Questions du sujet
1. \textbf{I.A.1)} Énoncer le théorème de Gauss appliqué à la gravitation.1. \textbf{I.A.2)} Après un examen précis des propriétés de symétrie et d’invariance de la distribution de masse, établir l’expression de $\vec{g}(M)$ à l’extérieur comme à l’intérieur de la Terre.
1. \textbf{I.A.3)} En utilisant les valeurs numériques fournies en fin d’énoncé, donner une valeur numérique de la masse de la Terre $M_T$.
1. \textbf{I.B.1)} Quelle devrait être l’altitude minimale de départ si le sauteur, voulant atteindre la vitesse du son, n’était soumis qu’à la force de pesanteur ?
1. \textbf{I.B.2)} En exploitant les documents 1 et 2, donner une estimation de la hauteur minimale de saut qui permet d’atteindre la vitesse du son au cours de la chute. Le choix de certaines valeurs numériques relève de votre initiative. Comparer l’estimation obtenue à l’altitude de départ de Felix Baumgartner et discuter les hypothèses que vous aurez retenues.}
1. \textbf{II.A.1)} Donner l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur $V(z)$ de la particule. On suppose $V(0) = 0$. Que peut-on dire de l’énergie mécanique de la particule au cours de son mouvement ? Représenter $V(z)$ en fonction de $z$ sur un graphe et y faire figurer l’énergie mécanique $E$.
1. \textbf{II.A.2)} On se place dans le cadre de la mécanique classique. Déterminer l’expression de l’énergie cinétique de la particule à une altitude $z$ quelconque comprise entre $0$ et $H$. L’exprimer en fonction de $m$, $g$, $H$ et $z$.
1. \textbf{II.A.3)} Toujours dans le cadre de la mécanique classique, quelles sont les altitudes accessibles à la particule ? Afin de compléter votre réponse, définir et calculer la probabilité de présence classique $\mathrm{d}P_{\mathrm{cl}}(z)$ de la particule entre les altitudes $z$ et $z + \mathrm{d}z$. On précise que la probabilité de présence entre $z$ et $z + \mathrm{d}z$ est proportionnelle à la durée passée par la particule entre ces deux altitudes. On veillera à normaliser correctement cette loi de probabilité de présence. Représenter sur un graphe $\frac{\mathrm{d}P_{\mathrm{cl}}}{\mathrm{d}z}$ en fonction de $z$. Commenter qualitativement le graphe obtenu.
1. \textbf{II.A.4)} On définit la grandeur suivante : $\ell_g = \left(\frac{\hbar^2}{2gm^2}\right)^{1/3}$. Quelle est sa dimension ?
1. \textbf{II.A.5)} En déduire l’expression du quantum d’énergie potentielle de pesanteur $\varepsilon_g$ en fonction de $m$, $g$ et $\ell_g$.}
1. \textbf{II.A.6)} Application numérique\\ Donner les valeurs numériques de $\ell_g$ et de $\varepsilon_g$ (en eV) pour un neutron.
1. \textbf{II.A.7)} Le tableau 1 présente les caractéristiques de différents neutrons. Quel type de neutron vous paraît le mieux adapté à la mise en évidence expérimentale de $\ell_g$ ? Justifier la réponse.
1. \textbf{II.B)} En utilisant le document 3, proposer une expression approchée des niveaux d’énergie $E_n$ d’un neutron dans le champ de pesanteur en mettant en {\oe}uvre une approche semi-classique.
1. \textbf{II.C.1)} Qu’est-ce qu’un état stationnaire ?
1. \textbf{II.C.2)} Écrire l’équation de Schrödinger indépendante du temps sous forme adimensionnée en utilisant l’altitude adimensionnée $\zeta = \frac{z}{\ell_g}$ et l’énergie adimensionnée $\varepsilon = \frac{E}{\varepsilon_g}$.}
1. \textbf{II.C.3)} Quelles sont les conditions aux limites qui s’imposent à $\varphi(\zeta)$ ?
