Questions du sujet
1. I.A – Démontrer que les valeurs propres réelles de $A$ sont dans $R(A)$. 2. I.B.1) Démontrer que les éléments $a_{ii}$ ($1 \leq i \leq n$) de la diagonale de $A$ sont dans $R(A)$. 3. I.B.2) En considérant la matrice $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ montrer que les éléments $a_{ij}$ avec $i \neq j$ ne sont pas nécessairement dans $R(A)$. 4. I.C.1) Démontrer que $X_1$ et $X_2$ sont linéairement indépendants. 5. I.C.2) On pose $X_\lambda = \lambda X_1 + (1 – \lambda) X_2$ pour $0 \leq \lambda \leq 1$.\\ Démontrer que la fonction $\varphi : \lambda \mapsto \dfrac{^t X_\lambda A X_\lambda}{\| X_\lambda \|^2}$ est définie et continue sur l’intervalle $[0, 1]$.} 6. I.C.3) En déduire que le segment $[a, b]$ est inclus dans $R(A)$. 7. I.D – Démontrer que si $\operatorname{Tr}(A) = 0$ alors $0 \in R(A)$. 8. I.E – Soit $Q$ une matrice orthogonale réelle. Démontrer que $R(A) = R(^t Q A Q)$. 9. I.F.1) Démontrer que la condition (C2) implique la condition (C1). 10. I.F.2) On suppose que $x \in R(A)$.\\ Démontrer qu’il existe une matrice $Q_1$ orthogonale telle que $^t Q_1 A Q_1 = \begin{pmatrix} x & L \\ C & B \end{pmatrix}$ où $B$ est une matrice de format $(n-1, n-1)$ ($B \in M_{n-1}(\mathbb{R})$), $C$ un vecteur colonne à $n-1$ éléments ($C \in M_{n-1,1}(\mathbb{R})$) et $L$ un vecteur ligne à $n-1$ éléments ($L \in M_{1,n-1}(\mathbb{R})$).} 11. I.F.3) Démontrer que si la matrice $A$ est symétrique il en est de même pour la matrice $B$ ci-dessus. 12. I.F.4) Démontrer que $\operatorname{Tr}(A) = \operatorname{Tr}(^t Q_1 A Q_1)$. 13. I.F.5) En déduire que si $A$ est symétrique, la condition (C1) implique la condition (C2).\\ On pourra raisonner par récurrence sur $n$. 14. II.A – Démontrer que $R(A) = [\lambda_1, \lambda_2]$. 15. II.B.1) Caractériser les conditions sur les $\lambda_i$ pour lesquelles cet ensemble est :\\ a) vide ;\\ b) la réunion de deux droites ;\\ c) une ellipse ;\\ d) une hyperbole.} 16. II.B.2) Représenter sur une même figure les ensembles $\Gamma$ obtenus pour $A$ diagonale avec $\lambda_1 \in \{-4, -1, 0, 1/4, 1\}$ et $\lambda_2 = 1$. 17. II.C – Démontrer que $\operatorname{Tr}(AB) \leq \lambda_1 \mu_1 + \lambda_2 \mu_2$.\\ On pourra utiliser une matrice $P$ orthogonale telle que $^t P B P$ soit une matrice diagonale, pour obtenir $^t P A P = A’_{} = (a’_{ij})$ avec $\operatorname{Tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 = a’_{11} + a’_{22}$. 18. II.D.1) Démontrer que $\det(A) > 0$. 19. II.D.2) Démontrer que $^t X A X > 0$ pour tout vecteur $X$. 20. II.D.3) Démontrer que $a > 0$ et $d > 0$.} 21. II.D.4) Soit $S \in M_2(\mathbb{R})$ symétrique. Démontrer que :\\ $S > 0$ si et seulement si $(\operatorname{Tr}(S) > 0$ et $\det(S) > 0)$ 22. II.E.1) En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz aux vecteurs $(b_1, \sqrt{\det A})$ et $(b_2, \sqrt{\det B})$, démontrer que $b_1 b_2 \leq \sqrt{a_1 a_2 d_1 d_2} – \sqrt{\det A \det B}$ 23. II.E.2) En calculant $\det (A+B) – \det A – \det B$, en déduire que $\det(A+B) > \det(A) + \det(B) + 2\sqrt{\det(A)\det(B)}$ 24. II.F.1) Démontrer que l’on a l’égalité dans la formule de la question II.E.2 si et seulement si les vecteurs $(a_1, d_1)$ et $(a_2, d_2)$ sont liés, ainsi que les vecteurs $(b_1, \sqrt{\det A})$ et $(b_2, \sqrt{\det B})$. 25. II.F.2) Démontrer alors que l’on a l’égalité dans la formule de la question II.E.2 si et seulement si les matrices $A$ et $B$ sont proportionnelles $(A = \lambda B$ pour un $\lambda \in \mathbb{R},\ \lambda > 0)$.} 26. II.G – On considère la relation suivante sur l’ensemble des matrices symétriques réelles de format $(2,2)$ : on dit que $S \leq S’$ si et seulement si la matrice symétrique $S’ – S$ vérifie $S’ – S > 0$.\\ Démontrer que la relation $\leq$ ci-dessus est bien une relation d’ordre sur les matrices symétriques réelles de format $(2,2)$. 27. II.H.1) Démontrer que pour tout vecteur $X$, la suite $(^t X A_n X)_{n \geq 0}$ est croissante majorée. 28. II.H.2) Démontrer que les suites $(a_n)_{n\geq 0}$ et $(d_n)_{n\geq 0}$ sont croissantes majorées. 29. II.H.3) En considérant le vecteur $X = (1,1)$, démontrer que la suite de matrices $(A_n)_{n \geq 0}$ est convergente dans $M_2(\mathbb{R})$, c’est-à-dire que les suites $(a_n)_{n\geq 0}, (b_n)_{n\geq 0}$ et $(d_n)_{n\geq 0}$ sont convergentes dans $\mathbb{R}$. 