Questions du sujet
1. I.A.1) Montrer que l’ensemble des similitudes non nulles est un sous-groupe de $\mathrm{GL}(E)$ pour la composition des applications. 2. I.A.2) Soit $h \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme de $E$. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :\\ i) $h$ est élément de $\mathrm{Sim}(E)$ ;\\ ii) $h^* h$ est colinéaire à $\mathrm{Id}_E$ ;\\ iii) la matrice de $h$ dans une base orthonormale de $E$ est colinéaire à une matrice orthogonale.\\ On appelle donc matrice de similitude toute matrice colinéaire à une matrice orthogonale : c’est donc la matrice d’une similitude dans une base orthonormale. 3. I.B.1) Montrer que : $\forall x \in E,\ \langle x, f(x)\rangle = 0$. 4. I.B.2) Montrer que, si $S$ est un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $f$, alors $S^\perp$ est stable par $f$. Montrer que les endomorphismes induits par $f$ sur $S$ et sur $S^\perp$ sont antisymétriques. 5. I.B.3) Soit $g$ un endomorphisme antisymétrique de $E$, tel que $fg = -gf$. Montrer que : $\forall x \in E,\ \langle f(x),g(x) \rangle=0$.} 6. I.B.4) Que vaut $f^2 = f \circ f$ si $f$ est un automorphisme orthogonal et antisymétrique de $E$ ? 7. I.C.1) Montrer que $d_n > 1$. 8. I.C.2) Soit $V$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$ inclus dans $\mathrm{Sim}(E)$.\\ On fixe $x \in E\setminus\{0\}$. En considérant $\Phi: f \mapsto f(x)$, application linéaire de $V$ dans $E$, montrer que $\dim(V) \leq n$.\\ Ainsi $1 \leq d_n \leq n$. 9. I.C.3) Dans cette question seulement, on suppose $n=2$. Expliciter un espace vectoriel de dimension 2, formé de matrices de similitudes. En déduire, avec soin, que $d_2=2$. 10. I.C.4) Dans cette question seulement, on suppose $n$ impair. Si $f,g$ appartiennent à $\mathrm{GL}(E)$, montrer qu’il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $f+\lambda g$ soit non inversible.\\ On pourra raisonner en considérant le polynôme caractéristique de $fg^{-1}$.\\ En déduire que $d_n=1$.} 11. I.C.5) Soit $V$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$ inclus dans $\mathrm{Sim}(E)$, de dimension $d>1$. Montrer qu’il existe un sous-espace vectoriel $W$ de $\mathcal{L}(E)$ inclus dans $\mathrm{Sim}(E)$, de même dimension $d$, et contenant $\mathrm{Id}_E$. 12. I.D.1) Montrer que pour tout $i \in \{1,2,\ldots,d-1\}$, $f_i^* + f_i$ est colinéaire à $\mathrm{Id}_E$. 13. I.D.2) Montrer qu’il existe une base $(\mathrm{Id}_E, g_1, \ldots, g_{d-1})$ de $V$ telle que pour tout $i \in \{1,2,\ldots,d-1\}$, $g_i$ soit antisymétrique (on cherchera $g_i$ comme combinaison de $f_i$ et $\mathrm{id}_E$). 14. I.D.3a) Montrer que pour tout $i\neq j$, $g_i g_j + g_j g_i$ est colinéaire à $\mathrm{Id}_E$. 15. I.D.3b) Montrer que l’on définit un produit scalaire sur $\mathcal{L}(E)$ en posant, pour tout $f,g$ de $\mathcal{L}(E)$, $(f|g)=\mathrm{tr}(f^*g)$.} 16. I.D.3c) On considère, dans la suite de cette question, une base $(h_1,\ldots,h_{d-1})$ de $\mathrm{Vect}(g_1,\ldots,g_{d-1})$ orthogonale pour ce produit scalaire.\\ Montrer que les $h_i$ sont antisymétriques et vérifient : $\forall i\neq j$, $h_i h_j + h_j h_i = 0$.\\ Que faire pour que les $h_i$ soient aussi des automorphismes orthogonaux ? 17. I.D.4) Réciproquement, soit $(h_1,\ldots,h_{d-1})$ une famille de $\mathcal{L}(E)$ telle que les $h_i$ soient des automorphismes orthogonaux antisymétriques vérifiant pour tous $i\neq j$, $h_i h_j + h_j h_i = 0$. Montrer que $\mathrm{Vect}(\mathrm{Id}_E,h_1,\ldots,h_{d-1})$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$, de dimension $d$, inclus dans $\mathrm{Sim}(E)$.