Questions du sujet
1. I.A.1)\newline a) Étudier les variations de $\varphi$.\newline b) Tracer la représentation graphique de $\varphi$.\newline c) Montrer que $\varphi$ est $\mathcal{C}^\infty$.\newline d) Montrer que $\mathcal{D}$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ non réduit à $\{0\}$. 2. I.A.2) Montrer que la fonction dérivée de tout élément de $\mathcal{D}$ est un élément de $\mathcal{D}$. 3. I.A.3)\newline a) Montrer que $\displaystyle\int_{\mathbb{R}} \varphi(t)\mathrm{d}t$ est un réel strictement positif.\newline b) Pour tout réel $x$, on pose $\theta(x) = \dfrac{\varphi(x)}{\int_{\mathbb{R}} \varphi(t)\mathrm{d}t}$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\rho_n(x) = n\theta(nx)$.\newline Montrer que\newline $\forall n \in \mathbb{N}^*,\quad \int_{\mathbb{R}} \rho_n(x)\mathrm{d}x = 1$.\newline Pour toute fonction $f$ appartenant à $\mathcal{F}_{uu}$ et tout entier naturel non nul $n$, on pose\newline $(f\ast \rho_n)(x) = \int_{\mathbb{R}} f(t)\rho_n(x-t)\mathrm{d}t$. 4. I.A.4) Soit $f$ une fonction appartenant à $\mathcal{F}_{uu}$. Montrer que la fonction $f\ast \rho_n$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$. 5. I.A.5) Soit $I$ la fonction qui vaut 1 sur l’intervalle $[-1,1]$, et 0 ailleurs. Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $I_n(x) = I\ast\rho_n(x)$.\newline a) Pour $n\in\mathbb{N}^*$ et $x\in\mathbb{R}$, exprimer $I_n(x)$ en fonction de $\varphi$.\newline b) Pour $n \in \mathbb{N}^*$, montrer que $I_n$ appartient à $\mathcal{D}$ et étudier ses variations.\newline c) Représenter graphiquement $I_2$ et $I_3$.\newline d) Montrer que la suite de fonctions $(I_n)$ converge simplement vers une fonction $J$ que l’on déterminera. Montrer que $J$ et $I$ sont égales sauf sur un ensemble fini de points.\newline e) La suite de fonctions $(I_n)$ converge-t-elle uniformément vers $J$?\newline } 6. I.B.1) Montrer que $\mathcal{S}$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$. 7. I.B.2) Montrer que si $f$ est dans $\mathcal{S}$ alors $f^{(p)}$ est dans $\mathcal{S}$ pour tout entier naturel $p$. 8. I.B.3) Montrer que si $P$ est une fonction polynôme et si $f$ est dans $\mathcal{S}$, alors $Pf$ appartient à $\mathcal{S}$. 9. II.A.1) Montrer que si $f \in \mathcal{F}_{uu}$ alors l’application $T_f$ définie par\newline $\forall \varphi \in \mathcal{D}\qquad T_f(\varphi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\varphi(x)\mathrm{d}x$\newline définit une distribution sur $\mathcal{D}$. 10. II.A.2) Soit $U$ la fonction définie par\newline $\left\{\begin{array}{ll} U(x) = 1 & \text{si } x \geq 0\\ U(x) = 0 & \text{si } x < 0 \end{array}\right.$\newline Justifier que $U$ définit une distribution sur $\mathcal{D}$.} 11. II.A.3) Soit $a$ un nombre réel.\newline a) Montrer que l’application $\delta_a$ qui à tout $\varphi \in \mathcal{D}$ associe $\varphi(a)$ est une distribution.\newline b) En utilisant la suite de fonctions $(\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ d’éléments de $\mathcal{D}$ définie par\newline $\forall t\in\mathbb{R},\qquad \varphi_n(t) = \begin{cases} \exp\left(\frac{(t-a)^2}{(t-a+\frac{1}{n})(t-a-\frac{1}{n})}\right) & \text{si } t\in ]a-\frac{1}{n},a+\frac{1}{n}[\\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$\newline montrer que $\forall f \in \mathcal{F}_{uu},\quad T_f \neq \delta_a$. 12. II.B.1) Justifier que $T'$ est une distribution sur $\mathcal{D}$. 13. II.B.2) Soit $f$ une fonction continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$, montrer que $(T_f)' = T_{f'}$. Adapter ce résultat au cas où $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux. 14. II.B.3) Montrer que $T'_f = \delta_0$. 15. II.B.4) On considère l’application $T$ qui à toute fonction $\varphi$ de $\mathcal{D}$ associe le nombre réel $T(\varphi)$ défini par\newline $T(\varphi) = \int_{-1}^0 t\varphi(t)\mathrm{d}t + \int_0^{+\infty} \varphi(t)\mathrm{d}t$\newline a) Montrer que $T$ est une distribution régulière.\newline b) Calculer la dérivée de cette distribution.} 16. II.B.5) Si $f$ est un élément de $\mathcal{F}_{uu}$ et si $a$ est un réel, on pose\newline $\lim_{x\to a^-} f(x) = f(a^-)$ et $\lim_{x\to a^+} f(x) = f(a^+)$\newline La différence $f(a^+)-f(a^-)$, appelée saut en $a$, est notée $\sigma(a)$.\newline a) Soient $a_1,\ldots,a_n$ des réels tels que $a_1<\cdotsFAQ
Pour étudier les variations de φ, tu dois d’abord calculer sa dérivée φ’. Ensuite, tu analyses le signe de cette dérivée pour déterminer les intervalles où φ est croissante ou décroissante. N’oublie pas de vérifier les points critiques où la dérivée s’annule ou n’existe pas. Si tu veux voir un exemple concret, débloque les corrigés pour accéder à la résolution détaillée de cette question !
