Questions du sujet
1. Donner sans démonstration le rayon de convergence et la somme de la série entière réelle $\sum_{n\geq 0} x^n$.
2. En déduire le rayon de convergence et la somme de la série entière réelle $\sum_{n\geq 0} nx^n$.
3. Pour $k \in \mathbb{N}$, montrer que la série entière $\sum_{n\geq 0} \binom{n}{k} x^n$ admet $1$ pour rayon de convergence et que, pour tout $x \in ]-1,1[$,
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{+\infty} \binom{n}{k} x^n = \frac{x^k}{(1-x)^{k+1}}.
\end{equation*}
4. Pour tout $k \in \mathbb{N}$, montrer que $f_k$ est définie sur $]-1,1[$, où $f_k: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \binom{n}{k} x^n$.
5. Soit $k \in \mathbb{N}$. Montrer que $(H_0, \ldots, H_k)$ est une base de $\mathbb{R}_k[X]$ et qu’il existe une unique famille $(\alpha_{k,0}, \ldots, \alpha_{k,k})$ dans $\mathbb{R}^{k+1}$ telle que $X^k = \sum_{j=0}^k \alpha_{k,j} H_j$.}
6. Pour $k \in \mathbb{N}$, donner les valeurs de $\alpha_{k,0}$ et $\alpha_{k,k}$.
7. Pour tout couple $(j, k) \in \mathbb{N}^2$ tel que $1 \leq j \leq k$, montrer que
$\alpha_{k,j} = j^k – \sum_{i=0}^{j-1} \binom{j}{i} \alpha_{k,i}$.
8. Écrire une fonction Python \verb|alpha| qui prend un couple d’entiers $(k, j)$ en paramètre et qui renvoie la valeur de $\alpha_{k,j}$. On supposera avoir accès à une fonction \verb|binome| telle que \verb|binome(n, k)| renvoie le coefficient binomial $\binom{n}{k}$.
9. Montrer que, pour tout $k \in \mathbb{N}$, il existe un unique polynôme réel $P_k$ tel que, pour tout $x \in ]-1, 1[$,
\[
f_k(x) = \frac{P_k(x)}{(1-x)^{k+1}}
\]
et que ce polynôme vérifie la relation
\[
P_k = \sum_{j=0}^k \alpha_{k,j} X^j (1-X)^{k-j}.
\]
10. À l’aide de la fonction Python \verb|alpha|, écrire une fonction Python \verb|P| qui prend l’entier $k$ en paramètre et qui renvoie la liste des coefficients de degré $0$ à $k$ de $P_k$.}
11. Montrer que, pour tout $k \in \mathbb{N}$, $P_{k+1} = X(1-X)P’_k + (k+1) X P_k$.
12. Calculer explicitement $P_2$ et $P_3$.
13. Déterminer, pour tout $k \in \mathbb{N}$, le degré de $P_k$ ainsi que son coefficient dominant.
14. Montrer que, pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ et pour tout $x \in ]0,1[$, $x^{k+1} P_k\left( \frac{1}{x} \right) = P_k(x)$.
15. En déduire, pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ et pour tout $j \in \llbracket 0, k \rrbracket$, un lien entre les coefficients de degré $j$ et $k+1-j$ de $P_k$.}
16. Déterminer $R$ et montrer que, pour tout $x \in ]-R, R[$,
\[
\sum_{n=0}^{+\infty} \binom{2n}{n} x^n = \frac{1}{\sqrt{1-4x}}.
\]
17. Montrer que, pour tout $x \in ]-R, R[ \setminus \{0\}$,
\[
\sum_{n=0}^{+\infty} \binom{2n}{n} \frac{x^n}{n+1} = \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}.
\]
18. En déduire que, pour tout $x \in ]-R, R[ \setminus \{0\}$,
\[
\sum_{n=0}^{+\infty} \left( \sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} \binom{2k}{k} \binom{2n-2k}{n-k} \right) x^n = \frac{1}{2x} \left( \frac{1}{\sqrt{1-4x}} – 1 \right).
\]
19. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$,
\[
\sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} \binom{2k}{k} \binom{2n-2k}{n-k} = \frac{1}{2} \binom{2n+2}{n+1}.
\]
20. Montrer que la série $\sum_{n\geq 1} \frac{nx^n}{1-x^n}$ converge pour $x \in ]-1,1[$ et que
\[
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{nx^n}{1-x^n} = \sum_{n=1}^{+\infty} \sum_{k=0}^{+\infty} n x^{n(1+k)}.
