Questions du sujet
1. I.A – Si $A \in O_3(\mathbb{R})$, calculer $\|A\|$. 2. I.B – D\’emontrer que $O_3(\mathbb{R})$ est une partie born\’ee. En d\’eduire que $O_3(\mathbb{R})$ est un compact de $M_3(\mathbb{R})$. 3. I.C – D\’emontrer que l’application $M \mapsto \|M\|$, de $M_3(\mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$ est continue. 4. I.D – Soit $A \in M_3(\mathbb{R})$. D\’emontrer qu’il existe $U \in O_3(\mathbb{R})$ tel que $d(A, O_3(\mathbb{R})) = \|A – U\|$. 5. I.E – Soit $\Phi$ l’application de $M_3(\mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$ d\’efinie par $\Phi(M) = d(M, O_3(\mathbb{R}))$.} 6. I.E.1) Soient $M, N \in M_3(\mathbb{R})$. D\’emontrer que : $\forall U \in O_3(\mathbb{R}), d(M, O_3(\mathbb{R})) \leq \|N-U\| + \|N – M\|$, puis que : $d(M, O_3(\mathbb{R})) \leq d(N, O_3(\mathbb{R})) + \|N-M\|$. 7. I.E.2) En d\’eduire que $\Phi$ est continue. 8. I.F – Soit $P$ un sous-espace vectoriel de $M_3(\mathbb{R})$. Si $r \in \mathbb{R}_+$, on pose $B_r = \{M \in M_3(\mathbb{R}) \mid \|M\| \leq r\}$. 9. I.F.1) D\’emontrer qu’il existe $r > 0$ tel que $d(P, O_3(\mathbb{R})) = d(P \cap B_r, O_3(\mathbb{R}))$. 10. I.F.2) D\’emontrer qu’il existe $A \in P$ telle que $d(P, O_3(\mathbb{R})) = d(A, O_3(\mathbb{R}))$.} 11. II.A – D\’emontrer que $^tMM$ est sym\’etrique \`a valeurs propres positives. 12. II.B – D\’emontrer qu’il existe $S \in M_3(\mathbb{R})$ sym\’etrique \`a valeurs propres positives telle que $^tMM = S^2$. 13. II.C – D\’emontrer que si $M$ est inversible, il existe $U \in O_3(\mathbb{R})$ telle que $M = US$. On admettra que le r\’esultat reste vrai si $M$ est non inversible, c’est-\`a-dire : « Si $M \in M_3(\mathbb{R})$, il existe $U \in O_3(\mathbb{R})$ et $S \in S^+_3(\mathbb{R})$, telles que $M = US$ (d\’ecomposition polaire) ». 14. II.D – Etude d’un exemple. On consid\`ere la matrice $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -\sqrt{2} \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}$. En appliquant la m\’ethode d\’ecrite ci-dessus d\’eterminer $U \in O_3(\mathbb{R})$ et $S \in S^+_3(\mathbb{R})$ telles que $M=US$.} 15. III.A.1) Soient $A \in M_3(\mathbb{R})$ et $U \in O_3(\mathbb{R})$. D\’emontrer que $\|UA\| = \|AU\| = \|A\|$. En d\’eduire que, pour tout $A \in M_3(\mathbb{R})$, il existe une matrice $D$ diagonale \`a coefficients positifs telle que : $d(A, O_3(\mathbb{R})) = d(D, O_3(\mathbb{R}))$. 16. III.A.2) En d\’eduire que si $V$ est un sous-espace vectoriel de $M_3(\mathbb{R})$, il existe $W$ sous-espace vectoriel de $M_3(\mathbb{R})$ v\’erifiant :\\ • $\dim(W) = \dim(V)$\\ • $d(W, O_3(\mathbb{R})) = d(V, O_3(\mathbb{R}))$\\ • Il existe $D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) \in W$ o\`u les $\lambda_i$ sont dans $\mathbb{R}_+$, telle que $d(W, O_3(\mathbb{R})) = d(D, O_3(\mathbb{R}))$. 17. III.B.1) Soit $D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$, o\`u les $\lambda_i$ sont dans $\mathbb{R}_+$. Si $U \in O_3(\mathbb{R})$, montrer que $\|D – U\|^2 = (\sum_{i=1}^3 \lambda_i^2) – 2\langle U, D\rangle + 3$. 18. III.B.2) Si $U \in O_3(\mathbb{R})$, montrer que $\langle U, D \rangle \leq \sum_{i=1}^3 \lambda_i$. 