Questions du sujet
1. I.A.1) Calculer les carrés des distances de P au point F et de P à la droite $\Delta$.
2. I.A.2) Former une équation cartésienne de la courbe $\mathcal{P}$, ensemble des points $P$ du plan $Oxy$ qui sont équidistants de $F$ et de $\Delta$.
3. I.A.3) Quelle est la nature de $\mathcal{P}$ et que représentent $S$, $F$ et $\Delta$ pour $\mathcal{P}$? Représenter $\mathcal{P}$.
4. I.A.4) Montrer que $\mathcal{P}$ admet dans l’espace la représentation paramétrique $x = 2t^2 – 1; \ y = 4t; \ z = 0$
5. I.B.1) Montrer que $\mathcal{R}$ est une parabole passant par $F$ et la représenter dans le plan $Oxz$.}
6. I.B.2) Montrer que $\mathcal{R}$ se déduit de $\mathcal{P}$ par une symétrie orthogonale par rapport à une droite à préciser.
7. I.B.3) Sur un même dessin, représenter le repère $Oxyz$, puis les tangentes en $S$ à $\mathcal{P}$ et en $F$ à $\mathcal{R}$, et enfin $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ elles-mêmes.
8. I.C.1) Donner, par leurs composantes, un vecteur $\vec{p}$ dirigeant la tangente en $P$ à $\mathcal{P}$ et un vecteur $\vec{r}$ dirigeant la tangente en $R$ à $\mathcal{R}$.
9. I.C.2) Calculer les composantes de $\vec{p}_1 = \vec{p} \wedge \overrightarrow{PR}$ et de $\vec{r}_1 = \vec{r} \wedge \overrightarrow{PR}$.
10. I.C.3) L’un de ces deux produits vectoriels peut-il être nul ?}
11. I.D – Montrer que les deux courbes $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ font illusion.
12. I.E.1) Comment faut-il choisir $\mu$ pour que le point $M$ ne soit pas sur le segment de droite $[PR]$ (afin que du point $M$ on puisse voir simultanément $P$ et $R$) ?
13. I.E.2) Exprimer les coordonnées $(x, y, z)$ de $M$ en fonction de $t, u$ et $\mu$, puis $t$ et $u$ en fonction de $y, z$ et $\mu$.
14. I.E.3) On fixe les coordonnées $y$ et $z$ du point $M$. Montrer que le point $M$ est un point depuis lequel on a l’illusion d’optique si et seulement si $x$ est dans l’ensemble des valeurs prises par une certaine fonction de $\mu$ que l’on précisera.
15. I.E.4) Quels sont les points de l’axe $Ox$ depuis lesquels on a l’illusion d’optique ?}
16. II.A.1) En examinant le produit $LV$, montrer qu’il n’y a pas dans $\Ker(f)$ de vecteur non nul dont les trois premières composantes soient nulles.
17. II.A.2) Montrer que $\Ker(f)$ n’est pas réduit au vecteur nul si et seulement si le déterminant de $L$ est nul.
18. II.A.3) Montrer que si $V$ est non nul et appartient à $\Ker(f)$, alors $ux + vy + wz + h = 0$ est l’équation d’un plan contenant $M_1, M_2, M_3$ et $M_4$.
19. II.A.4) Montrer que $M_1, M_2, M_3$ et $M_4$ sont coplanaires si et seulement si le déterminant de $L$ est nul.
20. II.B.1) On suppose que le rang de $S$ est inférieur ou égal à 2. Montrer que, quel que soit $M_4$, le déterminant de $L$ est nul. En déduire que $M_1, M_2, M_3$ sont alignés.}
21. II.B.2) Montrer que le rang de $S$ est inférieur ou égal à 2 si et seulement si $M_1, M_2, M_3$ sont alignés.
22. II.C.1) On suppose que $M_1 \neq M_2$. Montrer que la famille des deux vecteurs lignes $(V_1, V_2)$ est libre.
23. II.C.2) Montrer que $M_1, M_2, M_3$ sont alignés si et seulement si il existe $\mu \in \mathbb{R}$ tel que $V_3 = \mu V_1 + (1 – \mu) V_2$.
24. II.D.1) Montrer que les deux dernières lignes de la matrice $L$ sont combinaisons linéaires des deux premières.
25. II.D.2) Qu’en résulte-t-il pour le rang de $L$ et la dimension de $\Ker(f)$ ?}
26. II.D.3) Montrer que $L$ admet, dans le cas où on s’est placé, $0$ comme valeur propre, avec un ordre de multiplicité supérieur ou égal à $2$.
27. II.E.1) On note $V_1′, V_2′, V_3′, V_4’$ les vecteurs lignes de $L’$. En considérant les points $M_1′, M_2, M_3, M_4$, montrer qu’il existe des réels $\beta_1, \gamma_1, \delta_1$ tels que $V_1′ = \beta_1 V_2 + \gamma_1 V_3 + \delta_1 V_4$ avec $\beta_1 + \gamma_1 + \delta_1 = 1$.
