Questions du sujet
1. Montrer que ⟨⋅, ⋅⟩ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}_{n-1}[X]$.
2. Montrer que, pour tout $i$ et $k$ dans $\llbracket 1, n \rrbracket$,
$$L_i(a_k) =
\begin{cases}
1 & \text{si } k = i \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}$$
3. Montrer que, pour tout $i \in \llbracket 1, n \rrbracket$ et tout $P \in \mathbb{R}_{n-1}[X]$,
$$\langle L_i, P \rangle = P(a_i).$$
4. Montrer que la famille $(L_1, …, L_n)$ est une base orthonormée de $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ muni du produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$.
5. En déduire que, pour tout $P \in \mathbb{R}_{n-1}[X]$,
$$P = \sum_{i=1}^{n} P(a_i) L_i.$$}
6. Montrer que, pour tout polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $n – 2$,
$$\sum_{i=1}^{n} P(a_i) \prod_{\substack{j=1\\j \ne i}}^{n} (a_i – a_j) = 0.$$
7. En développant $(1 + x)^n$ pour deux réels $x$ bien choisis, montrer que
$$\sum_{p=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom{n}{2p} = 2^{n-1}.$$
8. Montrer que $T_n$ est un polynôme de degré $n$. Expliciter le coefficient dominant de $T_n$.
9. Montrer que $T_n$ est l’unique polynôme à coefficients réels vérifiant la relation
$$\forall \theta \in \mathbb{R},\ T_n(\cos(\theta)) = \cos(n\theta).$$
10. Pour $k \in \llbracket 1, n \rrbracket$, on pose $y_{k, n} = \cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right)$. Montrer que
$$T_n(X) = 2^{n-1} \prod_{k=1}^{n} (X – y_{k, n}).$$}
11. Montrer que $\displaystyle \sup_{x \in [-1,1]} |T_n(x)| = 1$. En déduire un polynôme unitaire de degré $n$ réalisant le cas d’égalité dans (I.2).
12. On pose $Q = \frac{1}{2^{n-1}} T_n – W$ et, pour tout $k \in \llbracket 0, n \rrbracket$, $z_k = \cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)$. Montrer que $Q$ est un polynôme de degré inférieur ou égal à $n-1$.
13. Dans cette question, on montre (I.2) par l’absurde.\\
— Si on suppose que $\sup_{x \in [-1, 1]} |W(x)| < \frac{1}{2^{n-1}}$, montrer que, pour tout $k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket$, $Q(z_k)Q(z_{k+1}) < 0$.\\
— En déduire une contradiction et conclure.
14. On suppose maintenant que $\sup_{x \in [-1,1]} |W(x)| = \frac{1}{2^{n-1}}$.\\
Montrer que, pour tout $k \in \llbracket 0, n \rrbracket$,
$$
Q(z_k) \prod_{\substack{j = 0\\ j \ne k}}^n (z_k - z_j) \geq 0.
$$
15. En déduire que $Q = 0$, puis que $W = \frac{1}{2^{n-1}} T_n$.\\
On pourra considérer la somme des inégalités de la question précédente et exploiter la question 6 appliquée à des données convenables.}
16. Soit $r$ une une fonction à valeurs réelles de classe $\mathcal{C}^{n}$ sur $I$ et s’annulant en $n+1$ points distincts de $I$. Montrer qu’il existe $c\in I$ tel que $r^{(n)}(c)=0$.
17. Soit $f$ une fonction à valeurs réelles de classe $\mathcal{C}^{n}$ sur $I$. Soit $P = \Pi(f)$ le polynôme interpolateur de $f$ associé aux réels $a_1, ..., a_n$, comme défini en (II.1) ci-dessus. Pour tout $x \in I$, montrer qu’il existe $c \in I$ tel que
$$
f(x) - P(x) = \frac{f^{(n)}(c)}{n!} W(x).
$$
Pour $x$ distinct des $a_i$, on pourra considérer la fonction $r$ définie sur $I$ par $r(t) = f(t) - P(t) - K W(t)$ où le réel $K$ est choisi de façon que $r(x) = 0$.
18. En déduire que
$$
\sup_{x \in [a,b]} |f(x) - P(x)| \leq M_n \frac{(b - a)^n}{n!}
$$
où $M_n = \sup_{x \in [a,b]} |f^{(n)}(x)|$.
