Questions du sujet
1. I.A.1) Montrer que $p$ est une application linéaire. Déterminer la matrice de $p$ relativement aux bases canoniques de $\mathbb{R}^3$ et $\mathbb{R}^2$. Déterminer le noyau et l’image de $p$. 2. I.A.2) Représenter sur un même dessin les images par $p$ des vecteurs de la base canonique de $\mathbb{R}^3$. Ce dessin donne une représentation en perspective de la base formée par ces trois vecteurs. 3. I.B) Pour cette seule question, on introduit l’endomorphisme $p$ de $\mathbb{R}^3$ qui au vecteur-colonne $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ associe $\begin{pmatrix} x-\alpha z \\ y-\beta z \\ 0 \end{pmatrix}$. Interpréter géométriquement $p$ grâce à $p$ (on pourra former $p\circ p$). Est-il vrai que $p(X)\neq X$ pour tout vecteur $X\in\mathbb{R}^3$ ? 4. I.C.1) Soit $M_0$ un point et $\vec{u}$ un vecteur de $\mathbb{R}^3$. On considère la droite affine $D = M_0 + \mathbb{R} \vec{u} = \{ M_0 + \lambda \vec{u} \}$. Montrer que $p(D) = p(M_0) + \mathbb{R} p(\vec{u})$. 5. I.C.2) Soit $D$ une droite affine de $\mathbb{R}^3$. Montrer que son image par $p$ est une droite affine ou est réduite à un point, en discutant selon un vecteur directeur de $D$.} 6. I.C.3) Soient $D$ et $D’$ deux droites affines de $\mathbb{R}^3$ dont les images par $p$ sont des droites affines de $\mathbb{R}^2$. \begin{itemize} \item[a)] Si $D$ et $D’$ sont sécantes, montrer que leurs images par $p$ le sont aussi. La réciproque est-elle vraie ? \item[b)] Si $D$ et $D’$ sont parallèles, montrer que leurs images par $p$ le sont aussi. La réciproque est-elle vraie ? \end{itemize} 7. I.C.4) Soit $\Pi$ un plan affine de $\mathbb{R}^3$. Discuter la nature de $p(\Pi)$ suivant $\vec{\nu}$ et $\Pi$. 8. I.D.1) Montrer que l’ensemble des $X\in\mathbb{R}^3$ tels que $q(X)=0$ est la réunion de deux plans $\Pi_1$ et $\Pi_2$ que l’on caractérisera par leurs équations cartésiennes. En déduire que les plans affines parallèles à l’un ou l’autre de ces deux plans sont représentés en vraie grandeur par $p$. 9. I.D.2) \begin{itemize} \item[a)] Montrer, en le déterminant, qu’il existe un unique endomorphisme autoadjoint $u$ de $\mathbb{R}^3$, tel que $q(X) = \langle u(X), X \rangle$ pour tout $X\in\mathbb{R}^3$. \item[b)] Déterminer le polynôme caractéristique $\chi_u$ de $u$ puis le signe des valeurs propres non nulles de $u$. \end{itemize} 10. I.E.1) Soit $P$ un plan vectoriel de $\mathbb{R}^3$ ; montrer qu’il existe une base orthonormale $\mathcal{B}$ de $\mathbb{R}^3$ dont les deux premiers vecteurs soient dans $P$.} 11. I.E.2) Soit $u_0$ un endomorphisme autoadjoint de $\mathbb{R}^3$ ; on pose $q_0(X) = \langle u_0(X), X \rangle$ pour tout $X\in\mathbb{R}^3$, on suppose qu’il existe $P$, plan vectoriel de $\mathbb{R}^3$, tel que $q_0(X)=0$ pour tout $X\in P$ et, $P$ étant supposé choisi, on choisit $\mathcal{B}$ comme dans la question I.E.1. Montrer que la matrice de $u_0$ relativement à $\mathcal{B}$ est de la forme $M = \begin{pmatrix} 0&0&a\\0&0&b\\a&b&c \end{pmatrix}$. 