28. II.E.2) Montrer qu’il existe une matrice carrée $T$ de taille 4 vérifiant : \begin{align*}
&\text{les termes diagonaux sont nuls} \\
&\text{sur chaque ligne, la somme des termes vaut 1} \\
&L’ = T \cdot L
\end{align*}
29. II.E.3) Montrer que le vecteur-colonne de composantes $(1, 1, 1, 1)$ est vecteur propre de $T$ et donner la valeur propre associée.
30. II.E.4) Montrer que $L$ est inversible et que $L’$ et $T$ sont de rang 2.}
31. II.E.5) En utilisant la trace de $T$, donner la liste des valeurs propres de $T$.
32. II.E.6) Montrer que $L” = (L + L’)/2$ et justifier que $L”$ n’est pas inversible.
33. II.E.7) Conclure.
34. III.A.1) Montrer qu’il s’agit d’une ellipse dont on précisera les foyers $F$ et $F’$.
35. III.A.2) Représenter $\mathcal{P}$ dans le plan $Oxy$.}
36. III.B.1) Montrer que $\mathcal{R}$ est une partie d’une hyperbole $\mathcal{H}$ dont on donnera une équation cartésienne.
37. III.B.2) Préciser, sans justification, les asymptotes de $\mathcal{H}$.
38. III.B.3) Représenter $\mathcal{R}$ dans le plan $Oxz$.
39. III.C) Sur un même dessin, représenter le repère $Oxyz$, les points $F$ et $F’$ puis les tangentes remarquables à $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$, et enfin $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ elles-mêmes.
40. III.D) Soient $P$ le point de paramètre $t$ sur $\mathcal{P}$ et $R$ le point de paramètre $u$ sur $\mathcal{R}$. Donner, par leurs composantes, un vecteur $\vec{p}$ dirigeant la tangente en $P$ à $\mathcal{P}$ et un vecteur $\vec{r}$ dirigeant la tangente en $R$ à $\mathcal{R}$.}
41. III.E.1) En utilisant l’un des résultats de la partie II, montrer que $M, P$ et $R$ sont alignés si et seulement si il existe un réel $\mu$ tel que $V_3 = \mu V_1 + (1 – \mu) V_2$.
42. III.E.2) En déduire une représentation paramétrique de l’ensemble des points $M$ ainsi obtenus, de la forme $x = x(t, u, \mu); \ y = y(t, u, \mu); \ z = z(t, u, \mu)$.
43. III.E.3) Comment faut-il choisir $\mu$ pour que l’observateur placé en $M$ ait l’illusion d’optique ?
44. IV.A – On note $P$ et $R$ les points $P(t)$ et $R(u)$, $\vec{V}$ le produit vectoriel $\overrightarrow{PR} \wedge \vec{F}'(t)$, $\vec{W}$ le produit vectoriel $\overrightarrow{PR} \wedge \vec{G}'(u)$ et $\varphi(t, u)$ le produit scalaire de $\vec{V}$ et $\vec{W}$. Montrer que $\varphi(t, u)$ est nul pour tout couple $(t, u)$ de réels.
45. IV.B.1) En utilisant $\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{OR} – \overrightarrow{OP}$, exprimer la dérivée partielle de $||\overrightarrow{PR}||^2$ par rapport à $u$ en fonction du produit scalaire $\overrightarrow{PR} \cdot \vec{G}'(u)$.}
46. IV.B.2) Montrer que $\overrightarrow{P_0R_0}$ est orthogonal à $\vec{G}'(u_0)$ et à $\vec{F}'(t_0)$.
47. IV.C.1) Traduire par une relation entre ces divers nombres la nullité de $\varphi(t, u)$.
48. IV.C.2) Montrer que la fonction $h$ telle que $h(u) = \dfrac{Z^2}{X^2 + Y^2 + Z^2}$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer sa dérivée.
49. IV.C.3) En utilisant IV.C.1, montrer que $h$ est constante sur $\mathbb{R}$.
50. IV.C.4) En déduire que $\mathcal{R}$ est contenue dans une surface, qu’on notera $S(t)$ et qui est, suivant la valeur de la constante précédente, soit le plan passant par $P$ et orthogonal à $\vec{F}'(t)$, soit un cône de révolution de sommet $P$ et dont l’axe est dirigé par $\vec{F}'(t)$.}
51. IV.D.1) Montrer que le point $R_0$ appartient à $S(t_0)$.
52. IV.D.2) Montrer que $\mathcal{R}$ est contenue dans le plan $\Gamma$ passant par $P_0$ et orthogonal à $\vec{F}'(t_0)$.
53. IV.E.1) Montrer que $\mathcal{P}$ n’est pas incluse dans le plan $\Gamma$.
54. IV.E.2) On fixe $t$ à une valeur $t_1$ telle que le point $P_1 = P(t_1)$ de $\mathcal{P}$ ne soit pas dans le plan $\Gamma$. Montrer que $S(t_1)$ est un cône de révolution de sommet $P_1$.
55. IV.F.1) Montrer que $\mathcal{R}$ est contenue dans une ellipse, une hyperbole ou une parabole, elle-même contenue dans le plan $\Gamma$.}
56. IV.F.2) Montrer de même que $\mathcal{P}$ est contenue dans une ellipse, une hyperbole ou une parabole, elle-même contenue dans un plan $\Pi$ perpendiculaire à $\Gamma$ et que l’on précisera.}