Montrer qu’une fonction est C∞ (indéfiniment dérivable) est crucial car cela permet d’utiliser des outils d’analyse avancés comme les développements limités ou les séries de Taylor. Dans ce sujet, cela justifie aussi l’utilisation de la convolution avec des fonctions tests, un concept clé en théorie des distributions. Tu peux approfondir cette notion en consultant les exercices corrigés sur Prépa Booster.
L’espace 𝒟 est l’espace des fonctions tests, c’est-à-dire des fonctions C∞ à support compact. C’est un espace vectoriel car il est stable par combinaison linéaire. Dans ce sujet, on te demande de montrer qu’il n’est pas réduit à {0}, ce qui signifie qu’il existe des fonctions non nulles vérifiant ces propriétés. C’est la base pour définir les distributions, qui sont des formes linéaires sur 𝒟.
Pour montrer qu’une fonction f est dans 𝒮, tu dois vérifier que pour tout entier naturel p et q, la fonction x ↦ x^p f^(q)(x) est bornée sur ℝ. Cela signifie que f et toutes ses dérivées décroissent plus vite que toute puissance de x à l’infini. C’est une propriété essentielle pour l’analyse de Fourier et les distributions tempérées.
Une distribution régulière est une distribution qui peut s’écrire comme l’intégrale d’une fonction localement intégrable. Par exemple, si f est une fonction de 𝒮, alors T_f(φ) = ∫ f(x)φ(x) dx définit une distribution régulière. Dans le sujet, tu verras que certaines distributions ne sont pas régulières, comme la distribution de Dirac δ_a.
La convergence simple d’une suite de fonctions (I_n) signifie que pour tout x fixé, la suite (I_n(x)) converge vers une limite J(x). Dans ce sujet, tu dois montrer que cette convergence a lieu presque partout, sauf éventuellement sur un ensemble fini de points. C’est une notion importante en analyse, mais attention, elle n’implique pas la convergence uniforme !
La convergence simple est une convergence point par point, alors que la convergence uniforme exige que la vitesse de convergence soit la même pour tous les points. Dans ce sujet, tu verras que (I_n) converge simplement vers I, mais pas uniformément. C’est un piège classique aux concours : ne pas confondre ces deux notions !
La dérivée d’une distribution T_U est définie par T’_U(φ) = -T_U(φ’). Pour la fonction de Heaviside U, on trouve que T’_U est la distribution de Dirac δ_0. C’est un résultat fondamental en théorie des distributions, qui généralise la notion de dérivée aux fonctions discontinues.
Une fonction C¹ par morceaux est une fonction continue, dérivable par morceaux, avec une dérivée continue sur chaque morceau. C’est important car cela permet de définir sa dérivée au sens des distributions, en tenant compte des sauts aux points de discontinuité de la dérivée. Dans le sujet, tu verras comment cela intervient dans le calcul de T’_f.
Pour montrer que T_f ≠ δ_a, on utilise une suite de fonctions (φ_n) de 𝒟 qui converge vers δ_a au sens des distributions. L’idée est de construire φ_n telle que T_f(φ_n) ne converge pas vers f(a), ce qui prouve que T_f ne peut pas être égale à δ_a. C’est une technique subtile mais puissante en théorie des distributions.