Questions du sujet
1. Justifier que la fonction $E$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer sa dérivée. On note $h = E(0)$.
2. En déduire que, pour tout $t \in \mathbb{R}$, le point $M(t)$ appartient à la courbe d’équation cartésienne $kx^2 + y^2 = 2h$.
3. Donner une base de l’espace vectoriel de ses solutions et exprimer la solution correspondant aux conditions initiales $(x(0), x'(0)) = (a, b)$, où $a$ et $b$ sont deux réels fixés.
4. Démontrer qu’il existe un angle $\theta \in [0, 2\pi[$ tel que $x(0) = \sqrt{\frac{2h}{\omega}} \cos \theta$ et $x'(0) = \sqrt{2h} \sin \theta$.
5. Montrer que, pour tout $t \in \mathbb{R}$, $x(t) = \sqrt{\frac{2h}{\omega}} \cos(\omega t – \theta)$ et vérifier que les trajectoires sont bornées.}
6. Déterminer les solutions dont l’énergie est nulle.
7. L’équation (I.1) s’écrit donc $x”(t) – \omega^2 x(t) = 0$. Donner une base de l’espace vectoriel de ses solutions et exprimer la solution correspondant aux conditions initiales $(x(0), x'(0)) = (a, b)$, où $a$ et $b$ sont deux réels fixés.
8. Déterminer toutes les solutions d’énergie nulle et déterminer la nature géométrique de leurs trajectoires.
9. Démontrer que la seule trajectoire bornée correspond à la solution identiquement nulle.
10. Justifier que cette équation différentielle est équivalente au système différentiel $X'(t) = AX(t)$ où $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\omega^2 & -2\alpha \end{pmatrix}$.}
11. Préciser si la matrice $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ et donner le cas échéant une base de vecteurs propres.
12. Donner la dimension de l’espace vectoriel formé par les solutions du système différentiel $X’ = AX$, où la fonction inconnue $X$ est à valeurs dans $\mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})$, et déterminer une base de cet espace. En déduire que les solutions de l’équation différentielle (II.1) sont bornées sur $\mathbb{R}^+$. Sont-elles bornées sur $\mathbb{R}$~?
13. Démontrer que, pour tout nombre réel $t$, il existe un nombre réel $a(t)$ tel que $X(t) = a(t) X_0$. On admet que la fonction $a$ est de classe $\mathcal{C}^1$.
14. En déduire une expression de $X(t)$ en fonction de $X_0$, $\lambda$ et $t$.
15. En déduire que, si la trajectoire de $X$ est bornée sur $\mathbb{R}$, quelle que soit la condition initiale $X_0 \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$, alors $0$ est la seule valeur propre réelle possible de $A$.}
16. Démontrer que la famille $(X_0, AX_0)$ est libre.
17. Déterminer les fonctions $a$ et $b$. En déduire la nature géométrique de la trajectoire de $X$. Est-elle bornée sur $\mathbb{R}$~?
18. Justifier que l’équation $x^2 – 2x\mu \cos \varphi + \mu^2 = 0$, d’inconnue $x$, n’admet pas de racine réelle.
19. En déduire que la famille $(X_0, AX_0)$ est libre.
20. Démontrer que les fonctions $a$ et $b$ sont de classe $\mathcal{C}^2$ et que
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a(0) = 1, \\
a'(0) = 0, \\
a”(t) – 2a'(t)\mu \cos \varphi + \mu^2 a(t) = 0, \quad \forall t\in \mathbb{R}. \\
\end{array}
\right.
\]}
21. En déduire une expression de $a(t)$ pour tout $t\in\mathbb{R}$.
22. On admet que, pour tout $t \in \mathbb{R}$, $b(t) = \frac{e^{\mu t \cos \varphi}}{\mu \sin \varphi} \sin(\mu t \sin \varphi)$.
23. Montrer que la fonction $X$ est bornée sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $\cos \varphi = 0$.
24. On suppose à présent que $\cos \varphi = 0$. Justifier que, pour tout $t \in \mathbb{R}$, $b(t) = \frac{1}{\mu} \sin(\mu t)$.
