Questions du sujet
1. Montrer que $C_A$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
2. Montrer que, si $M$ et $N$ appartiennent à $C_A$, alors leur produit $MN$ appartient à $C_A$.
3. Montrer que si $M$ appartient à $C_A$, alors, pour tout entier naturel $k$, $M^k$ appartient à $C_A$.
4. Déduire de la question précédente que, si $\Pi \in \mathbb{R}[X]$, alors $\Pi(A) \in C_A$.
5. Montrer que $M$ appartient à $C_A$ si et seulement si $M’ = P^{-1}MP$ appartient à $C_{A’}$.}
6. Justifier que $\Phi$ et $\Psi$ sont des applications linéaires.
7. Calculer $\Phi \circ \Psi$ et $\Psi \circ \Phi$.
8. Établir que $\Phi$ et $\Psi$ sont des isomorphismes.
9. Montrer que $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ et expliciter une matrice $P_1$ inversible et une matrice $D$ diagonale telles que $A = P_1 D P_1^{-1}$.
10. Montrer qu’une matrice $M’$ de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ appartient à $C_D$ si et seulement s’il existe trois réels $a, b$ et $c$ tels que $M’ = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}$.}
11. En déduire une base de $C_D$ faisant intervenir certaines des matrices $E_{i,j}^{(3)}$.
12. En utilisant la question 8, déterminer une base de $C_A$. Quelle est la dimension de $C_A$ ?
13. Justifier sans calcul que $B$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ et expliciter une matrice $P_2$ inversible et une matrice $\Delta$ diagonale vérifiant $[\Delta]_{3,3} = 9$ telles que $B = P_2 \Delta P_2^{-1}$.
14. Montrer qu’une matrice $M’$ de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ appartient à $C_{\Delta}$ si et seulement s’il existe cinq réels $a, b, c, d$ et $e$ tels que $M’ = \begin{pmatrix} a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ 0 & 0 & e \end{pmatrix}$.
15. En déduire une base de $C_{\Delta}$ puis une base de $C_B$. Quelle est la dimension de $C_B$ ?}
16. Donner le polynôme caractéristique de $G$, ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.
17. $G$ est-elle trigonalisable ? Est-elle diagonalisable ? Justifier les réponses.
18. Déterminer les vecteurs $u$ et $v$ de $\mathbb{R}^3$ vérifiant $g(u) = -2u$ et $g(v) = v$ et dont les premières composantes dans la base $\mathcal{B}$ sont égales à $1$.
19. Déterminer le vecteur $w$ de première composante nulle dans la base $\mathcal{B}$ vérifiant $(g – Id_{\mathbb{R}^3})(w) = v$.
20. Vérifier que $\mathcal{B}’ = (u, v, w)$ est une base de $\mathbb{R}^3$ et donner une matrice $P_3$ inversible telle que $G = P_3 T P_3^{-1}$, où $T = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.}
21. Montrer qu’une matrice $M’$ de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ appartient à $C_T$ si et seulement s’il existe quatre réels $a, b, c$ et $d$ tels que $M’ = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & c \\ 0 & d & b \end{pmatrix}$.
22. En déduire une base de $C_T$, puis une base de $C_G$.
23. Justifier qu’il existe une matrice $P_4$ inversible telle que $A = P_4 D P_4^{-1}$ où $D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$.
24. Démontrer que, pour tout polynôme $\Pi$ de $\mathbb{R}[X]$, \\ $ \operatorname{diag}(\Pi(\lambda_1), \ldots, \Pi(\lambda_n)) = \Pi(\operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n))$.
25. Montrer que $\Theta$ est linéaire et injective.}
26. Démontrer que, pour tout $n$-uple $(\mu_1, \ldots, \mu_n)$ de $\mathbb{R}^n$, il existe un unique polynôme $Q \in \mathbb{R}_{n-1}[X]$ tel que \\ $\forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket, Q(\lambda_i) = \mu_i$.
27. Pour tout $(i, j) \in \llbracket 1, n \rrbracket^2$, calculer $[M’ D]_{i,j}$ et $[D M’]_{i,j}$.
28. Démontrer que $M’$ appartient à $C_D$ si et seulement s’il existe des réels $\mu_1, \ldots, \mu_n$ tels que $M’ = \operatorname{diag}(\mu_1, \ldots, \mu_n)$.
