Questions du sujet
1. I.A – Démontrer que les valeurs propres réelles de $A$ sont dans $R(A)$.
2. I.B.1) Démontrer que les éléments $a_{ii}$ $(1 \leq i \leq n)$ de la diagonale de $A$ sont dans $R(A)$.
3. I.B.2) En considérant la matrice $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, montrer que les éléments $a_{ij}$ avec $i \neq j$ ne sont pas nécessairement dans $R(A)$.
4. I.C.1) Démontrer que $X_1$ et $X_2$ sont linéairement indépendants.
5. I.C.2) On pose $X_\lambda = \lambda X_1 + (1 – \lambda) X_2$ pour $0 \leq \lambda \leq 1$. Démontrer que la fonction $\varphi : \lambda \mapsto \frac{{}^t X_\lambda A X_\lambda}{\| X_\lambda \|^2}$ est définie et continue sur l’intervalle $[0,1]$.}
6. I.C.3) En déduire que le segment $[a,b]$ est inclus dans $R(A)$.
7. I.D – Démontrer que si $\operatorname{Tr}(A)=0$ alors $0 \in R(A)$.
8. I.E – Soit $Q$ une matrice orthogonale réelle. Démontrer que $R(A) = R({}^t Q A Q)$.
9. I.F.1) Démontrer que la condition (C2) implique la condition (C1).
10. I.F.2) On suppose que $x \in R(A)$. Démontrer qu’il existe une matrice $Q_1$ orthogonale telle que
${}^t Q_1 A Q_1 = \begin{pmatrix} x & L \\ C & B \end{pmatrix}$ où $B$ est une matrice de format $(n-1,n-1)$ ($B \in \mathcal{M}_{n-1}(\mathbb{R})$), $C$ un vecteur colonne à $n-1$ éléments ($C \in \mathcal{M}_{n-1,1}(\mathbb{R})$) et $L$ un vecteur ligne à $n-1$ éléments ($L \in \mathcal{M}_{1,n-1}(\mathbb{R})$).}
11. I.F.3) Démontrer que si la matrice $A$ est symétrique il en est de même pour la matrice $B$ ci-dessus.
12. I.F.4) Démontrer que $\operatorname{Tr}(A) = \operatorname{Tr}({}^t Q_1 A Q_1)$.
13. I.F.5) En déduire que si $A$ est symétrique, la condition (C1) implique la condition (C2)\\
On pourra raisonner par récurrence sur $n$.
14. II.A – Démontrer que $R(A) = [\lambda_1, \lambda_2]$.
15. II.B.1) Caractériser les conditions sur les $\lambda_i$ pour lesquelles cet ensemble est :\\
a) vide ;\\
b) la réunion de deux droites ;\\
c) une ellipse ;\\
d) une hyperbole.}
16. II.B.2) Représenter sur une même figure les ensembles $\Gamma$ obtenus pour $A$ diagonale avec $\lambda_1 \in \{-4, -1, 0, 1/4, 1\}$ et $\lambda_2 = 1$.
17. II.C – Démontrer que $\operatorname{Tr}(AB) \leq \lambda_1 \mu_1 + \lambda_2 \mu_2$.\\
On pourra utiliser une matrice $P$ orthogonale telle que ${}^t P B P$ soit une matrice diagonale, pour obtenir ${}^t P A P = A’ = (a’_{ij})$ avec $\operatorname{Tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 = a’_{11} + a’_{22}$.
18. II.D.1) Démontrer que $\det(A) > 0$ si $A > 0$.
19. II.D.2) Démontrer que ${}^t X A X > 0$ pour tout vecteur $X$.
20. II.D.3) Démontrer que $a > 0$ et $d > 0$.}
21. II.D.4) Soit $S \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ symétrique. Démontrer que :\\ $S > 0$ si et seulement si $(\operatorname{Tr}(S) > 0 \ \text{et} \ \det(S) > 0)$
22. II.E.1) En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz aux vecteurs $(b_1, \sqrt{\det A})$ et $(b_2, \sqrt{\det B})$, démontrer que\\
$b_1 b_2 \leq \sqrt{a_1 a_2 d_1 d_2} – \sqrt{ \det A \det B }$.