19. III.B.3) En d\’eduire que $d(D, O_3(\mathbb{R})) = \|D – I_3\|$.} 20. III.C – Etude d’un exemple : Pour la matrice $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -\sqrt{2} \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}$ d\’efinie dans la question II.D, calculer la distance $d(M, O_3(\mathbb{R}))$. 21. IV.A.1) Soit $A \in V$. En consid\’erant les valeurs propres de $^tAA$, d\’emontrer l’in\’egalit\’e : $d(V, O_3(\mathbb{R})) > 1$. 22. IV.A.2) Calculer $d(I_3, V)$, puis en d\’eduire la valeur de $d(V, O_3(\mathbb{R}))$. 23. IV.B – Comparer $(D – I_3)^\perp$ et $V$. 24. IV.C – V\’erifier que $(R_1′(0), R_2′(0), R_3′(0))$ est une famille libre form\’ee de matrices orthogonales \`a $I_3 – D$. D\’emontrer qu’il existe $a, b, c \in \mathbb{R}$ non tous nuls tels que $aR_1′(0)+bR_2′(0)+cR_3′(0) \in V$. $a, b, c$ sont ainsi fix\’es pour la suite, et on pose $f : t \in \mathbb{R} \mapsto R_1(at) R_2(bt) R_3(ct)$.} 25. IV.D – D\’emontrer que $f$ a un d\’eveloppement limit\’e du type :\\ $f(t) = I_3 + tA + t^2(B + C) + t^2 \epsilon(t)$ avec $\epsilon(t) \xrightarrow[t \to 0]{} 0$ o\`u $A, B, C \in M_3(\mathbb{R})$ v\’erifient :\\ • $A \in V$ \\ • $B$ orthogonale \`a $I_3 – D$\\ • $C = \frac{1}{2}\mathrm{diag}(-a^2-b^2, -a^2-c^2, -b^2-c^2)$.\\ Dans la suite, $\epsilon$ est la fonction apparaissant dans ce d\’eveloppement limit\’e de $f$. 26. IV.E – Justifier que : $\|I_3 + t^2(B + C + \epsilon(t)) – D\| > \|I_3 – D\|$. 27. IV.F – \’Etablir que :\\ $\|I_3 + t^2(B + C + \epsilon(t)) – D\|^2 = \|I_3 – D\|^2 + 2 t^2 \langle I_3 – D, C \rangle + t^2 \epsilon_2(t)$\\ avec $\epsilon_2(t) \xrightarrow[t \to 0]{} 0$. Qu’en d\’eduire sur $\langle I_3 – D, C \rangle$ ? 28. IV.G – D\’emontrer que l’un au moins des trois r\’eels $2 – x – y$, $2 – y – z$, $2 – x – z$ est n\’egatif ou nul.\\ On suppose pour la suite, ce qui ne change rien, que $2 – x – y \leq 0$. 29. IV.H – D\’emontrer que $x^2 + y^2 + z^2 = x + y + z$.} 30. IV.I – Identifier g\’eom\’etriquement les ensembles suivants :\\ • $E = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 = x + y + z \}$,\\ • $F = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y = 2 \}$,\\ • $G = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y > 2 \}$ .,\\ Justifier que $E \cap F$ est un cercle dont on d\’eterminera le rayon. Quel est le diam\`etre de $E \cap G$ (c’est-\`a-dire la distance maximum entre deux de ses points) ? 31. IV.J – D\’emontrer que $d(V, O_3(\mathbb{R})) \leq 1$.}FAQ
Le sujet de mathématiques PSI Centrale 2008 aborde des notions clés de l’algèbre linéaire telles que les matrices orthogonales (O₃(ℝ)), la norme matricielle, la compacité, la continuité des applications, la distance entre un espace vectoriel et un compact, la décomposition polaire des matrices, ainsi que l’analyse des valeurs propres et les propriétés des matrices symétriques. On y retrouve également un volet géométrique avec l’étude d’ensembles et la distance d’une matrice à un ensemble d’orthogonaux. Ces notions sont fondamentales pour aborder avec sérénité le programme de mathématiques en classe préparatoire PSI.
