i.e. φ(v,·) est non dégénérée), l’application linéaire associée est un isomorphisme. C’est crucial car cela permet de diagonaliser simultanément des familles d’endomorphismes, comme dans les questions 16 et 17 du sujet.
L’ensemble des vecteurs réguliers pour une forme bilinéaire φ est dense dans ℝⁿ. Cela signifie que toute propriété vraie sur les vecteurs réguliers s’étend par continuité à tout l’espace. C’est un outil puissant pour démontrer des résultats globaux à partir de cas particuliers.
Les formes bilinéaires symétriques sont fondamentales en algèbre linéaire et en géométrie. Elles interviennent dans la diagonalisation simultanée, la réduction des endomorphismes, et sont essentielles pour comprendre les espaces euclidiens. Maîtriser ce sujet est indispensable pour les concours comme Mines-Ponts.
Pour montrer qu’un sous-espace propre est stable par une famille d’endomorphismes, il faut vérifier que l’image d’un vecteur propre par ces endomorphismes reste dans le sous-espace propre. C’est une technique classique en réduction des endomorphismes, comme dans la question 6 du sujet.
Si les endomorphismes commutent deux à deux, on peut les diagonaliser simultanément en trouvant une base commune de vecteurs propres. C’est ce qu’on fait dans les questions 16 et 17 du sujet, en utilisant la platitude de la forme bilinéaire pour construire une base orthonormée diagonalisante.