Questions du sujet
1. I.A.1) Soient $A$ et $B$ les deux matrices d’un même endomorphisme de $E$ rapporté à deux bases orthonormales. Montrer que $A$ et $B$ sont orthogonalement semblables. 2. I.A.2) Soit $u$ un endomorphisme de $E$ et $A$ sa matrice sur $B$, une base orthonormale de $E$. Établir un rapport entre l’appartenance de $u$ à $P(E)$ (resp. $N(E)$) et l’appartenance de $A$ à $P_n$ (resp. $N_n$). \\ Dans la suite du problème, on pourra exploiter ce rapport pour répondre à certaines questions. 3. I.A.3) Montrer que $S(E) \subset P(E)$ et que $A(E) \subset P(E)$. 4. I.B.1) Vérifier que $O(E) \subset P(E)$ et $O_n \subset P_n$. 5. I.B.2) Quelles sont les matrices triangulaires supérieures qui appartiennent à $P_n$ ? \\ En déduire que si $n \geq 2$, on a $P(E) \neq L(E)$.} 6. I.B.3) Soit $u$ admettant, sur une certaine base de $E$, une matrice triangulaire supérieure. Montrer qu’il existe une base orthonormale de $E$, telle que les matrices de passage de $B$ à $B’$ et de $B’$ à $B$ soient triangulaires supérieures. Montrer que la matrice de $u$ dans $B’$ est triangulaire supérieure. \\ En déduire les éléments qui sont trigonalisables. 7. I.B.4) On suppose que $u$ est un automorphisme de $E$ ; montrer que $u$ admet un polynôme annulateur $P$ tel que $P(0) \neq 0$. En déduire que $u^{-1}$ peut s’écrire comme un polynôme en $u$.\\ En déduire que $O(E) \subset P(E)$. 8. I.C.1) Montrer que si $A \in P_n$ et $A \neq 0$, alors il existe un unique polynôme réel que l’on note $P_A$, tel que $\deg P_A < \deg \pi_A$ et $P_A(A) = A^t$. \\ Si $A$ est la matrice nulle, on convient que $P_A$ est le polynôme nul. \\ Énoncer le résultat correspondant pour $u \in P(E)$. 9. I.C.2) Déterminer les matrices de $P_n$ pour lesquelles $P_A$ est un polynôme constant. 10. I.C.3) Déterminer les matrices de $P_n$ pour lesquelles $P_A$ est du premier degré. On rappelle que toute matrice carrée s’écrit comme somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique.} 11. I.C.4) Soient $A$ et $B$ deux matrices orthogonalement semblables. \\ Montrer que si $A \in P_n$ alors $B \in P_n$ et $P_B = P_A$. 12. I.D) Décrire les éléments de $A(E)$ et calculer les $P_A$ correspondants. 13. I.E.1) On suppose que $\pi_{A_1}$ et $\pi_{A_2}$ sont premiers entre eux. Montrer l’existence de deux polynômes $U$ et $V$ tels que : \[ P = P_{A_1}(A_1) \pi_{A_2}(A_2) - U \pi_{A_1}(A_1) + P_{A_2}(A_2) \pi_{A_1}(A_1) - V \pi_{A_2}(A_2) \] \noindent Calculer $P$ pour $A = \begin{pmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{pmatrix}$, $m$ entier positif quelconque, puis pour $m = 0$. \\ En déduire que $P_A = P_{A_1} + P_{A_2} \mod \pi_{A_1} \pi_{A_2}$. 14. I.E.2) Expliciter $P_A$ en fonction de $\pi_{A_1}$ et $\pi_{A_2}$. \\ Comment trouver $P$ connaissant $P_{A_1}, P_{A_2}, \pi_{A_1}, \pi_{A_2}$ et le polynôme défini par : $P = P_{A_1}(A_1) \pi_{A_2}(A_2) - U\pi_{A_1}(A_1)$ ? 15. I.F) Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. \\ Vérifier que $A \in P_4$ et calculer $P_A$ avec la méthode précédente.} 16. II.A) Montrer que si $u \in N(E)$ et $P \in \mathbb{R}[X]$ alors $P(u) \in N(E)$. 17. II.B) Soient $u \in N(E)$ et $x \in E$. Montrer que $u(x) \perp x$. En déduire que $u$ et $u^*$ ont le même noyau. 18. II.C.1) Comparer les déterminants de $f$ et $f^*$. En déduire que $m$ est pair. 19. II.C.2) On considère les applications $g$ et $h$ définies sur $\mathbb{R}^m$ par $g(x) = \|x\|^2$ et $h(x) = \|f(x)\|^2$ et l’application $q : U \subset \mathbb{R}^m \setminus \{0\} \to \mathbb{R}$ définie par $q(x) = \frac{\|f(x)\|^2}{\|x\|^2}$. \\ Montrer que $g$ et $h$ sont de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^m$ et que leurs différentielles en $x$ fixé sont les formes linéaires $g'(x) \cdot h = 2(x|h)$ et $h'(x) \cdot h = 2(f(x)|f(h))$. \\ Montrer que l’application $q$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^m \setminus \{0\}$ et déterminer sa différentielle en $x$, en calculant au moyen de produits scalaires et de normes. \\ On note $S = \{x \in \mathbb{R}^m \mid \|x\| = 1\}$. \\ Montrer que l’ensemble des valeurs prises par $q$ sur $S$ coïncide avec l’ensemble des valeurs prises par $q$ sur $\mathbb{R}^m \setminus \{0\}$. Montrer que la fonction $q$ admet un maximum sur $S$ et que ce maximum est atteint en un point $x_0$. \\ Montrer que, pour tout $h$, on a $(f(x_0)|f(h)) = q(x_0) (x_0 | h)$. En déduire que $\Pi = \operatorname{Vect}(x_0, f(x_0))$ est un plan stable par $f$. \\ Donner une base orthonormale de $\Pi$ et exprimer la matrice de $f$ relative à cette base. 20. II.C.3) Montrer qu’il existe une base orthonormale de $\mathbb{R}^m$ telle que : \[ M_B(f) = \begin{pmatrix} \tau_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \tau_2 & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \\ 0 & 0 & & \tau_{m/2} \end{pmatrix} \] avec $\tau_i = \begin{pmatrix} 0 & -b_i \\ b_i & 0 \end{pmatrix}$, $b_i \neq 0, i = 1,\ldots, m/2$.} 21. II.D.1) Montrer que $E_2$ est stable par $u$ et $u^*$. 22. II.D.2) Montrer que $u|_{E_1} \in N(E_1)$ et $u|_{E_2} \in N(E_2)$. 23. II.D.3) Montrer que si, en outre, $u \in N(E)$, alors $u|_{E_1} \in N(E_1)$ et $u|_{E_2} \in N(E_2)$. 24. II.E) Soient $u \in N(E)$ et $u^* \in N(E)$. Montrer que $uu^* \in N(E)$. En déduire que $u$ et $u^*$ ont les mêmes sous-espaces propres et que ceux-ci sont en somme directe orthogonale. \\ Si $\lambda$ est une valeur propre de $u$, on note $E_u(\lambda)$ le sous-espace propre associé. Soit $F$ le supplémentaire orthogonal du sous-espace : $F = E \ominus \bigoplus_{\lambda}$, où la somme porte sur l’ensemble des valeurs propres de $u$. \\ Montrer que $F$ est stable par $u$ et $u^*$. En considérant la restriction de $u$ à $F$, montrer que la dimension de $F$ ne peut être impaire. On notera $p$ tel que $\dim F = 2p$. 25. II.F.1) On suppose que $v$ est non nul. Soit $s = \frac{v + v^*}{2}$ et $a = \frac{v - v^*}{2}$. \\ Justifier que le polynôme caractéristique de $s$ est scindé. On le note : $\chi_s(X) = \prod_{i=1}^k (X - \lambda_i)^{n_i}$.} 26. II.F.2) Montrer que $s(o) = a(o) = o$. \\ Montrer qu’il existe une base orthonormale de $F$ telle que la matrice de $v$ dans $B'$ est diagonale par blocs : \\ avec, pour $i = 1, \ldots, k$, de la forme $M_i = \lambda_i I_{n_i} + A_i$, où $A_i$ est antisymétrique. 27. II.F.3) On suppose en outre que $v$ n’admet aucune valeur propre réelle. Montrer que les $A_i$ sont inversibles. 28. II.G) Montrer qu’il existe une base orthonormale de $E$ telle que : \[ M_B(u) = \begin{pmatrix} D & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \tau_1 & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \\ 0 & 0 & & \tau_p \end{pmatrix} \] avec $D$ matrice diagonale, et $\tau_i = \begin{pmatrix} a_i & -b_i \\ b_i & a_i \end{pmatrix}$, $b_i \neq 0$, $i = 1, \ldots, p$. 29. II.H) Donner une caractérisation des matrices $A \in N_n$. 30. II.I) Préciser la matrice obtenue dans II.G quand $D = 0$.} 31. III.A.1) Soit $\Delta$ une matrice réelle diagonale par blocs. Montrer que $A \in N_n$ si et seulement si $A^t = P(A)$, pour un certain polynôme $P$. 32. III.A.2) Donner les expressions de $P_A$, $\chi_A$ et $\pi_A$ pour une matrice $A = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$, où $b \neq 0$. \\ Montrer que $A \in N_n$ si et seulement si $P(a + ib) = a - ib$ et $P(a - ib) = a + ib$. 33. III.A.3) Montrer que $A \in N_n$ si et seulement si : \[ P(\lambda) = \lambda \quad \text{pour toute valeur propre réelle } \lambda \text{ de } A \] \[ P(z) = \overline{z} \quad \text{pour toute racine complexe non réelle } z \text{ de } \chi_A \] 34. III.A.4) Montrer qu’il existe $P \in \mathbb{C}[X]$, de degré minimal, vérifiant les conditions ci-dessus (sur $P(\lambda)$ et $P(z)$) et que ce polynôme est, en fait, à coefficients réels. \\ En déduire que $N_n = P_n$. 35. III.B) Montrer que le polynôme trouvé dans III.A.4 est, en fait, $P_A$. \\ Retrouver, avec la méthode précédente, le polynôme de la question I.F.} 36. III.C.1) Montrer que $J \in P_n$. \\ En déduire que toute matrice circulante appartient à $P_n$. 