Questions du sujet
1. a. Démontrer que la fonction $E$ est développable en série entière sur la droite réelle $\mathbb{R}$. 2. b. Étant donné un entier naturel $n$, soit $A_n$ le réel égal à la valeur de la dérivée $n$-ième de la fonction $E$ en $0$ : \[A_n = E^{(n)}(0).\] Démontrer, en admettant les conventions habituelles $0^0 = 0! = 1$, la relation suivante : \[A_n = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{k^n}{k!}.\] 3. c. Établir, pour tout entier naturel $n \geq 0$, une relation de récurrence exprimant $A_{n+1}$ en fonction de $A_0, A_1, \dots, A_n$.\\ En déduire l’expression suivante du réel $B_n$ en fonction de $A_n$ : \[B_n = \frac{1}{e} A_n.\] 4. a. Démontrer que, pour tout entier $p$ donné supérieur ou égal à $1$ $(p \geq 1)$, lorsque l’entier $n$ croît vers l’infini, le réel $U_n$ est équivalent au reste d’ordre $p$ de la série défini par la relation : $R_{p, n} = \sum_{k=p}^{+\infty} \frac{u_k}{k^n}$ ; c’est-à-dire :\\ pour tout entier strictement positif $p$, $U_n \sim R_{p, n} = \sum_{k=p}^{+\infty} \frac{u_k}{k^n}$. 5. b. Étant données deux suites $(u_n)_{n\geq 1}$ et $(v_n)_{n\geq 1}$ de réels strictement positifs $u_n > 0, v_n > 0$, démontrer que, si les réels $u_n$ et $v_n$ sont équivalents lorsque l’entier $n$ croît vers l’infini $(u_n \sim v_n)$, les deux suites de réels $U_n, n = 1,2,\ldots$ et $V_n, n = 1,2,\ldots$ définies par les relations suivantes : \[ U_n = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{u_k}{k^n},\ V_n = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{v_k}{k^n}, \] sont équivalentes, lorsque l’entier $n$ croît vers l’infini : $U_n \sim V_n$.} 6. a. Étudier, pour un entier $n$ donné, la convergence de la série de terme général $s_k$, $k = 0,1,2,\ldots$ ; soit $S_n$ la somme de cette série : \[ S_n = \sum_{k=0}^{+\infty} f_n(k). \] 7. b. Démontrer, lorsque l’entier $n$ croît vers l’infini, l’équivalence suivante : \[ A_n \sim \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{+\infty} f_n(k). \] 8. a. Déterminer des équivalents de $\varphi(x)$ dans des voisinages de $0$ et de l’infini. 9. b. Déterminer les variations de la fonction $\varphi$ sur la demi-droite ouverte $]0, +\infty[$ ; établir en particulier l’existence d’un réel $\mu$ en lequel la fonction $\varphi$ atteint son maximum. 10. c. Soit $\Psi$ la fonction qui, au réel $a$, associe le réel $\mu_a$. Démontrer que cette fonction $\Psi$, définie sur la demi-droite $]0, +\infty[$, est continûment dérivable.\\ Pour tous réels $x$ et $a$ strictement positifs, la relation ci-dessous, dans laquelle le réel $b$ est l’image par la fonction $\Psi$ du réel $a$ $(b = \Psi(a))$, est admise : \[ a (1 + x) = \varphi(b + b x) = (b + b x) \ln(b + b x) – (b + b x) \ln b. \]} 11. a. Démontrer que, pour tout entier $n$ strictement positif, la fonction $f_n$ admet un maximum en un unique point $\mu_n$. Est-ce que la fonction $f_n$ est continûment dérivable sur la droite réelle $\mathbb{R}$ ? 12. b. Établir les propriétés suivantes vérifiées par les réels $\mu_n$, $n = 0, 1, 2, \ldots$ : \begin{itemize} \item[i.] En admettant les inégalités suivantes, \[ 0 \leq \frac{1}{2} \leq 2 \ln 2 \leq \frac{3}{2}, \] démontrer que les réels $\mu_n$, $n = 0,1,2,\ldots$ vérifient les encadrements suivants : $1 \leq \mu_1 \leq 2$ ; pour tout entier supérieur ou égal à $3$ : $n-1 \leq \mu_n \leq n$. \item[ii.] le réel $\mu_n$ est négligeable devant l’entier $n$ lorsque l’entier $n$ croît vers l’infini : \[ \mu_n = o(n) \text{ lorsque } n \to +\infty. \] \item[iii.] pour tout réel $\beta$ compris strictement entre $0$ et $1$, le réel $\mu_{[n^\beta]}$ est négligeable devant $n$, lorsque l’entier $n$ croît vers l’infini : \[ \mu_{[n^\beta]} = o(n) \text{ lorsque } n \to +\infty. \] \end{itemize} 13. a. Vérifier, pour tout entier $n$ strictement positif et tout réel $x$, la relation suivante : \[ f_n(x) = f_n(\mu_n) \; g_n\left( \frac{x-\mu_n}{\sqrt{\mu_n}} \right). \] 14. b. Donner l’allure du graphe de la fonction $g_n$. 