Questions du sujet
1. Que peut-on dire d’un endomorphisme nilpotent d’indice 1 ?
2. Montrer qu’il existe un vecteur $x$ de $E$ tel que $u^{p-1}(x) \neq 0$.
3. Vérifier que la famille $(u^k(x))_{0 \leq k \leq p-1}$ est libre. En déduire que $p=2$.
4. Montrer que $\Ker u = \Im u$.
5. Construire une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est égale à $J_2$.}
6. En déduire que les matrices nilpotentes de $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ sont exactement les matrices de trace nulle et de déterminant nul.
7. Montrer que $\Im u \subset \Ker u$ et que $2r \leq n$.
8. On suppose que $\Im u = \Ker u$. Montrer qu’il existe des vecteurs $e_1, e_2, \dots, e_r$ de $E$ tels que $(e_1, u(e_1), e_2, u(e_2), \dots, e_r, u(e_r))$ est une base de $E$.
9. Donner la matrice de $u$ dans cette base.
10. On suppose $\Im u \neq \Ker u$. Montrer qu’il existe des vecteurs $e_1, e_2, \dots, e_r$ de $E$ et des vecteurs $v_1, v_2, \dots, v_{n-2r}$ appartenant à $\Ker u$ tels que $(e_1, u(e_1), e_2, u(e_2), \dots, e_r, u(e_r), v_1, \dots, v_{n-2r})$ est une base de $E$.}
11. Quelle est la matrice de $u$ dans cette base ?
12. Montrer que, si $A$ est nilpotente, alors $0$ est l’unique valeur propre de $A$.
13. Quelles sont les matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ à la fois nilpotentes et diagonalisables ?
14. Montrer qu’une matrice est nilpotente si, et seulement si, son polynôme caractéristique est égal à $X^n$.
15. Montrer la réciproque de la question 12.}
16. Montrer qu’une matrice triangulaire de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ à diagonale nulle est nilpotente et qu’une matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire à diagonale nulle.
17. Démontrer que, si $A$ est une matrice nilpotente d’indice $p$, alors tout polynôme de $\mathbb{C}[X]$ multiple de $X^p$ est un polynôme annulateur de $A$.
18. Démontrer que 0 est racine de $P$.
19. On note $m$ la multiplicité de 0 dans $P$, ce qui permet d’écrire $P = X^m Q$ où $Q$ est un polynôme de $\mathbb{C}[X]$ tel que $Q(0) \neq 0$. Démontrer que $Q(A)$ est inversible puis que $P$ est un multiple de $X^p$ dans $\mathbb{C}[X]$.
20. Calculer la trace et le rang de $A$. En déduire, sans aucun calcul, le polynôme caractéristique de $A$. Montrer que $A$ est nilpotente et donner son indice de nilpotence.}
21. Démontrer que $A$ est semblable à la matrice $\operatorname{diag}(J_2, J_1)$. Donner la valeur d’une matrice $P$ inversible telle que $A = P \operatorname{diag}(J_2, J_1) P^{-1}$.
22. Démontrer que $\Im u$ et $\Ker u$ sont stables par $\rho$ et que $\rho$ est nilpotent.
23. En déduire l’ensemble des racines carrées de $A$. On pourra considérer $R’ = P^{-1}RP$.
24. On se propose dans cette question d’étudier l’équation matricielle $R^2 = J_3$. \\
Soit $R$ une solution de cette équation. Donner les valeurs de $R^4$ et $R^6$, puis l’ensemble des solutions de l’équation.
25. Montrer que, si $2p-1 > n$, alors il n’existe aucune solution.}
26. Pour toute valeur de l’entier $n \geq 3$, exhiber une matrice $V \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, nilpotente d’indice $p \geq 2$ et admettant au moins une racine carrée.
27. Démontrer que $\Im u$ est stable par $u$ et que l’endomorphisme induit par $u$ sur $\Im u$ est nilpotent. Préciser son indice de nilpotence.
28. Pour tout vecteur $x$ non nul de $E$, on note $C_u(x)$ l’espace vectoriel engendré par les $(u^k(x))_{k \in \mathbb{N}}$ ; démontrer que $C_u(x)$ est stable par $u$ et qu’il existe un plus petit entier $s(x) \geq 1$ tel que $u^{s(x)}(x) = 0$.