12. I.E.3) Si $(a, b) \neq (0,0)$, montrer que l’ensemble des $X\in\mathbb{R}^3$ tels que $q_0(X) = 0$ est la réunion de deux plans puis étudier le signe des valeurs propres non nulles de $u_0$. 13. I.E.4) Discuter le rang de $u_0$ en fonction de $(a, b, c)$. 14. II.A.1) Soit $\xi = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2$. Montrer que l’image réciproque $p^{-1}(\{\xi\})$ est la droite affine $D_\xi$ passant par le point $\begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}$ et de vecteur directeur $\vec{\nu}$. En conclure que $\xi \in p(S) \Leftrightarrow S \cap D_\xi \neq \varnothing$ et que cela équivaut à dire que l’équation en $t$ $(x + t\cos\theta)^2 + (y + t\sin\theta)^2 + t^2 – R^2 = 0$ admet au moins une racine réelle. 15. II.A.2) En déduire que $p(S)$ est définie par l’inéquation $\Phi(x, y)\leq 2R^2$, où l’on a posé $\Phi(x, y) = 2(x^2+y^2)-(x\cos\theta + y\sin\theta)^2$. On désigne par $E$ la partie de $\mathbb{R}^2$ d’équation $\Phi(x, y)-2R^2=0$.} 16. II.A.3) \begin{itemize} \item[a)] On considère le repère affine $R_0$ déduit du repère canonique $R$ de $\mathbb{R}^2$ par la rotation d’angle $\theta$ autour de l’origine. Soit $M$ un point de $\mathbb{R}^2$ de coordonnées $(x, y)$ dans $R$ et de coordonnées $(x_0, y_0)$ dans $R_0$. Déterminer $x_0$ et $y_0$ en fonction de $x$ et $y$. \item[b)] Montrer que $E$ est une ellipse et donner son équation cartésienne dans $R_0$. \item[c)] Indiquer les éléments remarquables de $E$ : axe focal, demi-longueur des axes et excentricité. Montrer que les foyers de $E$ sont les points $F$ et $F’$ dont les coordonnées relatives à $R_0$ sont respectivement $(R_0, 0)^T$ et $(-R_0, 0)^T$. \item[d)] Déterminer une inéquation de $p(S)$ dans le repère $R_0$ et en déduire que $p(S)$ est le domaine borné limité par $E$. Représenter enfin $p(S)$ soigneusement dans le repère $R_0$. \end{itemize} 17. II.B.1) Montrer, en le déterminant, que tout élément $\xi\in E$ ne possède qu’un seul antécédent par $p$ dans $S$. Indication : On pourra déterminer $t_0\in\mathbb{R}$ tel que $\pi(\xi) = \xi + t_0\vec{\nu}$. Cet antécédent sera noté $\pi(\xi)$ et on désignera par $\Sigma$ l’ensemble des $\pi(\xi)$, lorsque $\xi$ décrit $E$. 18. II.B.2) Pour chaque $\xi = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in E$, calculer $\langle \pi(\xi), \vec{\nu} \rangle$ et en déduire que $\Sigma$ est inclus dans $P_0$, le plan vectoriel orthogonal à $\vec{\nu}$. 19. II.B.3) Réciproquement, soit $X \in S$ tel que $\langle \vec{\nu}, X \rangle = 0$. Montrer que $p(X)\in E$. Indication : On pourra calculer $\Phi(p(X))$ ou s’aider d’un dessin. Conclure quant à la nature de $\Sigma$. La représentation de $\Sigma$ par $p$ est-elle en vraie grandeur ? Quelle conclusion peut-on en tirer en terme de représentation cavalière d’une sphère ? 20. II.C.1) Montrer que la restriction $p_0$ de $p$ à $P_0$ est une bijection de $P_0$ sur $\mathbb{R}^2$. On en notera $p_1$ la bijection réciproque.