Questions du sujet
1. I.A.1) Montrer que f est injectif si et seulement si 0 n’est pas valeur propre de f.
2. I.A.2) Montrer que f \in GL(E) si et seulement si 0 n’est pas valeur propre de f.
3. I.A.3) Soit M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}). Montrer que M est inversible si et seulement si 0 n’est pas valeur propre de M.
4. I.B.1) Soit N la matrice de \mathcal{M}_3(\mathbb{C}) définie par :
\[
N = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
Montrer que N \in \mathcal{N}_3(\mathbb{C}) puis déterminer k(N).
5. I.B.2) Soient N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) et M une matrice semblable à N.\\
a) Montrer que, pour tout entier naturel p, M^p et N^p sont semblables.\\
b) En déduire que, si N est nilpotente, M l’est aussi et k(M) = k(N).}
6. I.B.3) Soit f \in L(E). On suppose qu’il existe une base B de E telle que \mathrm{Mat}_B(f) \in \mathcal{N}_n(\mathbb{C}).\\
Montrer que, pour toute base B’ de E, \mathrm{Mat}_{B’}(f) est également nilpotente et de même indice de nilpotence que
\mathrm{Mat}_B(f).
7. I.B.4) Soient N \in \mathcal{T}_n(\mathbb{C}) et n_{ij} son terme général.\\
On suppose que : \forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket, n_{ii} = 0. On note n_{ij}^{(k)} le terme général de la matrice N^k avec k \in \mathbb{N}.\\
a) Montrer que N^2 \in \mathcal{T}_n(\mathbb{C}) et que n_{ij}^{(2)} = 0 si j \leq i + 1.\\
b) Montrer, plus généralement, que N^k \in \mathcal{T}_n(\mathbb{C}) et que n_{ij}^{(k)} = 0 si j \leq i + k – 1.\\
c) En déduire que N \in \mathcal{N}_n(\mathbb{C}).
8. I.B.5) Soient f \in L(E) et N \in \mathcal{T}_n(\mathbb{C}) la matrice de f dans une base appropriée B de E donnée par la
propriété (T) rappelée en préliminaire.\\
a) En explicitant le polynôme caractéristique de N, déterminer les valeurs propres de f en fonction des
termes diagonaux de N.\\
b) Montrer que f est nilpotent si et seulement si 0 est sa seule valeur propre.
9. I.B.6) Montrer qu’une matrice triangulaire supérieure est nilpotente si et seulement si tous ses termes
diagonaux sont nuls.
10. I.C.1) Soit f \in L(E). Montrer que le nombre complexe \mathrm{Tr}(\mathrm{Mat}_B(f)) ne dépend pas du choix de la base B dans E.}
11. I.C.2) Soit f \in L(E). On désigne par \lambda_1, \ldots, \lambda_n, les valeurs propres (éventuellement égales) de f.\\
Montrer, à l’aide de la question I.B.5 a, que :
\[
\mathrm{Tr}(f) = \sum_{k=1}^n \lambda_k
\]
12. I.C.3) On considère le cas n=2. Soit A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C}) telle que \mathrm{Tr}(A) = 0.\\
Montrer que A est soit diagonalisable, soit nilpotente.
13. I.C.4) A-t-on le même résultat lorsque n=3 ?
14. II.A.1)\\
a) Représenter la matrice de \exp f sur la base \mathcal{B}_p.\\
b) Montrer que \exp f appartient à GL(E).
15. II.A.2) Soit M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}). On suppose que M est diagonalisable.\\
Soient P_1, P_2 deux matrices inversibles et D_1, D_2 deux matrices diagonales telles que :
\[
M = P_1 D_1 P_1^{-1} = P_2 D_2 P_2^{-1}
\]
Montrer que
\[
P_1 (\exp D_1) P_1^{-1} = P_2 (\exp D_2) P_2^{-1}.
\]
}
16. II.B.1) Déterminer les termes diagonaux de la matrice \exp M.
17. II.B.2) En déduire l’ensemble des valeurs propres de \exp f puis montrer que \exp f \in GL(E).
18. II.C.1)\\
a) Montrer que : \exp d \circ \exp g = \exp g \circ \exp d.\\
b) Montrer que, pour toute matrice M de \Gamma_n(\mathbb{C}), le couple (D,N) associé est unique.
19. II.C.2) Soient M \in \Gamma_n(\mathbb{C}) et P \in GL_n(\mathbb{C}).\\
Démontrer que P M P^{-1} \in \Gamma_n(\mathbb{C}) et que \exp(PMP^{-1}) = P(\exp M)P^{-1}.
20. III.A.1) Montrer que \lambda = \mu et que \dim E_\lambda = 1.\\
Montrer, de plus, que (f – \lambda Id_E)^2 = 0.}
21. III.A.2) Soient v \in E un vecteur n’appartenant pas à E_\lambda et u = f(v) – \lambda v.\\
Montrer que u \in E_\lambda \setminus \{0\} et que B = (u, v) est une base de E. Déterminer \mathrm{Mat}_B(f).
