Questions du sujet
1. Déterminer $\mathcal{D}_\zeta$.
2. Montrer que $\zeta$ est continue sur $\mathcal{D}_\zeta$.
3. Étudier le sens de variation de $\zeta$.
4. Justifier que $\zeta$ admet une limite en $+\infty$.
5. Soit $x \in \mathcal{D}_\zeta$ et soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $n \geq 2$. Montrer :
\[
\int_n^{n+1} \frac{dt}{t^x} \leq \frac{1}{n^x} \leq \int_{n-1}^n \frac{dt}{t^x}.
\]
}
6. En déduire, que pour tout $x \in \mathcal{D}_\zeta$,
\[
1+\frac{1}{(x-1)2^{x-1}} \leq \zeta(x) \leq 1 + \frac{1}{x-1}
\]
7. Déterminer la limite de $\zeta(x)$ lorsque $x$ tend vers $1$ par valeurs supérieures.
8. Déterminer la limite de $\zeta(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
9. Donner l’allure de la courbe représentative de $\zeta$.
10. Déterminer $\mathcal{D}_f$.}
11. Montrer que $f$ est continue sur $\mathcal{D}_f$ et étudier ses variations.
12. Calculer $f(k)$.
13. En déduire un équivalent de $f$ en $+\infty$.
14. Pour tout $x \in \mathcal{D}_f$, vérifier que $x+k \in \mathcal{D}_f$, puis calculer $f(x+k) – f(x)$.
15. En déduire un équivalent de $f$ en $-k$. Quelles sont les limites à droite et à gauche de $f$ en $-k$ ?}
16. On considère la série entière de la variable réelle $x$ donnée par $\sum\limits_{k\in\mathbb{N}^\ast} (-1)^k \zeta(k+1)x^k$. Déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière. Y a-t-il convergence en $x = \pm R$~?
17. Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathcal{D}_f$ et calculer $f^{(k)}(x)$ pour tout $x \in \mathcal{D}_f$ et tout $k \in \mathbb{N}^\ast$.
18. Montrer qu’il existe $A \in \mathbb{R}_+^\ast$ tel que
\[
\forall k \in \mathbb{N}^\ast,\, \forall x \in ]-1,1[,\, \left| f^{(k)}(x) \right| \leq k! \left( A + \frac{1}{(x+1)^{k+1}} \right).
\]
19. En déduire que $f$ est développable en série entière sur $]-1,1[$ et que
\[
\forall x \in ]-1,1[,\, f(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^k \zeta(k+1) x^k
\]
20. Déterminer pour quels $x \in \mathbb{R}$ l’intégrale ci-dessous est convergente
\[
\int_0^1 \frac{t^x-1}{1-t} dt
\]
}
21. En remarquant que, pour tout $t \in [0,1[$,
\[
\frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n,
\]
montrer que
\[
\forall x \in ]-1, +\infty[,\, f(x) = \int_0^1 \frac{t^x-1}{1-t} dt
\]
22. Déduire des questions précédentes une expression intégrale de $\zeta(k+1)$ pour tout $k \in \mathbb{N}^\ast$.
23. Montrer enfin que
\[
\forall k \in \mathbb{N}^\ast,\, \zeta(k+1) = \frac{1}{k!} \int_0^{+\infty} \frac{u^k}{e^u-1} du
\]
24. Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $x > 1$. Montrer qu’on définit la loi de probabilité d’une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}^\ast$ en posant
\[
\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\quad \mathbb{P}(X = n) = \frac{1}{\zeta(x) n^x}
\]
On dira qu’une telle variable aléatoire $X$ suit la loi de probabilité zêta de paramètre $x$.
25. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $x$ pour que $X$ admette une espérance finie. Exprimer alors cette espérance à l’aide de $\zeta$.}
26. Plus généralement, pour tout $k \in \mathbb{N}$, donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $x$ pour que $X^k$ admette une espérance finie. Exprimer alors cette espérance à l’aide de $\zeta$.
27. En déduire la variance de $X$.
28. Montrer que, pour tout $a \in \mathbb{N}^\ast$, $\mathbb{P}(X \in a\mathbb{N}^\ast) = \frac{1}{a^x}$.
29. Montrer que les événements $(X \in q_1\mathbb{N}^\ast),\ldots,(X \in q_n\mathbb{N}^\ast)$ sont mutuellement indépendants.
30. Montrer que $\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}(B_n) = \mathbb{P}(X=1)$. En déduire que
\[
\forall x \in ]1, +\infty[,\, \frac{1}{\zeta(x)} = \lim_{n \rightarrow +\infty} \prod_{k=1}^n \left(1 – \frac{1}{p_k^x} \right)
\]
}
31. Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $x > 1$. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi de probabilité zêta de paramètre $x$. Soit $A$ l’événement « Aucun nombre premier ne divise $X$ et $Y$ simultanément ». Pour tout $n \in \mathbb{N}^\ast$, on note $C_n$ l’événement
\[
C_n = \bigcap_{k=1}^n \left( (X \notin p_k\mathbb{N}^\ast) \cup (Y \notin p_k\mathbb{N}^\ast) \right)
\]
Exprimer l’événement $A$ à l’aide des événements $C_n$. En déduire que
\[
\mathbb{P}(A) = \frac{1}{\zeta(2x)}
\]
32. Soient $U_n$ et $V_n$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\llbracket 1,n \rrbracket$. On note $W_n = U_n \wedge V_n$.
Pour tout $k \in \mathbb{N}^\ast$, montrer que
\[
\mathbb{P}(W_n \in k\mathbb{N}^\ast) = \left(\frac{\lfloor n/k\rfloor}{n}\right)^2
\]
33. On admet que, pour tout $k \in \mathbb{N}^\ast$, la suite $\left(\mathbb{P}(W_n = k)\right)_{n\in\mathbb{N}^\ast}$ converge vers un réel $\ell_k$. Montrer que
\[
\forall \epsilon >0,\, \exists M \in \mathbb{N}^\ast\, \text{tel que}\, \forall m \in \mathbb{N}^\ast,\, m \geq M \implies 1-\epsilon \leq \sum_{k=1}^m \ell_k \leq 1
\]
34. En déduire que $(\ell_k)_{k\in\mathbb{N}^\ast}$ définit une loi de probabilité sur $\mathbb{N}^\ast$.
35. Préciser la loi de $W$. En considérant $\ell_1$, que peut-on alors en conclure ?}