23. II.E.2) En calculant $\det(A+B) – \det A – \det B$, en déduire que\\
$\det(A+B) > \det(A) + \det(B) + 2 \sqrt{\det(A) \det(B)}$.
24. II.F.1) Démontrer que l’on a l’égalité dans la formule de la question II.E.2 si et seulement si les vecteurs $(a_1,d_1)$ et $(a_2,d_2)$ sont liés, ainsi que les vecteurs $(b_1,\sqrt{\det A})$ et $(b_2,\sqrt{\det B})$.
25. II.F.2) Démontrer alors que l’on a l’égalité dans la formule de la question II.E.2 si et seulement si les matrices $A$ et $B$ sont proportionnelles ($A = \lambda B$ pour un $\lambda \in \mathbb{R}$, $\lambda > 0$).}
26. II.G – On considère la relation suivante sur l’ensemble des matrices symétriques réelles de format $(2,2)$ :\\
on dit que $S \leq S’$ si et seulement si la matrice symétrique $S’ – S$ vérifie $S’-S > 0$.\\
Démontrer que la relation $\leq$ ci-dessus est bien une relation d’ordre sur les matrices symétriques réelles de format $(2,2)$.
27. II.H.1) Démontrer que pour tout vecteur $X$, la suite $({}^t X A_n X)_{n \geq 0}$ est croissante majorée.
28. II.H.2) Démontrer que les suites $(a_n)_{n \geq 0}$ et $(d_n)_{n \geq 0}$ sont croissantes majorées.
29. II.H.3) En considérant le vecteur $X = (1,1)$, démontrer que la suite de matrices $(A_n)_{n \geq 0}$ est convergente dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, c’est-à-dire que les suites $(a_n)_{n \geq 0}$, $(b_n)_{n \geq 0}$ et $(d_n)_{n \geq 0}$ sont convergentes dans $\mathbb{R}$.
30. III.A – Soit $A$ une matrice symétrique définie positive.\\
Démontrer qu’il existe une matrice inversible $Y$ telle que $A = {}^t Y Y$.}
31. III.B – Soient $A$ une matrice symétrique définie positive et $B$ une matrice symétrique.\\
Démontrer qu’il existe une matrice inversible $T$ telle que :\\
${}^t T A T = I_n$ et ${}^t T B T = D$\\
où $I_n$ désigne la matrice identité et $D$ une matrice diagonale.
32. III.C.1) Soient $A$ et $B$ deux matrices symétriques définies positives.\\
Démontrer que : $\det(I_n + B) > 1 + \det B$.
33. III.C.2) En déduire que : $\det(A+B) > \det A + \det B$.
34. III.D – Soient $x$ un nombre réel strictement positif, $\beta$ un nombre réel tel que $0 < \beta < 1$.\\ Démontrer que : $x^\beta \leq \beta x + 1 – \beta$. 35. III.E – Soient $A$ et $B$ deux matrices symétriques définies positives, $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels $> 0$ tels que $\alpha + \beta = 1$ ; démontrer que :\\
$\det(\alpha A + \beta B) \geq (\det A)^{\alpha} (\det B)^{\beta}$}
36. III.F – Pour $1 \leq i \leq k$, soient $A_i$ des matrices symétriques définies positives et $\alpha_i$ des nombres strictement positifs tels que $\alpha_1 + \cdots + \alpha_k = 1$. Démontrer que\\
$\det(\alpha_1 A_1 + \cdots + \alpha_k A_k) \geq (\det A_1)^{\alpha_1} \cdots (\det A_k)^{\alpha_k}$\\
On pourra raisonner par récurrence sur $k$.}
FAQ
C’est une propriété fondamentale des matrices symétriques. Si λ est une valeur propre réelle de A, alors il existe un vecteur propre X non nul tel que AX = λX. En prenant le produit scalaire avec X, on obtient ^tXAX = λ||X||², ce qui montre que λ est bien dans R(A), l’ensemble des valeurs du rayon spectral de A.