30. III.A – Soit $A$ une matrice symétrique définie positive.\\ Démontrer qu’il existe une matrice inversible $Y$ telle que $A = ^t Y Y$.} 31. III.B – Soient $A$ une matrice symétrique définie positive et $B$ une matrice symétrique.\\ Démontrer qu’il existe une matrice inversible $T$ telle que :\\ $^t T A T = I_n$ et $^t T B T = D$\\ où $I_n$ désigne la matrice identité et $D$ une matrice diagonale. 32. III.C.1) Soient $A$ et $B$ deux matrices symétriques définies positives.\\ Démontrer que : $\det(I_n + B) > 1 + \det B$. 33. III.C.2) En déduire que : $\det(A + B) > \det A + \det B$. 34. III.D – Soient $x$ un nombre réel strictement positif, $\beta$ un nombre réel tel que $0 < \beta < 1$.\\ Démontrer que : $x^\beta \leq \beta x + 1 - \beta$. 35. III.E – Soient $A$ et $B$ deux matrices symétriques définies positives, $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels $> 0$ tels que $\alpha + \beta = 1$ ; démontrer que :\\ $\det(\alpha A + \beta B) \geq (\det A)^\alpha (\det B)^\beta$} 36. III.F – Pour $1 \leq i \leq k$, soient $A_i$ des matrices symétriques définies positives et $\alpha_i$ des nombres strictement positifs tels que $\alpha_1 + \cdots + \alpha_k = 1$. Démontrer que\\ $\det(\alpha_1 A_1 + \cdots + \alpha_k A_k) \geq (\det A_1)^{\alpha_1} \cdots (\det A_k)^{\alpha_k}$\\ On pourra raisonner par récurrence sur $k$.}FAQ
Le sujet porte essentiellement sur les matrices réelles carrées, en particulier les matrices symétriques et les matrices définies positives. On y rencontre aussi des questions sur les valeurs propres, la diagonalisation, la réduction orthogonale, les matrices orthogonales, les ellipses et hyperboles liées à l’étude géométrique, et l’inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée à ce contexte matriciel. Tout cela constitue le socle d’un bon niveau en algèbre linéaire pour un centralien en puissance !
Une matrice symétrique est égale à sa transposée. Elle est dite définie positive si, pour tout vecteur non nul X, le produit scalaire matriciel ^tXA X est strictement positif. Cette propriété assure que toutes ses valeurs propres sont réelles et strictement positives. Dans le sujet, cette notion permet de garantir la possibilité de diagonaliser la matrice via une base orthogonale et intervient dans la preuve des inégalités comme celles sur les déterminants ou dans le théorème de réduction simultanée de deux matrices – des classiques du programme de prépa !
Les valeurs propres déterminent beaucoup de propriétés d’une matrice : stabilité, invariance de certains sous-espaces, diagonalisation possible, classification des coniques associées… Elles permettent souvent une simplification drastique des calculs, et sont aussi à la base de raisonnement majeurs comme ceux menés dans ce sujet (inclusions d’intervalles de spectres, étude des formes quadratiques et optimisation). C’est le genre de notions que tu dois absolument manipuler avec aisance !
Dans le cadre matriciel, l’inégalité de Cauchy-Schwarz est utilisée pour encadrer des quantités impliquant des matrices symétriques définies positives, souvent sous la forme de produits ou combinaisons linéaires de matrices et de leurs déterminants. Elle intervient ici pour prouver des relations entre les déterminants ou des inégalités sur les produits scalaires, permettant de faire le lien avec des questions d’optimisation ou de géométrie (ellipses, hyperboles…). C’est une généralisation et un outil très puissant, à maîtriser absolument pour les épreuves d’écrits et d’oraux.
Pour réussir ce type de sujet, il faut être à l’aise avec les propriétés des matrices, l’algèbre bilinéaire et la géométrie des espaces vectoriels réels. Relis tes théorèmes classiques : nature des valeurs propres, diagonalisation, réduction des formes quadratiques, inégalités fondamentales. Savoir exploiter les matrices orthogonales pour simplifier les situations, utiliser la récurrence sur la taille des matrices et bien manipuler les déterminants sont des compétences clés. Pour t’entraîner ou comparer ta rédaction, tu peux débloquer les corrigés sur Prépa Booster : tu y trouveras des corrections détaillées, des exercices types et un dashboard pour piloter ta progression !