} 21. II.C.2) Soit $\sigma$ une application linéaire de $P_0$ sur lui-même, supposée involutive, c’est-à-dire vérifiant $\sigma \circ \sigma = \text{Id}_{P_0}$. \begin{itemize} \item[a)] Montrer que $s = p_0 \circ \sigma \circ p_1$ est une involution linéaire de $\mathbb{R}^2$ sur lui-même. \item[b)] Comment obtient-on les sous-espaces propres de $s$ en fonction de ceux de $\sigma$ ? \item[c)] Montrer que $s$ laisse stable $E$ si, et seulement si, $\sigma$ laisse stable $\Sigma$. \end{itemize} 22. III.A) On suppose donné un intervalle ouvert $I$ non vide et un arc $\Gamma$ de classe $C^1$ de $I$ dans $\mathbb{R}^3$. On suppose que, pour un $t_0\in I$, le vecteur-dérivée $\Gamma'(t_0)$ n’appartient pas à $\mathrm{Vect}(\vec{\nu})$. Dans ces conditions, montrer que le point $p(\Gamma(t_0))$ est régulier pour l’arc $p\circ \Gamma$, de $I$ dans $\mathbb{R}^2$, et donner un vecteur directeur de la tangente à l’arc en ce point. 23. III.B.1) Soit un réel $\delta \in [-\pi/2;\pi/2]$ ; montrer que l’intersection de $S$ et du plan de $\mathbb{R}^3$ d’équation $z = R\sin\delta$ est le cercle $C_\delta$ paramétré par $\varphi\in\mathbb{R}\mapsto M_\delta(\varphi) = \begin{pmatrix} R\cos\delta \cos\varphi \\ R\cos\delta \sin\varphi \\ R\sin\delta \end{pmatrix}$. En donner le centre et le rayon. 24. III.B.2) Montrer que l’intersection de $P_0$ et de $C_\delta$ est non vide si, et seulement si, $|\delta|\leq \pi/4$. Montrer plus précisément que cette intersection se compose alors de deux points lorsque $|\delta|<\pi/4$. 25. III.B.3) Soit $\delta\in[-\pi/4; \pi/4]$ et un point $M\in P_0\cap C_\delta$. On choisit un réel $\varphi_0$ tel que $M = M_\delta(\varphi_0)$. Montrer que $M\in \Sigma$ puis que sont orthogonaux à $\overrightarrow{OM}$ : le vecteur $\vec{\nu}$, le vecteur $\left.\frac{dM_\delta}{d\varphi}\right|_{\varphi=\varphi_0}$ ainsi que tout vecteur tangent en $M$ à $\Sigma$.} 26. III.B.4) Montrer que les $p(C_\delta)$, où $\delta$ décrit $[-\pi/2; \pi/2]$, sont des cercles et que $p(S)$ en est la réunion. Déterminer le centre $\Omega_\delta$ et le rayon $R_\delta$ du cercle $p(C_\delta)$. En utilisant en particulier III.A et III.B.3, montrer que, lorsque $|\delta|<\pi/4$, le cercle $p(C_\delta)$ est tangent à $E$ en deux points distincts. Étudier aussi le cas de $p(C_{\pi/4})$. 27. III.B.5) Lorsque $0\leq \delta < \delta_0 \leq \pi/4$, montrer que $p(C_{\delta_0})$ et $p(C_\delta)$ sont sécants. Lorsque $\pi/4\leq \delta < \delta_0 \leq \pi/2$, montrer que $p(C_{\delta_0})$ est intérieur à $p(C_\delta)$. 28. III.C) Représenter sur un même dessin : $E$, un cercle $p(C_\delta)$ avec $0 \leq \delta < \pi/4$, le cercle $p(C_{\pi/4})$ et un cercle $p(C_\delta)$ avec $\pi/2 > \delta > \pi/4$. 29. III.D) Montrer qu’il existe une seconde famille de cercles inclus dans $S$ dont les images par $p$ soient des cercles et dont la réunion des images par $p$ soit encore $p(S)$.}FAQ
Pour réussir ce sujet, il faut bien comprendre la notion d’application linéaire, savoir reconnaître une projection et manipuler les matrices associées. Il est crucial de maîtriser la détermination de la matrice d’une application dans différentes bases, et l’étude du noyau et de l’image. N’oublie pas l’interprétation géométrique, notamment dans les passages de R^3 à R^2.