Pour chaque élément diagonal a_ii, considère le vecteur canonique e_i (tous les composants sont nuls sauf le i-ème qui vaut 1). Alors ^t e_i A e_i = a_ii, ce qui montre que a_ii ∈ R(A). C’est une conséquence directe de la définition de R(A).
Prenons l’exemple de la matrice A = [0 1; -1 0]. Les éléments non diagonaux sont 1 et -1. Or, R(A) = {0} car pour tout vecteur X = (x,y), ^tXAX = 0. Ainsi, 1 et -1 n’appartiennent pas à R(A). Cela montre que seuls les éléments diagonaux sont garantis d’être dans R(A).
Pour montrer que X₁ et X₂ sont linéairement indépendants, il suffit de vérifier que la seule solution à l’équation λ₁X₁ + λ₂X₂ = 0 est λ₁ = λ₂ = 0. Si X₁ et X₂ sont des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, ils sont automatiquement indépendants. Sinon, tu peux utiliser le déterminant de la matrice formée par X₁ et X₂.
La fonction φ(λ) = (^t X_λ A X_λ) / ||X_λ||² est continue car le numérateur et le dénominateur sont des fonctions continues de λ, et le dénominateur ne s’annule pas sur [0,1]. La continuité de X_λ en fonction de λ garantit celle de φ.
Comme φ(λ) est continue sur [0,1], elle prend toutes les valeurs entre φ(0) = a et φ(1) = b. Par définition, R(A) contient toutes les valeurs de φ(λ), donc [a,b] ⊂ R(A). C’est une conséquence du théorème des valeurs intermédiaires.
Si Tr(A) = 0, alors la somme des valeurs propres de A est nulle. Comme R(A) contient les valeurs propres, et que R(A) est un intervalle, 0 doit appartenir à R(A). C’est une conséquence directe de la propriété de la trace et de la convexité de R(A).
Pour toute matrice orthogonale Q, R(A) = R(^tQAQ). En effet, la transformation ^tQAQ préserve les valeurs propres et le produit scalaire, donc R(A) reste inchangé. C’est une propriété importante en algèbre linéaire pour les matrices symétriques.
La récurrence est souvent utilisée pour démontrer des propriétés sur les matrices, notamment pour les matrices symétriques. Par exemple, pour montrer que (C1) implique (C2), on peut raisonner par récurrence sur la taille n de la matrice. L’hypothèse de récurrence permet de réduire le problème à une matrice de taille inférieure.
Les ensembles définis par des matrices diagonales peuvent être vides, des droites, des ellipses ou des hyperboles selon les valeurs propres. Par exemple, si λ₁ et λ₂ sont de même signe, on obtient une ellipse, tandis que s’ils sont de signes opposés, on obtient une hyperbole. C’est une application directe de la réduction des coniques.
Pour les matrices symétriques définies positives, on peut utiliser des inégalités comme celle de Cauchy-Schwarz ou des propriétés des déterminants. Par exemple, pour démontrer que det(A+B) > det(A) + det(B) + 2√(det(A)det(B)), on utilise la décomposition spectrale et des majorations fines.
On peut définir un ordre partiel sur les matrices symétriques en disant que A ≤ B si et seulement si B – A est définie positive. Cet ordre est compatible avec l’addition et la multiplication par un scalaire positif, ce qui en fait une structure d’ordre intéressante en algèbre linéaire.
Pour étudier la convergence des suites de matrices, on peut considérer les suites des coefficients. Par exemple, si (Aₙ) est une suite de matrices symétriques définies positives croissante et majorée, alors elle converge vers une matrice limite. Cela se démontre en étudiant la convergence des suites (aₙ), (bₙ) et (dₙ) des coefficients.
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