\\ Ainsi, si $\dim(E)>2$, sont équivalentes les deux propriétés :\\ • il existe un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$ de dimension $d>2$ inclus dans $\mathrm{Sim}(E)$\\ • il existe une famille $(f_1,\ldots,f_{d-1})$ d’automorphismes orthogonaux antisymétriques de $E$ vérifiant : $\forall i\neq j ,\, f_i f_j + f_j f_i=0$. 18. II.A.1a) Soit $p$ un entier impair tel que $\dim(E)=n=2p$. On suppose qu’il existe $d>3$ et une famille $(f_1,f_2,\ldots,f_{d-1})$ d’éléments de $\mathcal{L}(E)$ telle que les $f_i$ soient des automorphismes orthogonaux, antisymétriques vérifiant : $\forall i\neq j, f_i f_j + f_j f_i=0$.\\ Soit $x\in E$ de norme 1.\\ Montrer que $(x, f_1(x), f_2(x), f_1f_2(x))$ est une famille orthonormale, et que $S = \mathrm{Vect}(x, f_1(x), f_2(x), f_1 f_2(x))$ est stable par $f_1$ et $f_2$. 19. II.A.1b) En déduire que $d_n-4>3$. 20. II.A.2) Dans cette question, $n=2p$, avec $p$ entier impair. Montrer que $d_n=2$.} 21. II.B.1a) On suppose qu’il existe un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$ de dimension 4 inclus dans $\mathrm{Sim}(E)$.\\ On considère alors, conformément à I.D.4 une famille $(f_1,f_2,f_3)$ d’éléments de $\mathcal{L}(E)$ telle que les $f_i$ soient des automorphismes orthogonaux, antisymétriques vérifiant : $\forall i\neq j, f_i f_j + f_j f_i=0$.\\ Soit un vecteur fixé $x\in E$ de norme 1.\\ Justifier que la famille $B=(x, f_1(x), f_2(x), f_1f_2(x))$ est une base de $E$ puis montrer qu’il existe des nombres réels $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ tels que $f_3(x)=\alpha x + \beta f_1(x) + \gamma f_2(x) + \delta f_1f_2(x)$. Montrer que $\alpha=\beta=\gamma=0$ et que $\delta \in \{-1,1\}$. 22. II.B.1b) Montrer que $f_3 = \delta f_1 f_2$. Quitte à changer $f_3$ en son opposé, on suppose dans la suite que $f_3 = f_1 f_2$. 23. II.B.1c) Si $x_0,x_1,x_2,x_3$ sont des nombres réels, donner la matrice $M(x_0,x_1,x_2,x_3)$ dans $B$ de l’endomorphisme $x_0 \mathrm{Id}_E + x_1 f_1 + x_2 f_2 + x_3 f_3$. 24. II.B.2) Vérifier que pour tout $(x_0,x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^4$, $M(x_0,x_1,x_2,x_3)$ est une matrice de similitude. Qu’en conclure ? 25. II.C.1) En utilisant $f_4$, montrer que $f_3$ ne peut être égal à $\pm f_1 f_2$.} 26. II.C.2) Montrer que $f_1 f_2 f_3$ est un automorphisme orthogonal, symétrique et non colinéaire à $\mathrm{Id}_E$. 27. II.C.3) Quel est le spectre de $f_1 f_2 f_3$ ? Montrer qu’il existe $x\in E$ de norme 1 tel que $\langle f_1 f_2 f_3(x), x \rangle = 0$. On fixe un tel $x$ pour la suite. 28. II.C.4) Montrer que $F = (x, f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_1f_2(x), f_1f_3(x), f_2f_3(x), f_1f_2f_3(x))$ est une famille orthonormale. 29. II.C.5a) On pose $V = \mathrm{Vect}(F)$. C’est donc un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension 8.\\ Montrer que $V^\perp$ est stable par $f_1, f_2, f_3$. 30. II.C.5b) On note $f’_i$ l’endomorphisme induit par $f_i$ sur $V^\perp,\ i=1,2,3$. Justifier qu’il existe $\delta’ \in \{-1,1\}$ tel que $f’_3 = \delta’ f’_1 f’_2$.\\ Quitte à remplacer $f_3$ par $-f_3$, on considère pour la suite que $f’_3 = f’_1 f’_2$.} 31. II.C.5c) Soit $e$ fixé dans $V^\perp$, de norme 1. En procédant comme au II.B.1.a) (mais ce n’est pas à refaire), on peut montrer que $(e, f_1(e), f_2(e), f_1f_2(e))$ est une base orthonormale de $V^\perp$. En remarquant que $f_3(e) = f_1 f_2(e)$, utiliser cette base pour montrer que : $\forall y \in V^\perp, f_4(y) \in V$.\\ Ainsi $W = f_4(V^\perp)$ est un sous-espace vectoriel de $V$ de dimension 4. 32. II.C.5d) Montrer que la somme de $W$ et $V^\perp$ est directe et que $W \oplus V^\perp$ est stable par $f_1, f_2, f_3, f_4$. Aboutir alors à une contradiction. 33. II.C.6) En déduire la valeur de $d_{12}$. 34. II.D) Dans cette section, la dimension de $E$ est 8.