Questions du sujet
1. Montrer que :
\[
\forall t \in \mathbb{R}, \quad G_X(t) = \sum_{k=1}^{n} P(X = x_k)t^{x_k}
\]
et en déduire que $G_X$ est fonction polynomiale en $t$.}
2. Calculer $G_X(1)$.}
3. Calculer $G_X$ sous la forme la plus factorisée possible si la variable aléatoire $X$ suit une loi de Bernouilli de paramètre $p \in ]0, 1[$.}
4. Calculer $G_X$ sous la forme la plus factorisée possible si la variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur $\llbracket 1, n\rrbracket$.}
5. Calculer $G_X$ sous la forme la plus factorisée possible si la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètre $p \in ]0, 1[$.}
6. Montrer que si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé fini $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), P)$ et à valeurs dans $\mathbb{N}$ alors $G_{X+Y} = G_X G_Y$.}
7. Préciser l’univers $\Omega$ modélisant cette expérience aléatoire.}
8. Calculer $Z(\Omega)$.}
9. Montrer que la fonction génératrice de $Z$ est de la forme $G_Z(t) = t^2 P(t)$ avec $P$ un polynôme de degré $10$ à coefficients réels.}
10. Proposer une autre écriture de la fonction génératrice de $Z$ de la forme $G_Z(t) = t^2 Q(t) R(t)$ avec $Q \in \mathbb{R}_5[T]$ et $R \in \mathbb{R}_5[T]$.}
11. Montrer que $P = Q R$ puis que $Q$ et $R$ sont de degré $5$.}
12. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation
\[
\sum_{k=0}^{10} z^k = 0
\]
et montrer qu’elle n’admet aucune solution réelle.}
13. Prouver que $Q$ et $R$ ont chacun au moins une racines réelles.}
14. Aboutir à une contradiction. Conclure.}
15. Montrer que la série entière définissant la fonction génératrice de $X$ a un rayon de convergence $R$ supérieur ou égal à $1$.}
16. Montrer que $G_X$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $]-R, R[$.}
17. Montrer que si $R > 1$ alors $G_X$ est deux fois dérivable en $1$, puis que $X$ admet une espérance et une variance données par :
\[
\mathbb{E}(X) = G_X'(1), \quad \mathbb{E}(X(X-1)) = G_X”(1), \quad \text{et} \quad V(X) = G_X”(1) + G_X'(1) – (G_X'(1))^2.
\]
}
18. Soit $X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)$ une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$ :
\[
\forall k \in \mathbb{N}, \quad P(X = k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}.
\]
Montrer que la fonction génératrice $G_X$ de cette loi a un rayon de convergence égal à $R = +\infty$ et pour tout $t \in \mathbb{R}$, on a :
\[
G_X(t) = \sum_{k=0}^{+\infty} e^{-\lambda} \frac{(t\lambda)^k}{k!} = e^{-\lambda} e^{\lambda t}.
\]
}
19. En déduire que $X$ admet une espérance et une variance finie puis l’expression de cette espérance et de cette variance.}
20. Montrer que $P(Y = 0) = e^{-\lambda} (1 + f(\lambda))$ avec $f(\lambda) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{\lambda^{2k+1}}{(2k+1)!}$.}
21. Montrer que $\forall \lambda > 0, \ f(\lambda) = \frac{e^\lambda – e^{-\lambda}}{2}$.}
22. Déterminer la loi de $Y$.}
23. Calculer l’espérance de $Y$.}
24. Montrer que $P(Z = 0) = q + p e^{-\lambda}$ où $q = 1 – p$.}
25. En déduire que $G_Z = G_Y \circ G_X$.}
26. Puis calculer l’espérance et la variance de $Z$.}