Questions du sujet
1. Montrer que l’intégrale
\[
\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2} dt
\]
est absolument convergente.}
2. Montrer que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ et qu’elle est paire. Calculer $f(0)$.}
3. Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et donner l’expression de $f'(x)$.}
4. Montrer que $g$ est définie et de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$.}
5. À l’aide d’un changement de variable affine, montrer que,
\[
\forall x \in \mathbb{R}, \quad f'(x) = -2 g'(x) g(x).
\]}
6. Vérifier que
\[
\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = \frac{\pi}{4} – g(x)^2.
\]}
7. En déduire $\lim_{x \to +\infty} g(x)$, puis conclure que
\[
\int_0^{+\infty} e^{-t^2} dt = \sqrt{\frac{\pi}{2}}.
\]}
8. Montrer que la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bien définie.}
9. Donner une relation entre $I_{n+1}$ et $I_n$, et en déduire que $I_n = n!$ pour tout entier naturel $n$.}
10. Si $n$ est un entier naturel non nul, déduire de la question précédente que
\[
n! = \sqrt{n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \int_{-\sqrt{n}}^{+\infty} \left(1+\frac{y}{\sqrt{n}}\right)^n e^{-y\sqrt{n}} dy.
\]}
11. Démontrer que la suite de fonctions $(f_n)$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ et, pour $y \in \mathbb{R}$, préciser $\lim_{n \to +\infty} f_n(y)$.}
12. Justifier que $q$ est prolongeable en une fonction continue sur $]-1,+\infty[$ que l’on convient de noter également $q$.}
13. Démontrer que, pour tout $x > -1$,
\[
q(x) = \int_0^1 \frac{u}{1 + ux} du.
\]}
14. En déduire que $q$ est une fonction décroissante sur $]-1, +\infty[$ et démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$,
\[
\forall y \in \mathbb{R}_+, \; f_n(y) \leq (1+y) e^{-y} \quad \text{et} \quad \forall y \in \mathbb{R}_{-}^*, \; f_n(y) \leq e^{-y^2/2}.
\]}
15. Déduire des questions précédentes la formule de Stirling \[
n! \underset{n \to +\infty}{\sim}
\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n.
\]}
16. Vérifier que $w_n = \frac{1}{12n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$ et en déduire la nature de la série numérique $\sum w_n$.}
17. Soit $\varepsilon > 0$. Montrer qu’il existe un entier naturel non nul $n_0$ tel que
\[
\forall n \geq n_0, \ (1-\varepsilon)b_n \leq a_n \leq (1+\varepsilon)b_n.
\]}
18. En déduire que la série numérique $\sum a_n$ converge et que les restes vérifient
\[
\sum_{k=n}^{+\infty} a_k \underset{n \to +\infty}{\sim} \sum_{k=n}^{+\infty} b_k.
\]}
19. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, établir que
\[
\frac{1}{(n+1)^2} \leq \int_n^{n+1} \frac{1}{t^2} dt \leq \frac{1}{n^2}.
\]}
20. En déduire un équivalent simple de $R_n = \sum_{k=n}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$ lorsque $n \to +\infty$.}
21. Déduire des questions précédentes un équivalent de $\sum_{k=n}^{+\infty} w_k$ lorsque $n \to +\infty$.}
22. En déduire qu’il existe une suite $(q_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ convergente vers $0$ telle que
\[
\forall n \in \mathbb{N}^*,\quad n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12n} + \frac{q_n}{n}\right).
\]}
23. Quelle est la loi de la variable aléatoire $\frac{1}{2}(X_1 + 1)$ ? En utilisant une loi binomiale, calculer l’espérance et la variance de la variable $S_n$.}
24. Écrire une fonction Python qui prend en argument le nombre $n$ de lancers et renvoie le nombre de retours au point à l’origine. On pourra utiliser la fonction Python \texttt{random.random()} qui renvoie un nombre flottant pseudo-aléatoire dans l’intervalle $[0, 1[$.}
25. Vérifier que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $a_n = \binom{2n}{n} p^n q^n$.}
26. En déduire le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n x^{2n}$.}
27. Pour quelles valeurs de $p$ l’expression $A(x)$ est-elle définie en $x = 1$ ?}
28. En utilisant le développement en série entière en $0$ de $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$, déterminer une expression de $A(x)$.}
29. Pour $n \in \mathbb{N}^*$, en décomposant l’événement $\{S_{2n}=0\}$ selon l’indice de premier retour du point à l’origine, établir la relation
\[
a_n = \sum_{k=0}^n b_k a_{n-k}.