\\ Montrer que, quel que soit $(x_0,…,x_7)\in\mathbb{R}^8$, 35. \[ \left( \begin{array}{cccccccc} x_0 & -x_1 & -x_2 & -x_4 & -x_3 & -x_5 & -x_6 & -x_7 \\ x_1 & x_0 & -x_4 & x_2 & -x_5 & x_3 & -x_7 & x_6 \\ x_2 & x_4 & x_0 & -x_1 & -x_6 & x_7 & x_3 & -x_5 \\ x_4 & -x_2 & x_1 & x_0 & x_7 & x_6 & -x_5 & -x_3 \\ x_3 & x_5 & x_6 & -x_7 & x_0 & -x_1 & -x_2 & x_4 \\ x_5 & -x_3 & -x_7 & -x_6 & x_1 & x_0 & x_4 & x_2 \\ x_6 & x_7 & -x_3 & x_5 & x_2 & -x_4 & x_0 & -x_1 \\ x_7 & -x_6 & x_5 & x_3 & -x_4 & -x_2 & x_1 & x_0 \end{array} \right) \] est une matrice de similitude.\\ Que peut-on en déduire ? } 36. II.E) Conjecturer la valeur de $d_n$ dans le cas général.}FAQ
Une similitude dans un espace vectoriel euclidien est une application linéaire qui préserve les angles et multiplie toutes les longueurs par un même facteur strictement positif. Plus globalement, toute similitude s’écrit comme un produit d’une orthogonale par une homothétie. Ces applications apparaissent très souvent en géométrie du plan ou de l’espace mais également dans des sujets plus abstraits comme ici. C’est une notion clé au concours Centrale PSI, car elle permet d’aborder des questions de structure de groupe, d’invariant, de matrices… Maîtriser les similitudes, c’est gagner en efficacité sur tous les exercices de transformations linéaires et d’algèbre linéaire en général.
Dans une base orthonormale, une matrice de similitude est simplement une matrice orthogonale multipliée par un scalaire strictement positif. En d’autres termes, elle est colinéaire à une matrice orthogonale. Ce lien fort entre similitude et orthogonalité doit te permettre d’identifier rapidement la structure des automorphismes qui conservent les angles. Le sujet de Centrale PSI 2010 met d’ailleurs l’accent sur ces propriétés, en t’invitant à raisonner à la fois en termes de matrices et de transformations géométriques linéaires.
Les endomorphismes antisymétriques (c’est-à-dire ceux qui vérifient f* = -f, où f* est l’adjoint pour un produit scalaire donné) sont fondamentaux car ils modélisent – entre autres – les rotations ou les symétries dans un espace euclidien. Ils interviennent dans la classification des groupes orthogonaux, la compréhension des isométries et dans de nombreux calculs sur les matrices. En concours, il faut maîtriser leurs propriétés : stabilité des sous-espaces, spectre, commutativité ou anti-commutativité… Pour progresser, rien ne vaut des exercices corrigés ciblés et un accès aux corrigés détaillés de sujets comme ceux proposés sur Prépa Booster.
Les questions portant sur la dimension des sous-espaces vectoriels d’endomorphismes (matrices) sont très fréquentes et nécessitent de savoir manier efficacement la définition de l’application linéaire, le théorème du rang, les propriétés de stabilité, et parfois d’utiliser la dualité. Il faut toujours vérifier la stabilité des sous-espaces, la nature des familles génératrices et orthogonales, et l’invariance. Les annales corrigées permettent de s’entraîner sur des raisonnements de structure, souvent transversaux à plusieurs chapitres du programme de CPGE scientifique.
Le produit scalaire (f|g) = tr(f*g), où tr() désigne la trace, permet de mettre en place une structure euclidienne sur l’espace des endomorphismes. Cette structure est essentielle pour comprendre et caractériser des familles orthogonales d’endomorphismes, et donc pour construire des bases adaptées. On retrouve par exemple ce type de produit scalaire dans la décomposition spectrale ou l’étude des espaces invariants. Pour maîtriser ce concept, l’exploration des corrigés complets d’annales et d’exercices est un atout pour lever tous les points de blocage.
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