Questions du sujet
1. Établir pour tous $m_1, m_2, \cdots, m_n$ éléments de $M_{n,1}(\mathbb{R})$, l’inégalité $$ |\,\mathrm{per}(m_1, \cdots, m_n)| \leq n! \prod_{j=1}^{n} \|m_j\|. $$ 2. Pour $(m_1, \cdots, m_n)$ et $(r_1, r_2, \cdots, r_n)$ éléments de $\left(M_{n,1}(\mathbb{R})\right)^n$, établir l’inégalité suivante : $$ |\mathrm{per}(m_1, \cdots, m_n) – \mathrm{per}(r_1, \cdots, r_n)| \leq n! \sum_{j=1}^{n} \|m_1\| \cdots \|m_{j-1}\| \, \|m_j – r_j\| \, \|r_{j+1}\| \cdots \|r_n\|, $$ où l’on convient que $\|m_1\|\cdots\|m_{j-1}\|=1$ pour $j=1$ et $\|r_{j+1}\|\cdots\|r_n\| = 1$ pour $j=n$. 3. Montrer la propriété suivante : pour tout $j \in I_n$, $$ \mathrm{per}\, M = \sum_{i=1}^{n} m_{ij} \, \mathrm{per}\,(M(i|j)). $$ 4. Soit $H \in \mathcal{V}^+_0$ et $G \in \mathcal{V}^-,$ montrer que $H$ et $G$ sont en somme directe et que $r(\Phi_Q) + s(\Phi_Q) \le n$. 5. Montrer que $r(\Phi_Q) \ge n_+(Q)$. On a alors de même $s(\Phi_Q) \ge n_-(Q)$.} 6. Montrer que $r(\Phi_Q) = n_+(Q)$ et que $s(\Phi_Q) = n_-(Q)$. 7. Soit $R$ une autre matrice symétrique réelle inversible de taille $n$ telle qu’il existe une constante $\kappa$ satisfaisant la propriété suivante : pour tout $x$ et $y$ de $\mathbb{R}^n$, $$ |B_Q(x, y) – B_R(x, y)| \leq \kappa \|x\|\,\|y\|. $$ Montrer qu’il existe $\delta>0$ tel que $r(\Phi_Q) = r(\Phi_R)$ si $\kappa \leq \delta$. 8. On suppose, dans cette question, que $a$ et $b$ sont linéairement indépendants. Montrer qu’il existe au moins une valeur de $\lambda$ telle que $$ \varphi(\lambda) < 0 $$ où $\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\varphi(\rho) = \Phi_Q(b + \rho a)$. 9. Établir la propriété : $$ B_Q(a, b)^2 > \Phi_Q(a)\Phi_Q(b), $$ avec égalité si et seulement si $a$ et $b$ sont colinéaires. (On pourra s’inspirer de la preuve de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.) 10. Calculer $r(\Phi_Q)$ et $s(\Phi_Q)$ pour $n=2$, c’est-à-dire pour $Q = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$.} 11. On suppose le théorème 1 établi pour tout $k \leq n-1$. Établir, pour tout $j$ de $I_n$, l’inégalité : $$ \left(\mathrm{per}(m_1, \cdots, m_{n-3}, m_{n-2}, c, e_j)\right)^2 > \mathrm{per}(m_1, \cdots, m_{n-3}, m_{n-2}, m_{n-2}, e_j)\cdot \mathrm{per}(m_1, \cdots, m_{n-3}, c, c, e_j), $$ avec égalité si et seulement si $c(j)$ et $m_{n-2}(j)$ sont colinéaires. 12. Dans les questions 12 et 13, $c$ est un élément de $\mathbb{R}^n$ tel que $Qc = 0$. Établir l’identité : $$ 0 = Qc \cdot c = \sum_{j=1}^{n} m_{j,n-2} \, \mathrm{per}(m_1, \cdots, m_{n-3}, c, c, e_j) $$ 13. Montrer que pour tout $j \in I_n$, $$ \mathrm{per}(m_1, \cdots, m_{n-2}, c, e_j) = 0 \quad\text{et}\quad \mathrm{per}(m_1, \cdots, m_{n-2}, m_{n-2}, e_j) > 0. $$ 14. En déduire $Qc = 0$ si et seulement si $c = 0$. 15. Soit $e = \sum_{i=1}^{n} e_i$, pour tout $\theta \in [0,1]$, on pose $$ B_\theta(x, y) = \mathrm{per}(\theta m_1 + (1-\theta)e, \cdots, \theta m_{n-2} + (1-\theta)e, x, y). $$ On note $Q_\theta$ et $\Phi_\theta$ la matrice symétrique et la forme quadratique associées à la forme bilinéaire symétrique $B_\theta$. Expliciter $Q_0$. Montrer que ses valeurs propres sont $(n-1)!$ et $-(n-2)!$ et que $r(\Phi_{Q_0}) = 1$ ainsi que $s(\Phi_{Q_0}) = n-1$.} 16. Soit $\theta$ et $\theta’$ deux éléments distincts de $[0,1]$. Montrer que, pour tout $x$ et tout $y$ de $\mathbb{R}^n$, $$ |B_\theta(x, y) – B_{\theta’}(x, y)| \leq n n!|\theta – \theta’| \|x\|\|y\| \prod_{j=1}^{n-2} (\|m_j\| + \sqrt{n}). $$ 17. Établir que $r(\Phi_{Q_1}) = 1$ et $s(\Phi_{Q_1}) = n-1$. (On pourra raisonner par l’absurde et considérer $\tau = \sup_{\theta\in[0,1]}\{\theta\;|\; r(\Phi_{Q_\theta}) = 1\}$.) 18. Établir l’inégalité d’Alexandrov qui stipule que pour $m_1,\cdots, m_{n-1}$ vecteurs de $\mathbb{R}^n$ à coordonnées strictement positives et $b$ vecteur quelconque de $\mathbb{R}^n$, $$ \left(\mathrm{per}(m_1, \cdots, m_{n-1}, b)\right)^2 > \mathrm{per}(m_1, \cdots, m_{n-1}, m_{n-1})\, \mathrm{per}(m_1, \cdots, b, b). $$ }FAQ
