Questions du sujet
1. I.A.1) La matrice $\Delta_{p+1}$ appartient-elle à l’ensemble $O(1, p)$ ? à l’ensemble $O^+(1, p)$ ? 2. I.A.2) Montrer que $O(1, p) = O^+(1, p) \cup O^-(1, p)$. 3. I.A.3) Montrer que l’ensemble $O(1, p)$ est un sous-groupe de $GL_{p+1}(\mathbb{R})$ et que $O^+(1, p)$ est un sous-groupe de $O(1, p)$. 4. I.A.4) Montrer que, pour toute matrice $L$ élément de $O(1, p)$, sa transposée $^tL$ est aussi élément de $O(1, p)$. 5. I.A.5) Montrer que les parties $O(1, p)$, $O^+(1, p)$ et $O^-(1, p)$ de $\mathcal{M}_{p+1}(\mathbb{R})$ sont fermées.} 6. I.B.1) Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que si, pour tous $X$ et $Y$ de $\mathbb{R}^n$, $^tXA Y = ^tX B Y$ alors $A = B$. 7. I.B.2) Exprimer $\varphi_{p+1}(v, v’)$ en fonction de $q_{p+1}(v + v’)$ et $q_{p+1}(v – v’)$. 8. I.B.3) Soient $L \in \mathcal{M}_{p+1}(\mathbb{R})$ et $f$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}^{p+1}$ canoniquement associé. Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :\\ i.~$L \in O(1, p)$ ; \\ ii.~$\forall (v, v’) \in (\mathbb{R}^{p+1})^2$, $\varphi_{p+1}(f(v), f(v’)) = \varphi_{p+1}(v, v’)$ ; \\ iii.~$\forall v \in \mathbb{R}^{p+1}, q_{p+1}(f(v)) = q_{p+1}(v)$. 9. I.B.4) Si $L = (l_{i,j})_{i,j} \in O(1,p)$, $v = (1,0,\ldots,0)$ et $v’ = (0,1,0,\ldots,0)$, donner les équations sur les $l_{i,j}$ correspondant à $\varphi_{p+1}(f(v), f(v’)) = \varphi_{p+1}(v, v’)$, $q_{p+1}(f(v)) = q_{p+1}(v)$ et $q_{p+1}(f(v’)) = q_{p+1}(v’)$.\\ Qu’obtient-on similairement avec $^tL$ ?} 10. II.A.1) Soient $a$ et $b$ deux réels. Si $a > 0$ et $a^2 – b^2 = 1$, montrer qu’il existe un unique $\theta \in \mathbb{R}$ tel que $a = \cosh \theta$ et $b = \sinh \theta$. 11. II.A.2) Soient $a, b, c$ et $d$ quatre réels. On considère la matrice de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ $L = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$.\\ Écrire les équations sur $a, b, c, d$ traduisant l’appartenance de $L$ à $O(1,1)$. 12. II.A.3) En déduire l’égalité :\\ $O^+(1,1) = \left\{ \begin{pmatrix} \cosh \gamma & \sinh \gamma \\ \sinh \gamma & \cosh \gamma \end{pmatrix},\ \gamma \in \mathbb{R} \right\} \cup \left\{ \begin{pmatrix} -\cosh \gamma & \sinh \gamma \\ \sinh \gamma & -\cosh \gamma \end{pmatrix},\ \gamma \in \mathbb{R} \right\}$.\\ On note, dans la suite de cette partie II, pour tout réel $\gamma$, $L(\gamma) = \begin{pmatrix} \cosh \gamma & \sinh \gamma \\ \sinh \gamma & \cosh \gamma \end{pmatrix}$. 13. II.A.4) Montrer, pour tous réels $\gamma$ et $\gamma’$, l’égalité : $L(\gamma)L(\gamma’) = L(\gamma + \gamma’)$.\\ En déduire que $O^+(1,1) \cap \widetilde{O(1,1)}$ est un sous-groupe commutatif du groupe $O^+(1,1)$. 14. II.B – Le groupe $O^+(1,1) \cap \widetilde{O(1,1)}$ est-il compact ?} 15. II.C – Montrer que les matrices éléments de $O^+(1,1)$ sont diagonalisables et trouver une matrice $P \in O(2)$ telle que, pour toute matrice $L \in O^+(1,1)$, la matrice $^tPLP$ soit diagonale. 16. II.D – Montrer que le groupe $O^+(1,1)$ est commutatif. 17. III.A – Soit $L = (\ell_{i,j})_{1 \leq i,j \leq 4} \in O(1,3)$. Montrer l’inégalité $\ell_{1,1}^2 \geq 1$. 