22. III.B) Pour tout couple (a, b) \in \mathbb{C}^2, on définit les matrices suivantes :
\[
D(a, b) = \begin{pmatrix}
a & 0\\
0 & b
\end{pmatrix}
\text{ et }
M(a) = \begin{pmatrix}
a & 1\\
0 & a
\end{pmatrix}
\]
On définit enfin le sous-ensemble suivant de \mathcal{M}_2(\mathbb{C}) :
\[
J_2(\mathbb{C}) = \left\{ D(a, b),\ (a, b) \in \mathbb{C}^2 \right\} \cup \left\{ M(a),\ a \in \mathbb{C} \right\}
\]
Montrer que tout élément de \mathcal{M}_2(\mathbb{C}) est semblable à une matrice de J_2(\mathbb{C}).
23. III.C) Montrer que J_2(\mathbb{C}) \subset \Gamma_2(\mathbb{C}) puis calculer \exp D(a, b) et \exp M(a) pour tout couple (a, b) \in \mathbb{C}^2.
24. III.D) Montrer que \Gamma_2(\mathbb{C}) = \mathcal{M}_2(\mathbb{C}).\\
On admettra de même que \Gamma_2(E) = L(E).\\
L’application exponentielle est ainsi une application de L(E) dans GL(E).
25. III.E.1) Soient \theta un réel non nul et A(\theta) la matrice définie par :
\[
A(\theta) = \begin{pmatrix}
0 & -\theta\\
\theta & 0
\end{pmatrix}
\]
Déterminer \exp A(\theta).}
26. III.E.2) L’application \exp : \mathcal{M}_2(\mathbb{C}) \to GL_2(\mathbb{C}) est-elle injective ?
27. III.E.3) En utilisant la question III.C, montrer que toute matrice de J_2(\mathbb{C}) \cap GL_2(\mathbb{C}) est semblable à
l’image par l’application exponentielle d’un élément de J_2(\mathbb{C}).
28. III.E.4) En déduire, en utilisant les questions II.C.2, III.B et III.E.3, que l’application \exp : \mathcal{M}_2(\mathbb{C}) \to
GL_2(\mathbb{C}) est surjective.
29. III.F) Montrer que : \forall M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C}), \det \exp M = \exp \Tr(M).
30. III.G.1) Montrer que SL_2(\mathbb{C}) est un sous-groupe de GL_2(\mathbb{C}) et que :\\
\forall M \in L_0(\mathbb{C}), \exp M \in SL_2(\mathbb{C}).}
31. III.G.2) Montrer, à l’aide de I.C.3 et III.B, que tout élément de L_0(\mathbb{C}) est semblable à une matrice de la
forme :
\[
D(a) = \begin{pmatrix}
a & 0\\
0 & -a
\end{pmatrix}
\]
avec a \in \mathbb{C} ou
\[
N = \begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix}
\]
32. III.G.3) Soit N_0 la matrice de \mathcal{M}_2(\mathbb{C}) définie par :
\[
N_0 = \begin{pmatrix}
-1 & 1\\
0 & -1
\end{pmatrix}
\]
Montrer que N_0 \in SL_2(\mathbb{C}) et que N_0 n’appartient pas à l’image de l’application \exp_{\mathfrak{g}}.\\
En déduire que \exp_{\mathfrak{g}} n’est ni injective, ni surjective.
33. IV.A) On suppose que \lambda, \mu et \nu sont trois valeurs propres distinctes.\\
Montrer que f \in \Gamma_3(E).
34. IV.B.1) On suppose que \lambda = \mu = \nu.\\
Montrer que f – \lambda Id_E est nilpotent.
35. IV.B.2) Montrer que f \in \Gamma_3(E).}
36. IV.C.1) On suppose que \lambda = \mu, \mu \neq \nu.\\
Justifier l’existence de trois complexes a, b, c et d’une base (e_1, e_2, e_3) de E tels qu’on ait :
\[
f(e_1) = \lambda e_1,\qquad
f(e_2) = a e_1 + \lambda e_2,\qquad
f(e_3) = b e_1 + c e_2 + \nu e_3
\]
37. IV.C.2) Étant donnés deux complexes \alpha et \beta, on pose e’_3 = e_3 + \alpha e_1 + \beta e_2.\\
Montrer que (e_1, e_2, e’_3) est une base de E.
38. IV.C.3) Montrer qu’on peut choisir \alpha et \beta de sorte que f(e’_3) = \nu e’_3.
39. IV.C.4) Représenter la matrice M de f sur la base (e_1, e_2, e’_3) ainsi obtenue.
40. IV.C.5) Montrer que M \in \Gamma_3(\mathbb{C}) et f \in \Gamma_3(E).}
41. IV.D) Montrer que \Gamma_3(E) = L(E).\\
On admettra de même que \Gamma_3(\mathbb{C}) = \mathcal{M}_3(\mathbb{C}). L’application exponentielle est ainsi une application de L(E) dans
GL(E).
42. IV.E.1) Soient \theta un réel non nul et R(\theta) \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}) définie par :
\[
R(\theta) = \begin{pmatrix}
0 & -\theta & 0\\
\theta & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
Calculer \exp R(\theta).
43. IV.E.2) En déduire que l’application \exp : L(E) \to GL(E) n’est pas injective.}