La norme d’une matrice, souvent notée ||A||, mesure sa taille ou son ‘amplitude’, selon une définition choisie (dans le sujet, généralement la norme euclidienne associée au produit scalaire canonique sur M₃(ℝ)). Elle intervient pour comparer, estimer l’écart entre matrices, ou encore exprimer des notions topologiques (compacité, continuité, distance à un ensemble). En concours, savoir manier la norme, l’inégalité triangulaire et la continuité, c’est essentiel pour les questions de distance et de compacité. Si tu veux approfondir et t’entraîner sur des exercices corrigés, n’hésite pas à débloquer les corrigés sur Prépa Booster pour accéder à des explications détaillées.
Une matrice orthogonale A vérifie que AᵗA = I, où I est la matrice identité. Cela signifie que ses colonnes (et lignes) forment une base orthonormée. Les matrices orthogonales conservent les normes et produits scalaires, ce qui en fait des outils précieux pour les décompositions (comme la décomposition polaire) et pour l’étude des isométries (rotations, réflexions…). Savoir déterminer si une matrice appartient à O₃(ℝ) et utiliser ses propriétés, c’est indispensable en mathématiques de CPGE. Pour progresser sur ce type de questions, tu peux débloquer l’accès aux corrigés écrits détaillés et à ton dashboard personnalisé sur Prépa Booster !
La compacité d’O₃(ℝ), l’ensemble des matrices orthogonales 3×3, permet d’assurer l’existence d’un minimum ou d’un maximum pour une fonction continue définie sur ce groupe. Dans le sujet Centrale 2008, cette propriété garantit par exemple l’existence d’une matrice orthogonale ‘la plus proche’ d’une matrice donnée pour la norme considérée. C’est une idée clé en analyse matricielle et optimisation, que tu dois maîtriser pour les écrits scientifiques.
La décomposition polaire d’une matrice M ∈ M₃(ℝ) consiste à écrire M = US, où U est une matrice orthogonale et S une matrice symétrique définie positive (ou à valeurs propres positives). C’est un outil puissant qui relie transformations linéaires et géométrie euclidienne, très utile en physique, mécanique et mathématiques appliquées. Cette décomposition permet, par exemple, de séparer une transformation en une rotation et une déformation. C’est un classique des épreuves de concours, car elle mobilise de nombreux savoir-faire du cours et de la pratique matricielle.
La distance entre une matrice M et le groupe orthogonal O₃(ℝ) correspond au plus court chemin (pour la norme choisie) entre M et une matrice orthogonale. Autrement dit, c’est la plus petite des normes ||M – U|| quand U parcourt O₃(ℝ). Cette notion permet d’approximer une transformation non orthogonale par la plus proche orthogonale, ce qui a des applications en géométrie, optimisation et modélisation. Maîtriser ces questions de distance, c’est t’assurer un socle solide pour réussir dans ces épreuves exigeantes.
La continuité vient du fait que quand tu fais varier légèrement une matrice, sa norme ou sa distance à un ensemble comme O₃(ℝ) varie peu. Cette propriété est fondamentale pour garantir que certains arguments d’optimisation fonctionnent bien (existence de minimum, éventuellement atteints), et que les applications comme la distance sont manipulables analytiquement et topologiquement. De nombreux résultats du sujet Centrale 2008 reposent sur cette propriété essentielle.
Les ensembles définis par des équations quadratiques, comme E = { (x, y, z) ∈ ℝ³ | x² + y² + z² = x + y + z }, décrivent souvent des surfaces ou des intersections de surfaces : sphères, plans, cercles, ellipsoïdes… Pour les étudier, il faut savoir compléter le carré, calculer des intersections, déterminer des centres et rayons. Ce type de question demande rigueur, visualisation, et pratique sur l’analyse géométrique des ensembles de l’espace.
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