Le permanent d’une matrice, souvent noté \( \mathrm{per}(M) \), ressemble beaucoup au déterminant, sauf qu’il ne prend pas en compte les signes associés aux permutations. Autrement dit, c’est une somme sur toutes les permutations des produits des éléments, mais tous les termes sont positifs. C’est un objet central dans la combinatoire et la théorie des matrices, et il apparaît notamment dans certaines inégalités matricielles du sujet Mines-Ponts 2008. Comprendre le permanent est aussi l’occasion d’affiner sa maîtrise des calculs matriciels essentiels en filière MP.
Dans ce sujet du concours Mines-Ponts filière MP, tu manipules en profondeur les liens entre les matrices symétriques, les formes quadratiques et les formes bilinéaires. Une forme bilinéaire symétrique sur \( \mathbb{R}^n \) se représente souvent par une matrice symétrique (son ‘matrice associée’) et permet de définir la forme quadratique associée via \( \Phi_Q(x) = B_Q(x, x) \). Ces notions reviennent partout en algèbre linéaire, et savoir jongler avec elles, comme dans les questions d’étude de rang, d’inertie ou de signatures des matrices, est fondamental pour réussir les concours scientifiques.
Les inégalités matricielles, qu’il s’agisse d’utiliser le permanent ou de comparer rangs et signatures, demanderont toujours une solide maîtrise des manipulations de matrices et des propriétés comme la norme, la positivité ou les liens entre rang et valeurs propres. Il faut systématiquement te demander comment exploiter les inégalités classiques (par exemple celles inspirées de Cauchy-Schwarz) et comment adapter les preuves par récurrence ou par calcul direct. Ces questions sont classiques en concours Mines-Ponts MP, et elles font progresser ta rigueur de raisonnement. Pour aller plus loin et t’entraîner sur ces questions pointues, tu peux débloquer l’accès aux corrigés détaillés et travailler sur des exercices similaires via le dashboard de Prépa Booster.
La signature d’une matrice, c’est-à-dire le couple (nombre de valeurs propres strictement positives, strictement négatives), est liée à l’analyse des formes quadratiques. En filière MP, cette analyse te sert à discriminer les propriétés géométriques des sous-espaces, les conditions d’égalité dans certaines inégalités, ou encore à discuter la positivité/définitude de matrices symétriques. Mieux tu maîtrises ces outils, plus tu seras à l’aise pour résoudre des questions riches en calculs et en interprétation géométrique, comme celles traitées à l’écrit Mines-Ponts.
L’inégalité d’Alexandrov est une généralisation à la théorie des matrices et des permanents de l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Elle joue un rôle important dès qu’il s’agit de comparer des permanents de matrices construites à partir de vecteurs à coordonnées positives, comme c’est le cas dans ce sujet. Cette inégalité permet d’établir des propriétés de positivité stricte et des cas d’égalité, souvent en lien avec la colinéarité des vecteurs. C’est une arme puissante pour affiner ton raisonnement en algèbre multilinéraire.
Pour devenir vraiment à l’aise sur les thèmes comme les permanents, les formes quadratiques, les signatures de matrices et les inégalités matricielles, l’idéal est de faire et refaire des sujets authentiques, de consulter les corrigés détaillés, et de te pencher sur les points de méthode qui reviennent. Sur Prépa Booster, tu peux débloquer l’accès à toute une base d’exercices corrigés, aux écrits des années précédentes et à ton dashboard personnalisé pour suivre ta progression et cibler les notions où progresser.