La clef, c’est d’apprendre à visualiser les effets d’une projection sur des objets classiques (droites, plans, sphères) et de comprendre ce que représente l’image d’un sous-espace. Penser systématiquement à la notion de direction de projection et à la stabilité des sous-espaces. Les exercices de Centrale PC 2007 te font manipuler ces concepts de façon approfondie — notamment via des questions sur les images de droites, de plans, ou la représentation des bases en perspective.
En prépa scientifique, il est fondamental de relier algèbre et géométrie. Pour les endomorphismes autoadjoints, entraîne-toi à utiliser le lien entre matrice symétrique, valeurs propres réelles et diagonalisation (théorème spectral). Pour les formes quadratiques, sache interpréter leurs ensembles de niveaux (ici, la réunion de plans par exemple), et sois à l’aise avec la réduction de la forme à l’aide d’une base orthonormale. Ce sont des classiques du concours PC/PSI !
Les coniques (ellipses, paraboles, hyperboles) sont des objets géométriques incontournables, car elles relient l’algèbre (équations quadratiques), la géométrie plane et l’analyse (paramétrisations). Elles servent à illustrer des méthodes transversales et à développer ta capacité à manipuler différents repères, à déduire la nature géométrique d’un ensemble et à exploiter des changements de coordonnées comme les rotations. Pour progresser, travaille ces exercices en lien avec les projections et les intersections de plans !
Tout repose sur ta capacité à écrire analytiquement les objets (droites, plans, sphères), à poser proprement les systèmes d’équations et à les résoudre. Utilise des paramétrisations adaptées et n’oublie jamais le lien avec l’interprétation géométrique : une équation de droite dans l’espace peut devenir une équation de cercle ou d’ellipse par projection. Les questions du sujet Centrale PC 2007 mettent en avant ce type de raisonnement, incontournable en maths sup/spé.
Comprendre quand une application est bijective te permet de bien appréhender le passage d’un espace à un autre : tu sauras si tout élément de l’image possède un antécédent unique, ce qui se révèle essentiel pour traiter par exemple les images réciproques d’ensembles géométriques. Les exercices sur les restrictions à des plans et les inverses sur des sous-espaces illustrent ce point. Saisis bien ce type de résultats, notamment pour sécuriser des questions de projection ou de section.
Structure ta rédaction en trois étapes : rappelle la définition de la régularité (dérivée non nulle dans le plan visé), explicite la différentiation de la courbe projetée à partir de la courbe spatiale, puis montre clairement le lien entre direction du vecteur dérivé et géométrie de la projection. La rigueur et la clarté sont attendues à chaque phrase. Pour des corrections détaillées et des exercices similaires rédigés, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster.
La représentation géométrique t’entraîne à manipuler analytiquement et graphiquement les objets de l’espace, compétence essentielle en prépa PC et en physique. Cela te permet aussi d’anticiper les problèmes rencontrés en sciences de l’ingénieur : passer de la réalité 3D à des représentations 2D précises et fidèles. La maîtrise des changements de repères et des projections, comme dans cette épreuve de Centrale 2007, est donc particulièrement valorisée au concours.
Alterner résolution d’anciens sujets centraliens (dont celui de 2007) et exercices ciblés sur les projections, les espaces vectoriels, les matrices, les formes quadratiques et les coniques est la meilleure méthode. Rédige systématiquement tes réponses, vérifie soigneusement les hypothèses à chaque étape, et utilise les corrigés détaillés de Prépa Booster pour identifier les subtilités du barème et gagner en rigueur.