15. c. Démontrer que la suite de fonctions $(g_n)_{n\geq 1}$ converge simplement vers une fonction $g$ ; expliciter cette fonction $g$.} 16. d. Démontrer qu’il existe un entier $n_0$ tel que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $n_0$ $(n \geq n_0)$ et tout réel $x$ strictement supérieur à $- \sqrt{\mu_n}$ $(x \geq -\sqrt{\mu_n})$, la fonction $g_n$ vérifie la majoration suivante : \[ g_n(x) \leq \exp \left( -\frac{\mu_n}{2} \left( \frac{x}{\sqrt{\mu_n}} + \ln \left( 1 + \frac{x}{\sqrt{\mu_n}} \right) \right) \right ). \] 17. a. Soit $u$ la fonction définie par la relation suivante : \[ u(x) = -\frac{x^2}{2} – x + \ln(1+x). \] Démontrer que cette fonction se prolonge en une fonction dérivable sur la demi-droite ouverte $]-1, +\infty[$ ; démontrer que cette fonction $u$ est décroissante sur cet intervalle. Préciser son signe. 18. b. En déduire que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à l’entier $n_0$ introduit à la question III-1.d, la fonction $g_n$, définie sur la droite réelle, vérifie les majorations suivantes : \[ \begin{aligned} g_n(x) &\leq \exp \left(-\frac{x^2}{4}\right),\ \text{si}\ x \leq 0 ;\\ g_n(x) &\leq \exp \left( -\frac{1}{2} \left( x – \ln(1+x) \right) \right),\ \text{si}\ x \geq 0. \end{aligned} \] 19. Démontrer que, pour tout entier $n$ strictement positif, la fonction $g_n$ est intégrable sur la droite réelle. Soit $I_n$ la valeur de son intégrale : \[ I_n = \int_{\mathbb{R}} g_n(x)\,dx \] Démontrer que la suite de réels $(I_n)_{n \geq 1}$ est convergente. Il est admis que la limite de cette suite est égale à $2\sqrt{\pi}$. 20. Étant donné un entier $n$ strictement positif, d’après la question I-3.a, le réel $S_n$ est la somme de la série de terme général $f_n(k)$, $k=0,1,2,\ldots$.\\ Déterminer des réels $K_n$ et $\varepsilon_n$ tels que la somme $S_n$ soit encadrée de la manière suivante au moyen de l’intégrale $I_n$ : \[ K_n I_n – \varepsilon_n \leq S_n \leq K_n I_n + \varepsilon_n. \] Les réels $K_n$ et $\varepsilon_n$ seront explicités en fonction de $n$, $\mu_n$ et de la fonction $f_n$. La suite $(\varepsilon_n)$ tend vers $0$.\\ \textbf{Indication :} Soit $p$ l’entier égal à la partie entière du réel $\mu_n$ ; cet entier est défini par les inégalités ci-dessous : $p \leq \mu_n < p+1.$\\ Déterminer des encadrements des deux sommes $S_n'$ et $S_n''$ définies par les relations suivantes : \[ S_n' = \sum_{k=0}^{p} f_n(k) ;\ S_n'' = \sum_{k=p+1}^{+\infty} f_n(k). \] } 21. Déduire des résultats précédents un équivalent du réel $B_n$ lorsque l’entier $n$ croît vers l’infini.}FAQ
Dans ce sujet, tu exploites la notion de développement en série entière, en particulier au travers de la dérivation et de la représentation d’une fonction réelle par sa série de Taylor. Tu es amené à utiliser la formule générale pour les coefficients ainsi que les conditions de convergence des séries entières sur ℝ, points incontournables au concours Mines-Ponts. Revois les méthodes pour exprimer une fonction à l’aide de ses dérivées successives évaluées en 0, c’est classique !
