Questions du sujet
1. En utilisant l’extrait du \textit{CNRS Le Journal}, proposer un encadrement de la distance de Mars au Soleil. En déduire le demi-grand axe $a_M$ de l’ellipse correspondant à la trajectoire de Mars.
2. Sachant que la période de révolution de Mars est $T_M = 687$ jours, calculer la valeur de $a_M$. Cette valeur est-elle en accord avec les propos rapportés par l’extrait d’article précédent ? Retrouver également une estimation de la masse du Soleil.\\
Pour la suite, on prendra $a_M = 228 \times 10^{6}$ km.
3. Déterminer la valeur du champ de pesanteur sur Mars.
4. Un bon scientifique pourra s’étonner du pourcentage de dioxygène dans le scaphandre. Quel est le problème ?
5. Estimer la masse volumique $\rho$ de l’atmosphère martienne. Comparer à celle de l’atmosphère de la Terre.}
6. Tracer l’allure du diagramme $P(T)$ de l’eau en plaçant en particulier le point triple (611 Pa, 0,01\,°C) et le point critique (22\,MPa, 374\,°C). Préciser la signification physique de ces points.
7. Dans quel état se trouve l’eau sur Mars ?
8. Au cours d’une tempête martienne, la combinaison de Mark Watney est percée. Donner deux raisons pour lesquelles Mark Watney ne peut pas survivre dans ces conditions. (On supposera que le scaphandre se dépressurise en restant à température constante.)
9. Calculer le poids du VAM sur Mars.
10. Évaluer la force de traînée s’exerçant sur le VAM pour un vent de 120\,km$\cdot$h$^{-1}$ sur Mars (vitesse maximale mesurée). Sur Terre, donner l’ordre de grandeur de la vitesse d’un vent qui produirait une force de cette valeur.}
11. Dans l’hypothèse où le VAM ne glisse pas, on le suppose « ancré » au point $O$ (figure 2). Déterminer la vitesse du vent lorsque le VAM commence à se pencher ($\alpha$ est alors nul) ; on admettra que le coefficient de traînée vaut $c_D = 0{,}4$. Commenter.
12. Définir et déterminer l’efficacité maximale (efficacité de Carnot) d’une pompe à chaleur, en proposant une démonstration et une application numérique.
13. Estimer la résistance thermique du module entre l’intérieur et l’extérieur, en admettant que le flux thermique est uniquement radial. On néglige les flux thermiques à travers les bases du cylindre.
14. En admettant que la machine fonctionne avec une efficacité égale à 34~\% de l’efficacité théorique de Carnot, calculer la puissance $\mathcal{P}_M$ à fournir pour maintenir le module à $T_i$.
15. L’énergie nécessaire pour alimenter le module en énergie provient de panneaux photovoltaïques dont le rendement de conversion est estimé à 20~\%. Les panneaux reçoivent du soleil la puissance surfacique $P_S = 490\,\mathrm{W{\cdot}m}^{-2}$. Quelle est la surface de panneaux solaires nécessaire ? Commenter le résultat au regard de la figure 3.}
16. Déterminer le demi grand axe $a$ de l’ellipse de transfert.\\
On considère le transfert du vaisseau de la Terre vers la planète Mars, les positions initiales de la Terre et de Mars étant notées respectivement $T_0$ et $M_0$.
17. Déterminer la durée du transfert. En déduire la position de Mars au moment du lancement sur Terre ($M_0$). En déduire également la position de la Terre au moment de l’arrivée du vaisseau à proximité de Mars (les positions de la Terre et de Mars seront à ce moment là notées respectivement $T_1$ et $M_1$).
18. Montrer qu’un nouveau transfert, à partir de la Terre, ne peut avoir lieu qu’environ 780 jours après le premier lancement (période synodique).
19. Une fois le vaisseau arrivé au voisinage de la planète Mars ($M_1$, $T_1$), combien de temps faut-il attendre pour envisager un transfert d’Hohmann permettant de ramener le vaisseau à proximité de la Terre ? On notera $T_2$ et $M_2$ les positions respectives de la Terre et de Mars au début de ce second transfert.
20. Représenter les points $T_0$, $M_0$, $T_1$, $M_1$, $T_2$ et $M_2$, ainsi que les orbites d’aller et de retour, sur un schéma reproduisant la figure 6.}
21. En déduire qu’une mission aller-retour vers Mars dure au minimum 972 jours. Sachant qu’entre le départ de l’Hermès vers la Terre, suite à la tempête, et son retour sur Mars, il s’est écoulé 549 jours, commenter.