29. Démontrer que $(x, u(x), \ldots, u^{s(x)-1}(x))$ est une base de $C_u(x)$ et donner la matrice, dans cette base, de l’endomorphisme induit par $u$ sur $C_u(x)$.
30. Démontrer par récurrence sur $p$ qu’il existe des vecteurs $x_1, \ldots, x_t$ de $E$ tels que $E = \bigoplus_{i=1}^t C_u(x_i)$. On pourra appliquer l’hypothèse de récurrence à l’endomorphisme induit par $u$ sur $\Im(u)$.}
31. Donner la matrice de $u$ dans une base adaptée à la décomposition $E = \bigoplus_{i=1}^t C_u(x_i)$.
32. Montrer qu’il existe une partition $\sigma = (\alpha_1, \ldots, \alpha_k)$ de $n$ et une base $\mathcal{B}$ de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est égale à la matrice $N_\sigma = \operatorname{diag}(J_{\alpha_1}, \ldots, J_{\alpha_k})$.
33. Soit $\alpha$ un entier naturel non nul. Calculer le rang de $J_\alpha^j$ pour tout entier naturel $j$. En déduire que $J_\alpha$ est nilpotente et préciser son indice de nilpotence.
34. En déduire la valeur de $\alpha_1$.
35. Pour $j \in \mathbb{N}$, on note $\Lambda_j = \{ i \in \llbracket 1, k \rrbracket \mid \alpha_i \geq j \}$. Démontrer que $\operatorname{rg}(N_\sigma^j) = \sum_{i \in \Lambda_j} (\alpha_i – j)$.}
36. Démontrer que, pour tout $j \in \mathbb{N}^*$, l’entier $d_j = \operatorname{rg}(u^{j-1}) – \operatorname{rg}(u^j)$ est égal au nombre de blocs $J_{\alpha_i}$ dont la taille $\alpha_i$ est supérieure ou égale à $j$.
37. Donner la valeur de l’entier $k$, nombre de blocs $J_{\alpha_i}$ intervenant dans $N_\sigma$.
38. Pour tout entier $j$ compris entre $1$ et $n$, exprimer le nombre de blocs $J_{\alpha_i}$ de taille exactement égale à $j$.
39. On suppose qu’il existe une partition $\sigma’$ de l’entier $n$ et une base $\mathcal{B}’$ de $E$ telles que la matrice de $u$ dans $\mathcal{B}’$ soit égale à $N_{\sigma’}$. Montrer que $\sigma = \sigma’$.
40. Quel est le cardinal maximal d’un ensemble de matrices nilpotentes, toutes de même taille $n$, telles qu’il n’y ait pas dans cet ensemble deux matrices semblables ?}
41. Soient $A$ la matrice
\[
\begin{pmatrix}
0 & -1 & 2 & -2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]
et $u$ l’endomorphisme canoniquement associé à $A$. Déterminer la partition $\sigma$ de l’entier $5$ associée à $u$ et donner la matrice $N_\sigma$.
42. À l’aide du résultat de la question 31, démontrer que si $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est nilpotente, alors $M$, $2M$ et $M^\top$ sont semblables.
43. À l’aide du résultat de la question 15, démontrer que si $M$ et $2M$ sont semblables, alors $M$ est nilpotente.
44. Calculer $y_{n,1}$.
45. On se propose de montrer que, si $2 \leq j \leq n$, alors $y_{n,j} = y_{n, j-1} + y_{n-j, \min(j, n-j)}$.}
46. Démontrer que cette égalité est vraie pour $j = n$.
47. Pour $j < n$, vérifier que $y_{n,j} = y_{n,j-1} + y_{n-j,j}$. Conclure. 48. Calculer les $y_{n,j}$ pour $1 \leq j \leq n \leq 5$ en présentant les résultats sous la forme d’un tableau. 49. Écrire une fonction Python qui prend en argument un entier $n \geq 1$ et qui renvoie $y_{n,n}$. 50. Comparer ce résultat à celui de la question 40.}