25. Calculer $\|X(t)\|^2$ pour tout $t \in \mathbb{R}$.}
26. En déduire que, pour tout $t \in \mathbb{R}$,
\[
\frac{d}{dt} \left(\|X(t)\|^2 \right) = 2\cos(2\mu t)\langle X_0, AX_0 \rangle + \frac{1}{\mu} \sin(2\mu t) \left( \|AX_0\|^2 – \mu^2 \|X_0\|^2 \right).
\]
27. Montrer que la trajectoire de $X$ est contenue dans un cercle de centre $(0,0)$ si et seulement si $\langle X_0, AX_0 \rangle = 0$ et $\|AX_0\| = \mu \|X_0\|$.
28. Démontrer que, pour toute matrice $A$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et tout couple $(X,Y)$ de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})^2$, $X^{\top}A Y = Y^{\top}A^{\top} X$.
29. Démontrer que si la matrice $A$ est antisymétrique alors, pour tout $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$, $X^{\top}A X = 0$.
30. Démontrer que, pour tout $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$, $AX = -A^{\top}X$.}
31. En déduire que la matrice $A$ est antisymétrique.
32. On suppose que $A$ est une matrice antisymétrique. Étudier la fonction $t \mapsto \|X(t)\|^2$ et en déduire que la trajectoire de $X$ est sphérique.
33. Justifier que $0$ est la seule valeur propre réelle possible pour la matrice $A$.
34. On suppose que le polynôme caractéristique de $A$ est scindé dans $\mathbb{R}[X]$. Justifier que la matrice $A$ est trigonalisable et que $A^2 = 0_{\mathcal{M}_2(\mathbb{R})}$. En utilisant le résultat des questions 16 et 17, démontrer que $\ker A = \ker A^2$ et aboutir à une contradiction.
35. Justifier que $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ et qu’il existe un nombre réel $\mu$ non nul tel que $A^2 = -\mu^2 I_2$.}
36. Étant donné un vecteur $X_0 \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$, justifier l’égalité $\langle X_0, AX_0\rangle = 0$.
37. En déduire que toutes les trajectoires du système différentiel $X'(t) = AX(t)$ sont sphériques si et seulement si la matrice $A$ est antisymétrique.
38. On considère un vecteur $\omega = (\omega_1, \omega_2, \omega_3)$ non nul dans $\mathbb{R}^3$. Démontrer que l’application $f_\omega : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3, x \mapsto \omega \wedge x$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ et que cet endomorphisme est antisymétrique.
39. Pour tous vecteurs $x, y$ et $z$ dans $\mathbb{R}^3$, montrer l’égalité $x \wedge (y \wedge z) = \langle x, z \rangle y – \langle x, y \rangle z$.
40. Calculer $\frac{d}{dt} (\langle X(t), \omega \rangle)$ pour tout $t \in \mathbb{R}$ et en déduire qu’il existe $K \in \mathbb{R}$ tel que, pour tout $t \in \mathbb{R}$, $\langle X(t), \omega \rangle = K$.}
41. On pose $\alpha = \frac{K}{\|\omega\|^2}$ et $a = \alpha(\omega + \omega \wedge v)$. Montrer qu’il existe une constante réelle $C$ telle que, pour tout $t \in \mathbb{R}$,
\[
\|X(t) – a\|^2 = \|X(t)\|^2 – 2\alpha \langle X(t), \omega \wedge v \rangle + C.
\]
42. En déduire que, pour tout $t \in \mathbb{R}$,
\[
\frac{d}{dt}\left(\|X(t) – a\|^2\right) = 2\langle X(t), \omega \rangle \langle X(t), v \rangle – 2\alpha \langle \omega \wedge X(t), \omega \wedge v \rangle.
\]
43. En interprétant $\langle \omega \wedge X(t), \omega \wedge v \rangle$ comme un déterminant, justifier l’égalité $\langle \omega \wedge X(t), \omega \wedge v \rangle = \langle X(t), v \rangle \|\omega\|^2$.
44. En déduire que la trajectoire de $X$ est sphérique.}