L’analyse asymptotique est cruciale : il faut savoir obtenir des équivalents de suites, surtout pour des suites définies par des sommes liées à des séries, ou des suites d’intégrales. Par exemple, montrer qu’une suite est négligeable devant une autre, obtenir des restes d’ordre p ou manipuler les notations du type o(1), est attendu. Ce savoir-faire te permet d’identifier le comportement asymptotique de suites ou de fonctions selon les paramètres du sujet. C’est une compétence majeure pour réussir les épreuves des concours d’écoles d’ingénieurs !
Pour aborder les questions de convergence, il faut bien maîtriser les critères classiques (racine, rapport, comparaison, etc.) et savoir aussi manipuler des séries à termes positifs et dominées. L’étude de la convergence s’accompagne très souvent d’un travail sur la somme de la série, et parfois même d’une approximation par des intégrales, qui fait le pont entre analyse et calcul intégral. Garde toujours en tête les liens entre intégrabilité, sommabilité, et comportement asymptotique. Les corrigés complets sur Prépa Booster te permettront de voir chaque subtilité en détail, avec des exercices types et l’accès au dashboard personnalisé.
Tu dois être à l’aise avec la recherche de maximum (ou minimum) d’une fonction réelle sur des intervalles, en dérivant, en étudiant les variations, ou en exploitant la forme canonique, car cela va de pair avec l’analyse asymptotique ! Il s’agit souvent de repérer où une fonction atteint son maximum pour en tirer des propriétés sur une suite ou sur l’intégration de cette fonction. C’est un thème récurrent dans les problèmes longs du concours Mines-Ponts MP, combinant analyse rigoureuse et interprétation graphique.
Les changements de variables servent à simplifier les intégrales et à faciliter les calculs de comportements asymptotiques, en particulier quand on travaille sur des fonctions du type g_n ou dans l’encadrement d’une somme par une intégrale. Il faut également être à l’aise avec les intégrales impropres et les méthodes de majoration/minoration, outils incontournables du raisonnement en CPGE scientifique. C’est exactement ce qui est testé dans le sujet Mines-Ponts MP 2002 !
La récurrence est omniprésente : il faut savoir formuler l’hypothèse, la démontrer à l’ordre initial, puis traiter le passage de n à n+1. Dans ce sujet, il s’agit souvent d’établir des relations de récurrence pour des suites de coefficients ou d’obtenir l’expression d’une somme à partir des précédentes. La rigueur dans la rédaction est indispensable, et la capacité à rétro-analyser le raisonnement aussi. Si tu bloques, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster pour voir une rédaction type et progresser efficacement !
Parce que selon la nature du paramètre (n faisant tendre vers l’infini, séquences définies en fonction de n, etc.), la convergence peut radicalement changer. Distinguer convergence absolue, convergence normale, ou simples majorations/minorations, c’est ce qui fait la différence à l’écrit. Ce sujet Mines-Ponts MP t’offre l’occasion de t’entraîner à bien utiliser tous ces outils analytiques, qui sont incontournables en mathématiques approfondies de CPGE.