29. Déterminer une base de $C_D$, puis une base de $C_A$.
30. Comparer la dimension de $C_A$ avec le résultat obtenu à la question 12.}
31. Démontrer qu’il existe un polynôme $Q \in \mathbb{R}[X]$ tel que $M’ = Q(D)$.
32. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $(P_4 D P_4^{-1})^n = P_4 D^n P_4^{-1}$, puis que, \\ $\forall \Pi \in \mathbb{R}[X], \Pi(P_4 D P_4^{-1}) = P_4 \Pi(D) P_4^{-1}$.
33. En déduire que $M = Q(A)$, puis comparer $C_A$ à l’ensemble des polynômes matriciels en $A$.
34. Montrer qu’une matrice $M’$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ appartient à $C_D$ si et seulement s’il existe deux matrices $M’_1 \in \mathcal{M}_{n_1}(\mathbb{R})$ et $M’_2 \in \mathcal{M}_{n_2}(\mathbb{R})$ telles que $M’ = \begin{pmatrix} M’_1 & 0 \\ 0 & M’_2 \end{pmatrix}$.
35. En déduire la dimension de $C_A$ et comparer ce résultat avec celui trouvé à la question 15.}
36. Donner l’expression de $U_{n+1}$ en fonction de $U_n$ et de la matrice $G$ définie au I.B.3. En déduire l’expression de $U_n$ en fonction de $G$ et de $U_0$.
37. Déterminer, pour tout entier naturel $n$, la matrice $T^n$ où $T$ est la matrice définie à la question 20.
38. En décomposant $T^n$ en une somme de trois matrices bien choisies, montrer que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est combinaison linéaire des suites $((-2)^n)_{n \in \mathbb{N}},\, (n)_{n\in\mathbb{N}},\, (1)_{n\in\mathbb{N}}$.
39. Réciproquement, démontrer que toute combinaison linéaire des trois suites précédentes vérifie la récurrence (II.1).
40. Démontrer que $\varphi$ est un isomorphisme et donner la dimension de $F$.}
41. Justifier que 3 suites $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$, $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$, $(w_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de $F$ forment une base de $F$ si, et seulement si, le déterminant $\begin{vmatrix} u_0 & v_0 & w_0 \\ u_1 & v_1 & w_1 \\ u_2 & v_2 & w_2 \end{vmatrix}$ est non nul.
42. Soit $x \in \mathbb{R}^*$. Démontrer que la suite $(u_n)$ définie par $\forall n \in \mathbb{N},\, u_n = x^n$, appartient à $F$ si et seulement si
$$ x^3 – a x^2 – (a + 3)x + 2(a + 1) = 0. $$
L’équation (II.2) s’appelle équation caractéristique de la récurrence. On note $C(x) = x^3 – a x^2 – (a + 3)x + 2(a + 1)$.
43. Démontrer que $1$ est racine du polynôme $C$ et que toutes les racines de $C$ sont réelles.
44. On suppose $a \neq 0$ et $a \neq -3$. Montrer que $C$ admet deux racines distinctes, autres que $1$, notées $r_1$ et $r_2$. Montrer que les suites $(1)_{n\in\mathbb{N}}$, $(r_1^n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(r_2^n)_{n\in\mathbb{N}}$ forment une base de l’espace vectoriel $F$.
45. Montrer que, si $a = -3$, l’équation (II.2) admet une racine double et une racine simple, notées respectivement $r_0$ et $r_1$. Donner les valeurs de $r_0$ et $r_1$.}
46. Soit $x$ un nombre réel non nul et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite de terme général $n x^n$. Démontrer que, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$,
$$
v_{n+3} – a v_{n+2} – (a + 3)v_{n+1} + 2(a+1)v_n = x^n ( n C(x) + xC'(x) )
$$
où $C’$ désigne la dérivée de $C$.
47. En déduire, dans le cas où $a = -3$, que la suite $(n r_0^n)_{n\in\mathbb{N}}$ est élément de $F$. Déterminer une base de $F$.
48. Déterminer la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ vérifiant
$$
u_0 = 1, \quad u_1 = 0, \quad u_2 = 1\quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N},\;\; u_{n+3} = -3u_{n+2} + 4u_n.
$$}