18. III.B – Soient $L = (\ell_{i,j})_{1 \leq i,j \leq 4}$ et $L’ = (\ell’_{i,j})_{1 \leq i,j \leq 4}$ deux éléments de $\widetilde{O(1,3)}$. On pose $L” = LL’ = (\ell”_{i,j})_{1 \leq i,j \leq 4}$.\\ Démontrer les inégalités suivantes :\\ $0 \leq \sum_{k=2}^4 \ell_{1,k}^2 \sum_{k=2}^4 \ell_{k,1}^{\prime 2} + \sum_{k=2}^4 \ell_{1,k} \ell_{k,1}’ < \ell_{1,1}''$\\ En déduire que l’ensemble $\widetilde{O(1,3)}$ est un sous-groupe du groupe de Lorentz $O(1,3)$. 19. III.C – Justifier que $G = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0_{1,3} \\ 0_{3,1} & R \end{pmatrix},\ R \in SO(3) \right\}$ est un sous-groupe de $O^+(1,3) \cap \widetilde{O(1,3)}$ isomorphe à $SO(3)$.} 20. III.D – Montrer que, si le vecteur $a$ est nul, alors la matrice $L$ appartient au groupe $G$. 21. III.E.1) Dans l’espace $\mathbb{R}^3$ euclidien usuel, montrer que, pour tous vecteurs $u$ et $v$ de $\mathbb{R}^3$ de même norme, il existe une rotation $r$ telle que $r(u) = v$. 22. III.E.2) Écrire, en langage Maple ou Mathematica, une fonction (ou procédure) rotation, de paramètres $U$ et $V$, renvoyant :\\ – False si $U$ et $V$ n’ont pas la même norme ;\\ – une matrice $R$ de $SO(3)$ telle que $RU = V$ si $U$ et $V$ ont même norme. 23. III.F.1) Déduire de la question III.E.1 qu’il existe un élément $L_1$ de $G$ tel que l’on a :\\ $L_1L = \begin{pmatrix} \ell_{1,1} & \ell_{1,2} & \ell_{1,3} & \ell_{1,4} \\ \alpha & \lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 \\ 0 & \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 \\ 0 & \nu_1 & \nu_2 & \nu_3 \end{pmatrix}$\\ où $\alpha$ est un réel strictement positif que l’on précisera, $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \mu_1, \mu_2, \mu_3, \nu_1, \nu_2$ et $\nu_3$ sont des réels qu’on ne cherchera pas à déterminer.\\ On fixe désormais de tels coefficients $\alpha, \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \mu_1, \mu_2, \mu_3, \nu_1, \nu_2$ et $\nu_3$. 24. III.F.2) Soient $v_2 = \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \\ \mu_3 \end{pmatrix}$ et $v_3 = \begin{pmatrix} \nu_1 \\ \nu_2 \\ \nu_3 \end{pmatrix}$. Montrer que $v_2$ et $v_3$ sont deux vecteurs unitaires orthogonaux de $\mathbb{R}^3$ muni de sa structure euclidienne usuelle.} 25. III.F.3) Soit $R_2 \in SO(3)$. On pose $L_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0_{1,3} \\ 0_{3,1} & R_2 \end{pmatrix} \in G$. Montrer que l’on peut choisir $R_2$ tel que $L_1 L L_2 = \begin{pmatrix} \ell_{1,1} & \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \\ \alpha & \delta_1 & \delta_2 & \delta_3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$\\ où $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \delta_1, \delta_2$ et $\delta_3$ sont des réels qu’on ne cherchera pas à déterminer. 