37. III.C.2) À toute matrice circulante non nulle $A$, on associe les polynômes $P(X) = \sum_{i=0}^{n-1} \alpha_i X^i$ et $Q(X) = \alpha_0 + \sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i X^{n-i}$.\\ Donner l’expression de $\pi_J$. Comparer $Q$ et le reste de la division euclidienne de $P$ par $\pi_J$. \\ En déduire les étapes d’une méthode de calcul de $P_A$. Détailler le calcul pour $A = C(1,1,0)$. 38. III.D) Soit $A = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ avec $b \neq 0$. \\ Montrer qu’il existe un entier $n \geq 3$ et une matrice $A$ telle que $A \in P_n$ si et seulement si $a_1^2 - 4a_0 a_2 \in [0, 4[$. \\ Indication : montrer que, si $a_0, a_1, a_2$ existent, $\chi_A$ admet au moins une racine réelle et exactement deux racines complexes, conjuguées l’une de l’autre.}FAQ
Deux matrices sont orthogonalement semblables si l’une peut être obtenue à partir de l’autre par conjugaison via une matrice orthogonale. Cette notion te permet de relier les propriétés d’un endomorphisme indépendamment de la base orthonormale choisie. Elle est centrale dans l’étude des transformations préservant le produit scalaire, très présente dans les sujets d’écrit du concours Centrale PSI. Maîtriser ce concept, c’est gagner en efficacité dans la résolution des problèmes matriciels du concours !
La symétrie et l’antisymétrie désignent la façon dont une matrice interagit avec sa transposée : une matrice symétrique vérifie A = A^T, une antisymétrique satisfait A = -A^T. Les matrices orthogonales, quant à elles, vérifient A^T = A^{-1}. Ces notions te permettent de classifier les endomorphismes selon leur comportement géométrique et de mieux comprendre leurs spectres et leur stabilité, connaissances incontournables pour résoudre les épreuves du concours Centrale en PSI.
Le polynôme caractéristique d’une matrice permet de trouver ses valeurs propres, tandis que le polynôme annulateur est un polynôme qui, appliqué à la matrice, donne la matrice nulle. Le polynôme minimal est le polynôme annulateur de degré minimal. Savoir bien distinguer ces trois notions est primordial pour traiter les questions liées à la diagonalisation, à la trigonalisabilité et à la recherche d’invariants, thèmes incontournables aux concours. Si tu veux t’entraîner efficacement sur ces grandes notions ou accéder à la correction complète de l’épreuve 2003, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster !
Reconnaître qu’une matrice est triangulaire supérieure, c’est repérer que tous les coefficients en-dessous de la diagonale sont nuls. Cela simplifie grandement les calculs de déterminant, d’inversion, ou de résolution de systèmes linéaires. Par ailleurs, la question de leur appartenance à certains sous-ensembles matriciels (symétriques, orthogonaux, etc.) teste ta connaissance des propriétés structurelles et des liens entre algèbre linéaire et géométrie. En t’entraînant sur Prépa Booster, tu pourras travailler spécifiquement ce type de questions de manière ciblée.
Les endomorphismes antisymétriques représentent, dans un espace euclidien, les rotations infinitésimales et sont toujours diagonalisables en blocs 2×2 de la forme rotation, après choix d’une base orthonormale adaptée. Ils jouent un rôle-clef dans la décomposition spectrale des applications linéaires et dans la compréhension de la structure interne de l’espace vectoriel. Les sujets du concours Centrale exploitent souvent cette notion pour aborder des questions de stabilité, de calculs de déterminants et de formes quadratiques.
Savoir si un sous-espace est stable par un endomorphisme permet de réduire la complexité du problème, voire d’appliquer des décompositions (somme directe, diagonalisation en blocs, etc.). C’est un atout majeur pour fractionner un exercice difficile en petites parties accessibles. De plus, l’adaptation astucieuse de la base (surtout orthonormale) permet très souvent de simplifier les calculs et de donner une interprétation géométrique précise. Ce sont des techniques incontournables en PSI, et tu retrouveras de nombreux corrigés illustrant cela sur Prépa Booster !