\]}
21. Montrer que la série $\sum_{p \geq 1} \frac{x^p}{(1-x^p)^2}$ converge et que sa somme est égale à celle de la série $\sum_{n\geq 1} \frac{n x^n}{1-x^n}$.
22. Montrer que l’on peut définir, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $u_n = n \sum_{k=n}^{+\infty} \frac{1}{k^3(k+1)}$.
23. Montrer que la série $\sum_{n\geq 1} u_n$ converge et calculer sa somme.
24. Montrer l’existence de $\sum_{i=0}^{+\infty} \sum_{j=0}^{+\infty} b_{i,j}$ où $b_{i,j} = \begin{cases}
0 & \text{si } i > j, \\
-1 & \text{si } i = j, \\
\frac{1}{2} & \text{si } i < j.
\end{cases}$ et calculer sa valeur.
25. Montrer l’existence de $\sum_{j=0}^{+\infty} \sum_{i=0}^{+\infty} b_{i,j}$ et calculer sa valeur, avec $b_{i,j}$ comme ci-dessus.}
26. A-t-on $\sum_{i=0}^{+\infty} \sum_{j=0}^{+\infty} b_{i,j} = \sum_{j=0}^{+\infty} \sum_{i=0}^{+\infty} b_{i,j}$ ?
27. Montrer l’existence de $\sum_{i=0}^{+\infty} \sum_{j=0}^{+\infty} c_{i,j}$ où $c_{i,j} = \begin{cases}
0 & \text{si } i > j, \\
j & \text{si } i = j, \\
-2i 3^{i-j} & \text{si } i < j.
\end{cases}$ et calculer sa valeur.
28. Soit $j \in \mathbb{N}$. Montrer que la série $\sum_{i\geq 0} c_{i,j}$ converge et que
\[
\sum_{i=0}^{+\infty} c_{i,j} = \frac{1}{2} 3^j - 1 3^{j-1}.
\]
29. Quelle est la nature de la série $\sum_{j\geq 0} \sum_{i=0}^{+\infty} c_{i,j}$ ?
30. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}^*$ suivant la loi géométrique de paramètre $p$ :
\[
\forall n \in \mathbb{N}^*,\ \mathbb{P}(X=n) = p(1-p)^{n-1}.
\]
Soit $Y$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, la loi conditionnelle de $Y$ sachant $[X=n]$ est la loi de Poisson de paramètre $n$ :
\[
\forall n \in \mathbb{N}^*,\, \forall k \in \mathbb{N},\, \mathbb{P}(Y=k | X=n) = e^{-n}\frac{n^k}{k!}.
\]
Déterminer la loi conjointe de $X$ et $Y$.}
31. Calculer $\mathbb{P}(Y=0)$ et montrer que, pour tout $k \in \mathbb{N}^*$,
\[
\mathbb{P}(Y=k) = p \cdot \frac{(1-p)}{k!} f_k\left(\frac{1-p}{e}\right),
\]
où $f_k$ est la fonction définie en I.B.
32. Vérifier que l’on a bien $\sum_{k=0}^{+\infty} \mathbb{P}(Y = k) = 1$.
33. Montrer que $Y$ admet une espérance finie et calculer cette espérance.
34. Montrer que $Y$ admet une variance et calculer cette variance.
35. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Exprimer $A_n$ à l’aide de la variable aléatoire $X_1+...+X_n$ et en déduire $\mathbb{P}(A_n)$.}
36. Montrer que les événements $(B_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ sont deux à deux incompatibles.
37. Montrer que $C$ est un événement et que $\mathbb{P}(C) = \sum_{n=1}^{+\infty} \mathbb{P}(B_n)$.
38. On pose $A_0 = \Omega$. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\mathbb{P}(A_n) = \sum_{k=1}^{n} \mathbb{P}(B_k)\mathbb{P}(A_{n-k})$.
39. À l’aide notamment de la formule (I.3), montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$,
\[
\mathbb{P}(B_n) = \frac{2}{n} \binom{2n-2}{n-1} \left( p(1-p) \right)^n.
\]
40. On suppose que $p \neq \frac{1}{2}$, montrer que $\mathbb{P}(C) = 1 - \sqrt{1-4p(1-p)}$ (on pourra utiliser la formule (I.2)).}
41. On suppose que $p=\frac{1}{2}$, montrer que $\mathbb{P}(C) = 1$.}