1. \textbf{II.C.4)} La solution acceptable de l’équation de Schrödinger indépendante du temps adimensionnée s’écrit \[ \varphi(\zeta) = \mathcal{N}\,\mathrm{Ai}(\zeta – \varepsilon) \] où $\mathcal{N}$ est un facteur de normalisation (qui n’est pas à calculer). Toutes les informations utiles sur la fonction d’Airy $\mathrm{Ai}$ (représentation graphique, liste des trois premiers zéros et comportement asymptotique en $+\infty$) sont données dans le formulaire en fin d’énoncé.\\ Donner les valeurs numériques des niveaux d’énergie $\varepsilon_n = E_n/\varepsilon_g$ pour les deux premiers niveaux d’énergie ($n = 1$ et $2$). Comparer avec les valeurs approchées obtenues à la question II.B.
1. \textbf{II.C.5)} Représenter l’allure de la densité de probabilité de présence d’un neutron en fonction de $z$ pour les deux premiers niveaux d’énergie. On explicitera la démarche suivie. Quelle(s) différence(s) notable(s) peut-on relever par rapport au cas classique (question II.A.3) ?
1. \textbf{II.D.1) a)} Que décrit le facteur $\exp(\mathrm{i}(kx – \omega t))$ ? Montrer que $\varphi_I(z)$ est solution d’une équation de Schrödinger indépendante du temps, associée à une énergie $E$.
1. \textbf{II.D.1) b)} Dans cette question uniquement, on néglige l’influence de la gravité ($V(z) = 0$). Justifier qu’alors le spectre d’énergie est celui du puits de potentiel infiniment profond de largeur $H$.\\ On note $E_{\infty,n}$ les valeurs correspondantes, avec $n \in \mathbb{N}^*$. Donner l’expression de $E_{\infty,n}$ en fonction de $H$, $m$, $\hbar$ et $n$.}
1. \textbf{II.D.1) c)} La figure 6 donne une représentation de l’énergie adimensionnée $\varepsilon_1 = E_1/\varepsilon_g$ du niveau fondamental en fonction de $H/\ell_g$ dans une échelle logarithmique. Ces valeurs ont été obtenues par une résolution numérique.\\ Déterminer la pente de l’asymptote dans la limite $H \ll \ell_g$ et interpréter le résultat. Quelle valeur de $\varepsilon_1$ retrouve-t-on dans la limite $H \gg \ell_g$ ?
1. \textbf{II.D.1) d)} Utiliser la figure 6 pour déterminer la valeur de l’énergie adimensionnée $\varepsilon_1$ du niveau fondamental d’un neutron qui évolue dans le guide.
1. \textbf{II.D.2) a)} En utilisant les lois de la mécanique classique, montrer que $L_n = 2v_x\sqrt{\frac{2H_n}{g}}$ (on rappelle que $v_x$ est la vitesse horizontale d’un neutron).
1. \textbf{II.D.2) b)} Les neutrons peuvent être sélectivement absorbés par l’absorbeur en fonction de leur énergie selon la règle suivante : \begin{itemize} \item si $H_n > H$, le neutron est absorbé lors d’une \og collision \fg{} avec l’absorbeur et ne parvient donc pas à traverser le guide ; \item si $H_n < H$, le neutron peut atteindre la hauteur $H$ par effet tunnel depuis le sommet de sa trajectoire et être absorbé. La probabilité d'absorption par effet tunnel à chaque passage au sommet de la trajectoire est notée $T_n$. On donne son expression approchée : \[ T_n \simeq \exp\left(-2\left(\frac{H - H_n}{\ell_g}\right)^{3/2}\right) \] \end{itemize} On donne : $H_1 = 13{,}4\text{ }\mu\text{m}$, $H_2 = 24{,}0\text{ }\mu\text{m}$ et $H_3 = 32{,}4\text{ }\mu\text{m}$.\\ Étant donnée la valeur de $H$, quelles sont les énergies des neutrons susceptibles de traverser le guide ?
