Questions du sujet
1. I.A – Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ pour que la matrice $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ appartienne à $\mathcal{E}_2$.
2. I.B – Si $M \in \mathcal{E}_n$, que dire de ses valeurs propres réelles ? Calculer le spectre de $A = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \end{pmatrix}$ et en déduire que $A$ n’appartient pas à $\mathcal{E}_3$.
3. I.C – Montrer que $\mathcal{E}_n$ est convexe.
4. I.D – Soit $M \in \mathcal{M}_n$. On note $C_1, C_2, \ldots, C_n$ ses vecteurs colonnes. Montrer que $N(M)^2 = \sum_{u=1}^n \|C_u\|^2$. En déduire une expression de $N(M)$ à l’aide des coefficients de $M$.
5. I.E – Montrer alors que $\mathcal{E}_n$ contient la boule unité fermée de $\mathcal{M}_n$. On pourra utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz.}
6. I.F – Montrer que $\mathcal{E}_n$ est contenu dans la boule fermée de centre 0 et de rayon $\sqrt{n}$. Montrer de plus que cette inclusion est stricte dans le cas $n=3$.
7. I.G – Soit $A \in \mathcal{M}_n$ symétrique (vérifiant $A^T = A$). Montrer que $A \in \mathcal{E}_n$ si et seulement si toutes ses valeurs propres sont dans $[-1, 1]$.
8. I.H – Soit $B \in \mathcal{M}_n$ et $A = B^T B$. Montrer que $B \in \mathcal{E}_n$ si et seulement si toutes les valeurs propres de $A$ sont dans $[0, 1]$.
9. II.A.1) Sachant qu’une application $\sigma$ de $S_3$ est déterminée par la donnée du triplet $(\sigma(1), \sigma(2), \sigma(3))$, expliciter les 6 applications de $S_3$.
10. II.A.2) Justifier que $L = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ et préciser ses valeurs propres complexes.}
11. II.A.3) Justifier que $L \in \mathrm{SO}(3)$. En déduire l’existence de $M \in \mathrm{SO}(3)$ telle que $M^3 = L$. Combien existe-t-il de matrices $M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ telles que $M^3 = L$ ?
12. II.A.4) Soit $K = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Le segment $[K, L]$ est-il contenu dans $O(3)$ ? Les ensembles $\{K^rL^{h} : r \in \{0, 1\}, h \in \{0, 1, 2\}\}$ et $\{M_\sigma : \sigma \in S_3\}$ sont-ils égaux ?
13. II.A.5) Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel (réel) de $\mathcal{M}_3$ engendré par l’ensemble $\{M_\sigma : \sigma \in S_3\}$.
14. II.B.1) On note $(e_1, e_2, \ldots, e_n)$ la base canonique de $\mathbb{R}^n$. Pour tout $\sigma \in S_n$, on note $M_\sigma$ l’unique matrice de $\mathcal{M}_n$ telle que pour tout $j \in \llbracket 1, n \rrbracket$, $M_\sigma e_j = e_{\sigma(j)}$. Préciser les coefficients de $M_\sigma$ et justifier que $M_\sigma \in O(n)$.
15. II.C – Une matrice de la forme $M_\sigma$ est dite matrice de permutation et on note $\mathcal{P}_n$ l’ensemble des matrices de permutations de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que l’application $\varphi : \sigma \mapsto M_\sigma$ du groupe $(S_n, \circ)$ dans le groupe multiplicatif $O(n)$ est injective et que, pour tout $\sigma$ et $\sigma’$ de $S_n$, $\varphi(\sigma \circ \sigma’) = \varphi(\sigma) \circ \varphi(\sigma’)$. On en déduit que $\mathcal{P}_n$ est un sous-groupe de $O(n)$, fini de cardinal $n!$.}
16. II.C.1) Pour tout $\sigma \in S_n$, montrer que $\{(M_\sigma)^k : k \in \mathbb{N}^*\}$ est fini. En déduire l’existence de $p \in \mathbb{N}^*$ tel que $(M_\sigma)^p = I_n$.
17. III.A – Montrer que les matrices de permutations sont magiques, c’est-à-dire que $\mathcal{P}_n \subset \Pi_n$.
18. III.B – Montrer que les sous espaces $D$ et $H$ sont supplémentaires dans $\mathbb{R}^n = \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$.
19. III.C.1) Montrer que $M$ est magique si et seulement s’il existe un réel $\lambda$ tel que $MJ = JM = \lambda J$ .
20. III.C.2) Montrer que $M$ est magique si et seulement si $M$ laisse stable $D$ et $H$.}
21. III.C.3) Montrer que $\Pi_n$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n$ stable pour le produit matriciel.
22. III.C.4) Montrer que $s : M \in \Pi_n \mapsto s(M) \in \mathbb{R}$ est une application linéaire, vérifiant $s(MM’) = s(M) s(M’)$ pour tous $M, M’ \in \Pi_n$.
23. III.C.5) Soit $M$ magique et inversible. Montrer que $M^{-1}$ est magique et calculer $s(M^{-1})$.
24. III.D – Déterminer $\dim(\Pi_n)$.
25. III.E – Montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}$, on a $J^k \in \Pi_n$ et que $Z = \text{vect}(I_n, J)$ est stable pour le produit matriciel.}
26. III.F – Déterminer le centre de $\Pi_n$ c’est-à-dire : $\{M \in \Pi_n : \forall A \in \Pi_n, AM = MA\}$. On pourra utiliser les matrices de permutation élémentaire $P_{i,j}$ avec $i