22. Au cours de l’opération de sauvetage, le vaisseau Hermès doit réduire brutalement sa vitesse de $30\,\mathrm{m{\cdot}s}^{-1}$. Pour cela les astronautes ont l’idée de vider brutalement un ou des modules de l’Hermès de son air (modules de service sur la figure 4) et de profiter de la propulsion par réaction qui en découle pour freiner. On admet que la vitesse d’éjection des gaz est de l’ordre de $500\,\mathrm{m{\cdot}s}^{-1}$ (ordre de grandeur de la vitesse d’agitation thermique des molécules de l’air de la cabine). Estimer l’ordre de grandeur du volume total des différents modules à vider de façon à freiner correctement le vaisseau Hermès. Commenter.
23. Au moment du sauvetage, Mark Watney s’aperçoit qu’il est encore trop loin de l’Hermès. il décide alors de percer sa combinaison (trou de diamètre de l’ordre de $1\,\mathrm{cm}^2$) pour se propulser. De quelle force de poussée dispose-t-il alors ? Commenter votre résultat. Commenter également la photo (figure 7) représentant Mark Watney se propulsant vers l’Hermès.
24. Proposer des formules de Lewis pour l’hydrazine N$_2$H$_4$, l’ammoniac NH$_3$ et le diazote N$_2$.
25. Déterminer le volume d’hydrazine (densité 1,02) nécessaire pour obtenir les 600 L d’eau liquide voulus par Mark Watney.}
26. La présence du catalyseur d’iridium modifie-t-elle l’état d’équilibre ?
27. L’iridium cristallise dans un réseau cubique à faces centrées avec une densité de 22,5. Représenter cette maille cristalline. Estimer le rayon atomique de l’iridium.
28. Calculer la constante thermodynamique de la réaction $2\mathrm{CO}_2 = \mathrm{O}_2 + 2\mathrm{CO}$ à 800\,°C en phase gazeuse. Commenter.
29. Comment évolue la réaction $2\mathrm{CO}_2 = \mathrm{O}_2 + 2\mathrm{CO}$ si on diminue la température ? Justifier.
30. Quelle est la température maximale atteinte lors de la combustion du dihydrogène ?}
31. Citer deux autres domaines de la physique utilisant la notion de résistance. Préciser les analogies.
32. Exprimer $R_p$ en fonction de $e$, $D$ et $R$.
33. Simplifier cette expression dans l’hypothèse où $e \ll R$.
34. Proposer une valeur numérique de $R_p$.
35. Montrer que la loi de cinétique de diffusion à travers la membrane peut s’écrire sous la forme\\
$\dfrac{d[\mathrm{H}_2\mathrm{O}_2]_i}{dt} = \pm k_d ([\mathrm{H}_2\mathrm{O}_2]_i – [\mathrm{H}_2\mathrm{O}_2]_e)$}
36. Quel signe doit-on choisir sachant que $k_d > 0$ ? Exprimer $k_d$ en fonction de $e$, $D$ et $R$ et proposer une application numérique.
37. Quelle est la dimension de la constante $K_M$ ? Quel sens concret peut-on donner au paramètre $K_M$ ?
38. Préciser les degrés d’oxydation de l’oxygène dans les trois molécules de la réaction $\mathrm{H}_2\mathrm{O}_2 \rightarrow \mathrm{H}_2\mathrm{O} + \frac{1}{2}\mathrm{O}_2$.\\
Comment nomme-t-on ce type de réaction en chimie ?
39. Calculer la constante thermodynamique de cette réaction de décomposition à 25\,°C. Commenter.
40. Donner les équations différentielles associées au système dynamique ci-dessus vérifiées par $[\mathrm{H}_2\mathrm{O}_2]_i$ et $[\mathrm{H}_2\mathrm{O}_2]_e$.}
41. Déterminer la concentration en peroxyde d’hydrogène à l’équilibre à l’intérieur des cellules.
42. Faire l’application numérique, commenter.
43. Proposer une approximation à l’équation différentielle vérifiée par $[\mathrm{H}_2\mathrm{O}_2]_i$ dans le cas du stress exogène proposé (tant qu’il est important).
44. En déduire la quantité (en mole) de peroxyde d’hydrogène décomposé par seconde et par bactérie.
45. Combien de temps faudra-t-il à $n = 10^7$ bactéries par mL pour décomposer la moitié du peroxyde d’hydrogène externe introduit ? Même question pour $10^9$ bactéries par mL. Commenter.}