1. \textbf{II.D.2) c)} Qu’appelle-t-on effet tunnel en mécanique quantique ? Citer un phénomène physique de votre connaissance qui fait intervenir cet effet.}
1. \textbf{II.D.2) d)} Application numérique\\ Calculer la valeur numérique de $T_1$.
1. \textbf{II.D.2) e)} On note $P_p$ ($p \in \mathbb{N}$) la probabilité qu’un neutron n’ait pas été absorbé après $p$ rebonds. Exprimer $P_{p+1}$ en fonction de $P_p$ et $T_1$, puis $P_p$ en fonction de $p$ et $T_1$.
1. \textbf{II.D.2) f)} En déduire l’expression de la probabilité $P(x)$ qu’un neutron d’énergie $E_1$ n’ait pas été absorbé après avoir parcouru, depuis l’entrée du guide, une distance horizontale $x$. On fera apparaître la longueur caractéristique d’absorption $D_1 = L_1/T_1$.
1. \textbf{II.D.2) g)} Application numérique\\ On admet qu’on peut définir de même une longueur caractéristique d’absorption $D_2$ pour les neutrons d’énergie $E_2$. On donne $D_2 = 3{,}73\text{ cm}$.\\ Calculer la valeur numérique de $D_1$. Comparer $D_1$ et $D_2$ à la longueur du guide. Conclure quant à la sélectivité du guide selon l’énergie des neutrons.
1. \textbf{II.D.3) a)} Justifier que le référentiel $\mathcal{R}’$ est non galiléen. Établir l’expression $V_{ie}(z,t) = ma(t)z$ où $a(t)$ représente l’accélération verticale du miroir mobile par rapport au référentiel terrestre.}
1. \textbf{II.D.3) b)} On cherche une solution de l’équation de Schrödinger sous la forme suivante : \[ \varphi_{II}(z,t) = c_1(t)\exp\left(-\mathrm{i}\frac{E_1 t}{\hbar}\right)\varphi_1(z) + c_3(t)\exp\left(-\mathrm{i}\frac{E_3 t}{\hbar}\right)\varphi_3(z) \] On rappelle que les fonctions d’onde $\varphi_1(z)$ et $\varphi_3(z)$ sont celles qui ont été définies à la question II.C.4 ; elles sont respectivement associées aux niveaux d’énergie $E_1$ et $E_3$. On les suppose correctement normalisées. Les coefficients $c_1(t)$ et $c_3(t)$ sont complexes. On définit les coefficients suivants : \[ Z_{11} = \int_0^{+\infty} z\varphi_1^2(z)\,\mathrm{d}z \qquad Z_{33} = \int_0^{+\infty} z\varphi_3^2(z)\,\mathrm{d}z \qquad Z_{13} = \int_0^{+\infty} z\varphi_1(z)\varphi_3(z)\,\mathrm{d}z \] On précise que : $\int_0^{+\infty} \varphi_1(z)\varphi_3(z)\,\mathrm{d}z = 0$. On définit aussi la pulsation $\Omega_R = \frac{E_3 – E_1}{\hbar}$.\\ Établir les équations différentielles suivantes : \begin{align*} \mathrm{i}\hbar \frac{\mathrm{d}c_1(t)}{\mathrm{d}t} &= ma(t)\big(Z_{11}c_1(t) + Z_{13}\exp(-\mathrm{i}\Omega_R t)c_3(t)\big) \\ \mathrm{i}\hbar \frac{\mathrm{d}c_3(t)}{\mathrm{d}t} &= ma(t)\big(Z_{13}c_1(t)\exp(+\mathrm{i}\Omega_R t) + Z_{33}c_3(t)\big) \end{align*} On leur adjoint les conditions initiales suivantes : $c_1(t = 0) = 1$ et $c_3(t = 0) = 0$.
1. \textbf{II.D.3) c)} Justifier le choix des conditions initiales.
1. \textbf{II.D.3) d)} On envisage le cas où $a(t) = 0$ (miroir immobile). Interpréter les solutions $c_1(t)$ et $c_3(t)$ obtenues dans ce cas.
