Questions du sujet
1. Montrer que pour tout $x \in B$, l’ensemble $\Gamma_x = \{\theta \in \mathbb{R}_+ \mid \theta x \leq T x\}$ est non vide, fermé et borné.\\ On note $\theta(x)$ son plus grand élément. 2. Montrer que pour tout $x \in B$, on peut calculer $\theta(x)$ de la manière suivante~:\\ $\theta(x) = \min \left\lbrace \frac{(T x)_i}{x_i} \mid 1 \leq i \leq n \text{ et } x_i \neq 0 \right\rbrace$.\\ On note $\theta$ l’application de $B$ dans $\mathbb{R}_+$ qui à $x$ associe $\theta(x)$. 3. Montrer que pour tout $\alpha > 0$ et tout $x \in B$, $\theta(\alpha x) = \theta(x)$. 4. Montrer que $P(B) \subset B_+$. 5. Montrer que pour tout $x \in B$, $\theta(P x) \geq \theta(x)$ et $\theta(P x) > 0$.} 6. Soit $x \in B$ un vecteur propre de $T$. Montrer que $\theta(P x) = \theta(x)$. 7. Soit $x \in B$ tel que $\theta(P x) = \theta(x)$, montrer que $x$ est un vecteur propre de $T$ pour la valeur propre $\theta(x)$. 8. Soit $C = B \cap \Sigma$. Montrer que l’application $\theta$ est continue de $P(C)$ dans $\mathbb{R}$. 9. Justifier l’existence de $x_0 \in P(C)$ tel que $\theta(x_0) = \sup_{x \in P(C)} \theta(x)$. 10. Montrer que $\sup_{x \in P(C)} \theta(x) \geq \sup_{x \in C} \theta(x)$.} 11. Montrer que $\sup_{x \in B} \theta(x) = \sup_{x \in C} \theta(x)$. 12. Montrer que $\sup_{x \in C} \theta(x) = \sup_{x \in P(C)} \theta(x)$ et que $\theta(x_0) = \sup_{x \in C} \theta(x)$.\\ On pose $\theta_0 = \theta(x_0)$. 13. Montrer que $x_0$ est un vecteur propre, strictement positif, de $T$ pour la valeur propre $\theta_0$ et que $\theta_0 > 0$. 14. Soit $\theta \in \mathbb{C}$ et $x \in \mathbb{C}^n$ un vecteur propre de $T$ pour la valeur propre $\theta$.\\ Montrer que $|\theta| x_+ \leq T x_+$. 15. En déduire que $|\theta| \leq \theta_0$.} 16. Montrer que $|\theta| \|x_+\|_1 \leq \|x_+\|_1$ et en déduire que $|\theta| \leq 1$. 17. En déduire $\theta_0 = 1$. 18. Montrer que pour tout $j \geq 1$, $T^j$ et $R_j$ sont des matrices stochastiques. 19. Établir, pour tout $k \geq 1$, les inégalités suivantes~:\\ $\|T^k\|_1 \leq 1$ et $\|R_k\|_1 \leq 1$. 20. Montrer que pour tout $k \geq 1$, $\|T R_k – R_k\|_1 \leq \frac{2}{k}$.} 21. Soit $x \in \mathbb{C}^n$, montrer que la suite $(R_k x, k \geq 1)$ a au moins une valeur d’adhérence. 22. Soit $y$ une valeur d’adhérence de la suite $(R_k x, k \geq 1)$, montrer que $T y = y$ et que pour tout $k \geq 1$, $R_k y = y$. 23. Soit $y$ et $z$ deux valeurs d’adhérence de $(R_k x, k \geq 1)$, montrer pour tous les entiers $m$ et $l$, l’identité suivante~:\\ $y – z = R_l(R_m x – z) – R_m(R_l x – y)$. 24. Montrer que la suite $(R_k x, k \geq 1)$ a exactement une valeur d’adhérence. 25. Montrer qu’il existe une matrice $R$ telle que $R x = \lim_{k \to +\infty} R_k x$ pour tout $x \in \mathbb{C}^n$ et $\lim_{k \to +\infty} \|R_k – R\|_1 = 0$.} 26. Montrer que $T$ et $R$ commutent. 27. Montrer que $R T = R$ et $R^2 = R$. 28. Caractériser $R$ en fonction de $\mathrm{Ker}(T – I_n)$ et $\mathrm{Im}(T – I_n)$. 29. On admet que $\mathrm{Ker}(T – I_n)$ est de dimension $1$. Pour $x \in B$, expliciter $R x$ en fonction de $\|x\|_1$, $\|x_0\|_1$ et $x_0$.}FAQ
Le sujet explore en profondeur la notion de matrices stochastiques, leurs propriétés (en particulier l’invariance par passage à la puissance, stabilité d’un sous-ensemble, notions de norme matricielle), ainsi que des concepts d’application linéaire sur ℝⁿ ou ℂⁿ. Tu y croiseras vecteurs propres, valeurs propres, projecteurs, convergence de suites de matrices et caractérisation des sous-espaces invariants, des thèmes classiques en maths sup/spé.