26. III.F.4) Montrer que les réels $\beta_2, \beta_3, \delta_2$ et $\delta_3$ sont nuls. 27. III.G – En déduire que toute matrice $L$ de $O^+(1,3) \cap \widetilde{O(1,3)}$ peut s’écrire sous la forme d’un produit du type $L = \begin{pmatrix} 1 & 0_{1,3} \\ 0_{3,1} & R \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cosh\gamma & \sinh\gamma & 0 & 0 \\ \sinh\gamma & \cosh\gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0_{1,3} \\ 0_{3,1} & R' \end{pmatrix}$ où $R$ et $R'$ sont deux éléments de $SO(3)$ et $\gamma$ est un réel. 28. III.H – Écrire, en langage Maple ou Mathematica, une fonction ou une procédure permettant d’obtenir une telle décomposition d’une matrice de $O^+(1,3) \cap \widetilde{O(1,3)}$.\\ On pourra utiliser la fonction rotation écrite précédemment. 29. III.I – La décomposition obtenue est-elle unique ?}FAQ
Le groupe de Lorentz \(O(1, p)\) est l’ensemble des matrices \(L \in \mathcal{M}_{p+1}(\mathbb{R})\) qui préservent la forme quadratique \(q_{p+1}(v) = v_1^2 – \sum_{i=2}^{p+1} v_i^2\). Il se décompose en deux sous-ensembles : \(O^+(1, p)\) (les matrices de déterminant 1) et \(O^-(1, p)\) (les matrices de déterminant -1). Pour approfondir, consulte le corrigé détaillé sur Prépa Booster !
\(O(1, p)\) est un sous-groupe de \(GL_{p+1}(\mathbb{R})\) car il est stable par multiplication et passage à l’inverse, et contient l’identité. De plus, il préserve la forme quadratique \(q_{p+1}\), ce qui en fait un groupe de transformations linéaires inversibles. Tu peux vérifier ces propriétés dans le corrigé de l’épreuve !
En utilisant les propriétés des fonctions hyperboliques, on montre que \(O^+(1,1)\) peut s’écrire sous la forme de matrices \(\begin{pmatrix} \cosh \gamma & \sinh \gamma \\ \sinh \gamma & \cosh \gamma \end{pmatrix}\) ou \(\begin{pmatrix} -\cosh \gamma & \sinh \gamma \\ \sinh \gamma & -\cosh \gamma \end{pmatrix}\). Ces matrices forment un groupe pour la multiplication, isomorphe à \((\mathbb{R}, +)\). Pour plus de détails, débloque les corrigés sur Prépa Booster !
Le groupe \(O^+(1,3) \cap \widetilde{O(1,3)}\) est engendré par des rotations spatiales et des boosts de Lorentz. Toute matrice \(L\) de ce groupe peut se décomposer en un produit de trois matrices : une rotation \(R\), un boost \(L(\gamma)\) dans la direction temporelle, et une autre rotation \(R’\). C’est un résultat clé en relativité restreinte !
Pour montrer que \(O(1, p)\) est fermé, on utilise le fait que c’est l’image réciproque du singleton \(\{I_{p+1}\}\) par l’application continue \(L \mapsto {}^tL I_{1,p} L\). Comme \(\{I_{p+1}\}\) est fermé et que l’application est continue, \(O(1, p)\) est bien fermé. C’est une propriété topologique fondamentale !
Les groupes de Lorentz sont fondamentaux en relativité restreinte, car ils décrivent les transformations qui préservent l’intervalle espace-temps. Ils permettent de comprendre comment les mesures de temps et d’espace varient entre des référentiels inertiels. C’est un sujet passionnant qui lie mathématiques et physique !
Pour diagonaliser une matrice de \(O(1,1)\), on utilise le fait qu’elle est symétrique pour la forme bilinéaire \(\varphi_{1,1}\). On peut alors trouver une matrice \(P \in O(2)\) telle que \(^tPLP\) soit diagonale. C’est une technique puissante pour simplifier l’étude de ces matrices !
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