1. \textbf{II.D.3) e)} Lorsque $a(t) = a_0\cos(\Omega t)$, la résolution de ces deux équations différentielles est effectuée par voie numérique. Dans la figure 8, on a représenté $|c_1|^2$ et $|c_3|^2$ en fonction du temps, pour différentes valeurs de la pulsation d’excitation $\Omega$ et différentes valeurs de $a_0$.\\ Quel est l’effet de la mise en oscillation du miroir ? Pourquoi parle-t-on de résonance lorsque $\Omega = \Omega_R$ ?
1. \textbf{II.D.3) f)} La figure 9 représente le nombre de neutrons recueillis par unité de temps à la sortie du second guide en fonction de la fréquence d’oscillation du miroir.\\ La diminution du taux de transmission des neutrons observée entre 400 Hz et 500 Hz implique les états d’énergie $E_1$ et $E_3$. Expliquer pourquoi le taux de transmission présente une valeur minimale dans cet intervalle de fréquence. L’expérience montre que cette valeur minimale dépend de l’amplitude $a_0$ de l’accélération du miroir ($M’$). Lorsqu’on augmente $a_0$ à partir d’une valeur nulle, la valeur minimale du nombre de neutrons détectés à la sortie du dernier guide commence par diminuer avant d’augmenter à nouveau. Interpréter cette évolution en s’aidant de la figure 8.\\ Comment expliquer la chute similaire du taux de transmission entre 600 Hz et 700 Hz ?}
1. \textbf{II.D.3) g)} Déduire une valeur numérique de l’intensité du champ de pesanteur $g$, accompagnée de son incertitude, sachant que la fréquence de résonance est égale à 464 Hz avec une incertitude de 1,0 Hz.
1. \textbf{II.D.3) h)} Les mesures de la figure 9 ont été obtenues pour une amplitude d’accélération $a_0 = 6{,}10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$. À quelle amplitude de déplacement du miroir correspond-elle à la résonance ? Commenter l’ordre de grandeur obtenu.
1. \textbf{II.D.3) i)} En exploitant la courbe de la figure 9, estimer le temps de passage d’un neutron au-dessus du miroir oscillant. On explicitera la démarche suivie. Comparer avec la valeur qu’on peut déduire du document 4.}
FAQ
Ce sujet balaie des thèmes fondamentaux de la physique en CPGE scientifique, filière MP : la gravitation newtonienne (théorème de Gauss, champ de gravitation intérieure/extérieure, application à la Terre), la dynamique du saut en chute libre (prise en compte ou non des frottements), les lois de l’énergie potentielle et mécanique, ainsi que l’approche classique versus l’approche quantique pour des particules soumises à la pesanteur (équation de Schrödinger, fonctions d’Airy, états stationnaires, effet tunnel). Tu découvriras aussi des applications à des situations très modernes, comme l’étude des neutrons ultra-froids ou l’analyse de dispositifs quantiques expérimentaux.
Le théorème de Gauss pour la gravitation est l’analogue du théorème de Gauss en électrostatique : il permet de relier le flux du champ de pesanteur à travers une surface fermée à la masse contenue à l’intérieur de cette surface. Son intérêt majeur dans le sujet est que, sous certaines hypothèses de symétrie (comme pour la Terre), il simplifie énormément la détermination du champ de gravitation à l’intérieur et à l’extérieur d’une masse sphérique. Le connaître parfaitement, c’est la base pour aborder toute une partie du sujet et bien d’autres exercices classiques en concours.
Dans l’approche classique, tu utilises les lois du mouvement de Newton et les expressions usuelles de l’énergie potentielle et mécanique. Tu étudies, par exemple, la chute libre d’une particule ou son mouvement sous l’effet de la pesanteur (avec des outils comme la conservation de l’énergie ou la probabilité de présence déterminée par le temps passé à chaque altitude). L’approche quantique, bien plus subtile, met en jeu l’équation de Schrödinger avec la pesanteur comme potentiel : on obtient alors une structure discrète d’états et d’énergies, de nouvelles grandeurs caractéristiques (comme la longueur gravitationnelle), l’apparition de fonctions d’Airy, et des phénomènes propres au quantique — effet tunnel, quantification des niveaux, etc. Ce double regard est un vrai classique de la physique moderne, et te préparer sur ces deux aspects, c’est aussi progresser sur l’ensemble du programme !