19. Montrer que la suite $(P_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge uniformément vers $f$ sur $I$.
20. Montrer qu’il existe une suite de polynômes $(Q_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ qui converge uniformément vers $f$ sur $I$ et telle que, pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, la fonction $Q_n$ ne coïncide avec $f$ en aucun point de $I$, sauf peut-être en zéro :
$$
\forall n\in \mathbb{N}^*,\forall x\in I\setminus\{0\}, Q_n(x) \neq \exp(x)
$$}
21. Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ et que, pour tout $k$ dans $\mathbb{N}$ et tout $t \in ]-\pi/2, \pi/2[$,
$$
f^{(k)}(\tan t) = k! \cos^{k+1}(t)\, \cos((k+1)t + k \pi/2).
$$
22. Montrer que, si $a < \frac{1}{2}$, la suite de polynômes $(P_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge uniformément vers $f$ sur $[-a, a]$.
23. Montrer que $g$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $]-1,1[$ et que
$$
\forall j \in \mathbb{N},\; \forall x\in\, ]-1,1[,~ g^{(j)}(x)=\frac{j!}{(1-x)^{j+1}}.
$$
24. Soit $r \in\, ]0, R[$. Montrer qu’il existe $C \in \mathbb{R}$ tel que
$$
\forall k \in \mathbb{N},~ |c_k| \leq C r^{-k}.
$$
25. En déduire que pour tout $x\in\, ]-r, r[$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$,
$$
|f^{(n)}(x)| \leq n!~ C\, r\, (r-|x|)^{-(n+1)}.
$$}
26. On suppose que $a < R/3$. Montrer que la suite de polynômes $(P_n)_{n\in\mathbb{N}^*} = (\Pi_n(f))_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge uniformément vers $f$ sur $[-a, a]$.
27. Pour tout $x\in [-a, a]$, montrer que $|W_n^\ast(x)| \leq 2 \left(\frac{a}{2}\right)^n$.
28. On reprend dans cette question la fonction $f$ étudiée dans la section II.B.2 : $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$ pour $x \in \mathbb{R}$. Montrer que, si $a < 2$, la suite $(\Pi_n^\ast(f))_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge uniformément vers $f$ sur $[-a, a]$.
29. On reprend dans cette question la fonction $f$ somme de série entière étudiée dans la section II.B.3. Montrer que, si $a < \frac{2R}{3}$, la suite $(\Pi_n^\ast(f))_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge uniformément vers $f$ sur $[-a, a]$.
30. Montrer que $h_\alpha$ est une fonction continue décroissante intégrable sur $[0,1[$.}
31. Justifier que
$$
J_\alpha = \int_0^1 \ln(1-t) \, dt + \int_0^1 \ln(1+t)\, dt - \int_0^1 \ln(\alpha^2 + t^2) \, dt = 2\int_0^1 \ln(u)\, du - \int_0^1 \ln(\alpha^2 + t^2)\, dt.
$$
32. En déduire que
$$
J_\alpha = 2\ln(2) - \ln(1+\alpha^2) - 2\alpha \arctan\left(\frac1\alpha\right).
$$
33. Montrer qu’il existe $\gamma > 0$ tel que, pour tout $\alpha \in\, ]0, \gamma[$, $J_\alpha > 0$.
34. Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, montrer que
$$
\int_{1/2n}^{(2n-1)/2n} h_\alpha(t) \, dt + \frac1n h_\alpha\left(\frac{2n-1}{2n}\right) \leq S_n(h_\alpha) \leq \frac1n h_\alpha\left(\frac{1}{2n}\right) + \int_{1/2n}^{(2n-1)/2n} h_\alpha(t) \, dt.
$$
35. En déduire que la suite $(S_n(h_\alpha))_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge vers $J_\alpha$.}
36. Montrer que, pour $\alpha\in ]0,\gamma[$, la suite $\left(\left| \prod_{k=0}^{n-1}\frac{1-a_{k,n}^2}{\alpha^2+a_{k,n}^2} \right| \right)_{n\in\mathbb{N}^*}$ diverge vers $+\infty$.
37. Montrer que $R_n$ est un polynôme pair et déterminer $Q_n(\alpha i)$.
38. Montrer qu’il existe $\lambda_n\in \mathbb{R}$ tel que
$$
\forall x\in [-1,1],~ Q_n(x) = \lambda_n \prod_{k=0}^{n-1}(x^2 – a_{k,n}^2).
$$
39. En déduire que, pour tout $x\in [-1,1]$,
$$
f_\alpha(x) – R_n(x) = (-1)^n \frac{x^2+\alpha^2}{\prod_{k=0}^{n-1}(\alpha^2+a_{k,n}^2)}\prod_{k=0}^{n-1}(x^2-a_{k,n}^2).
$$
40. On suppose que $\alpha<\gamma$. Montrer que $$ \lim_{n \to +\infty} |f_\alpha(1) - R_n(1)| = +\infty. $$}