\]}
30. En déduire une relation entre $A(x)$ et $B(x)$ et préciser pour quelles valeurs de $x$ elle est valable.}
31. Conclure que $B(x) = 1 – \sqrt{1 – 4pqx^2}$ pour $x$ dans un intervalle à préciser.}
32. Pour quelles valeurs de $p$ l’expression obtenue à la question précédente pour $B(x)$ est-elle définie en $x=1$ ? Qu’en est-il de l’expression qui définit $B(x)$ comme somme d’une série entière ?}
33. En déduire que la probabilité de l’évènement « le point ne revient jamais en $0$ » est égale à $|p-q|$.}
34. Vérifier que si $x \in \llbracket -n, n \rrbracket$ et $n-x$ est un entier pair alors
\[
N_{n,x} = \binom{n}{a}
\]
où $a = \frac{n+x}{2}$ et que $N_{n,x} = 0$ dans le cas contraire.}
35. En déduire $\mathbb{P}(S_n = x)$.}
36. Retrouver ce résultat à l’aide d’une variable aléatoire bien choisie.}
37. Montrer que le nombre de chemins reliant $(0,x)$ à $(n,y)$, tout en passant au moins une fois par un point d’ordonnée $0$, est égal au nombre de chemins quelconques reliant $(0,-x)$ à $(n,y)$.}
38. En utilisant le principe de réflexion, montrer que le nombre de chemins reliant $(1,1)$ à $(n,x)$ sans jamais rencontrer l’axe des abscisses est égal à
\[
N_{n-1,x-1} – N_{n-1,x+1}.
\]}
39. En déduire que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$,
\[
\mathbb{P}([S_1 > 0] \cap \ldots \cap [S_{2n-1} > 0] \cap [S_{2n} = 2k]) = \frac{1}{2} \left( \mathbb{P}(S_{2n-1} = 2k-1) – \mathbb{P}(S_{2n-1} = 2k+1) \right).
\]}
40. En remarquant que $[S_{2n} > 0] = \bigcup_{k=1}^{\infty} [S_{2n} = 2k]$, démontrer que
\[
\mathbb{P}([S_1 > 0] \cap \cdots \cap [S_{2n-1} > 0] \cap [S_{2n} > 0]) = \frac{1}{2}\mathbb{P}(S_{2n} = 0)
\]
puis que
\[
\mathbb{P}([S_1 \neq 0] \cap \ldots \cap [S_{2n-1} \neq 0] \cap [S_{2n} \neq 0]) = \mathbb{P}(S_{2n} = 0).
\]}
41. Montrer que pour tout $k \in \llbracket 0, n \rrbracket$,
\[
\mathbb{P}(T_{2n} = 2k) = \mathbb{P}(S_{2k} = 0) \times \mathbb{P}([S_1 \neq 0] \cap \cdots \cap [S_{2n-2k} \neq 0]).
\]}
42. En déduire que pour $k \in \llbracket 0, n \rrbracket$,
\[
\mathbb{P}(T_{2n} = 2k) = \binom{2k}{k} \binom{2n-2k}{n-k} \frac{1}{4^n}.
\]}
43. On définit la fonction $f$ par
\[
f(t) =
\begin{cases}
f(\alpha) & \text{si } t \in [0, \alpha[ \\
\frac{1}{\sqrt{t(1-t)}} & \text{si } t \in [\alpha, \beta] \\
f(\beta) & \text{si } t \in ]\beta, 1].
\end{cases}
\]
En utilisant des sommes de Riemann adaptées à $f$, montrer que
\[
\lim_{n \to +\infty} \sum_{k = \lfloor n\alpha \rfloor + 1}^{\lfloor n\beta\rfloor} \frac{1}{\sqrt{k}\sqrt{n-k}} = \int_\alpha^\beta \frac{1}{\sqrt{t(1-t)}} dt.
\]}
44. À l’aide de la partie II justifier qu’il existe une suite $(\varepsilon_n)_{n \in \mathbb{N}}$ convergente vers $1$ telle que
\[
\binom{2n}{n} = \frac{4^n}{\sqrt{n\pi}}(1 – \varepsilon_n 8^{-n}).
\]}
45. En déduire que
\[
\lim_{n \to +\infty} \left( \sum_{k = \lfloor n\alpha \rfloor+1}^{\lfloor n\beta\rfloor} \binom{2k}{k} \binom{2n – 2k}{n-k} \frac{1}{4^n}
– \frac{1}{\pi} \sum_{k = \lfloor n\alpha \rfloor+1}^{\lfloor n\beta\rfloor} \frac{1}{\sqrt{k(n-k)}} \right) = 0.
\]}
46. Montrer alors que
\[
\lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}\left(\frac{T_{2n}}{2n} \in [\alpha, \beta]\right) = \frac{2}{\pi}\left( \arcsin(\sqrt{\beta}) – \arcsin(\sqrt{\alpha}) \right).
\]}