L’effet tunnel est l’un des phénomènes emblématiques de la mécanique quantique : il permet à une particule de franchir une barrière de potentiel même lorsque son énergie est inférieure à la hauteur de cette barrière (impossible en physique classique !). Dans le sujet, cet effet est illustré avec les neutrons évoluant dans le champ de pesanteur à proximité de guides et d’absorbeurs — il conditionne la probabilité qu’un neutron traverse une région interdite. L’effet tunnel joue un rôle clé dans de nombreux phénomènes physiques, de la radioactivité alpha à la diode tunnel en électronique. Le voir concrètement appliqué à des systèmes réels, c’est un atout pour comprendre le saut entre la physique classique et la quantique.
Les neutrons ultra-froids sont parfaits pour illustrer la transition entre le monde classique et le monde quantique. Leur interaction avec la gravité à très petite échelle permet de mettre en évidence la quantification des niveaux d’énergie, l’effet tunnel, ou encore la longueur gravitationnelle. Ces expériences sont au cœur de travaux de recherche récents, ce qui explique l’intérêt des concepteurs de sujets à Centrale et ailleurs pour ce type de thématique. S’y préparer, c’est s’ouvrir à la physique de pointe… mais ça, tu verras aussi l’essentiel dans les corrigés détaillés accessibles sur PrépaBooster !
Commence toujours par bien maîtriser l’écriture et la signification physique de l’équation de Schrödinger stationnaire : ce qu’est une fonction d’onde, comment s’interprètent les états stationnaires, l’importance des conditions aux limites. Sur ce sujet, l’introduction de la longueur gravitationnelle t’amène à manipuler des grandeurs adimensionnées ; c’est typique et très formateur pour structurer ton calcul. Les fonctions d’Airy, solutions de l’équation de Schrödinger dans un puits linéaire (comme pour la pesanteur), méritent une lecture attentive — visualise leur forme, repère la signification des zéros, entraîne-toi à parler de la densité de probabilité. Si tu veux progresser vite, les corriger corrigés (avec schémas et explications pas à pas) sont accessibles en débloquant les corrigés sur PrépaBooster !
Les propriétés de symétrie (par exemple, sphère homogène pour la Terre) et d’invariance (comme dans les cas de translation ou rotation) te permettent de simplifier tes raisonnements et d’exploiter pleinement les théorèmes comme celui de Gauss ou les méthodes de résolution d’équations différentielles. Plus tu utilises explicitement ces arguments dans le raisonnement, plus tu gagnes en clarté et en rapidité, ce qui est très apprécié au concours. Dans le sujet, remarquer les invariances ou symétries rend possible des calculs de champ, d’énergie ou de probabilités autrement longs ou inaccessibles.
La pesanteur a l’avantage, en physique, de mélanger démarches expérimentales, modélisations classiques et quantiques, et calculs analytiques — elle est universelle, omniprésente, et pleine de subtilités ! En concours, étudier la chute libre ou la gravitation permet de tester à la fois la technique (calculs d’énergie, équations différentielles) et l’intelligence physique (interprétation des résultats, pertinence des hypothèses). C’est aussi un terrain idéal pour les questions transversales : frottements, effet tunnel, symétrie… Bref, les fondamentaux qu’il faut savoir mobiliser pour briller à l’écrit.
Débloquer les corrigés sur PrépaBooster, c’est retrouver des explications détaillées pour chaque question, des schémas, des astuces de rédaction, ainsi que des synthèses des points-clés pour éviter les pièges fréquemment rencontrés en concours. En plus, tu peux t’entraîner sur des exercices similaires et profiter d’un dashboard personnalisé pour cibler tes révisions. C’est le meilleur moyen pour progresser à la fois en compréhension fine des notions abordées et en technique de rédaction attendue par les correcteurs Centrale MP !