Dans le sujet Mines-Ponts 2006, la recherche d’un vecteur propre strictement positif est le fil conducteur pour montrer l’existence et l’unicité d’un vecteur invariant d’une matrice stochastique. C’est un pilier des théorèmes de Perron-Frobenius et un outil incontournable pour l’étude de l’équilibre des chaînes de Markov et des processus de l’analyse matricielle. Si tu veux comprendre la stabilité et l’équilibre des systèmes complexes, c’est capital !
Étudier la convergence de suites de matrices, en particulier des moyennes additives comme les Rₖ définies dans le sujet, te permet de comprendre comment un système dynamique se stabilise (ou non). C’est la porte d’entrée vers le théorème d’ergodicité, l’analyse spectrale et la diagonalisation des endomorphismes. Maîtriser ce passage à la limite t’aidera aussi dans les corrigés des écrits, donc pense à débloquer les corrigés pour t’entraîner sur cette méthode !
Tout au long du sujet, on exploite la théorie spectrale : on étudie la localisation des valeurs propres (en utilisant des majorations du spectre par des normes), l’unicité (et strict positivité) d’une valeur propre maximale, et la structure du noyau et de l’image des endomorphismes. Ces outils te seront utiles dans pratiquement tous les sujets de matrices en CPGE ou au concours Mines-Ponts.
Voici quelques bons conseils : commence par bien identifier le bon espace (ensemble positif, sphère unité ou simplex), utilise au besoin le lemme de Zorn ou un argument de compacité, démontre la stricte positivité et l’unicité à l’aide de Perron-Frobenius, puis relie les conditions d’égalité à la structure spectrale de la matrice. C’est classique et très attendu dans les corrigés de Mines-Ponts.
Les matrices stochastiques sont à la base des chaînes de Markov, qu’on retrouve aussi bien en théorie des files d’attente, en traitement du signal, en recherche opérationnelle qu’en physique statistique. Le vecteur propre strictement positif peut par exemple modéliser l’état stationnaire d’un système probabiliste, ou l’équilibre thermodynamique d’un modèle physique.
Oui, clairement ! Ces propriétés permettent d’appliquer des théorèmes d’atteinte du maximum (type Weierstrass) et de garantir l’existence de certains vecteurs optimaux ou invariants. Les arguments de convexité sont partout dans l’analyse matricielle, tu les retrouveras dans beaucoup d’autres exercices de concours. Astuce : pense à bien les mentionner dans tes copies !
Ici, tu dois bien connaître la norme 1 sur les vecteurs (et donc sur les matrices par leur action sur les vecteurs). Savoir passer d’une norme à l’autre, estimer les majorations, et utiliser les propriétés de la norme subordonnée, c’est indispensable pour traiter, par exemple, la décroissance des erreurs dans les itérations.
Le mieux, c’est de travailler en alternant lecture du corrigé détaillé et phases actives où tu refais les questions. Sur Prépa Booster, tu as non seulement le corrigé complet pour chaque sujet, mais aussi les corrigés d’exercices types et un dashboard qui suit ta progression. Profites-en pour identifier tes points faibles et les retravailler efficacement !