Questions du sujet
1. I.A.1) Cas $n = 2$.\\ Résoudre par cette méthode le système $(S_2)$.\\ On remarquera en particulier que les pivots successifs valent : $p_0 = 2$ ; $p_1 = \frac{7}{2}$ ; $p_2 = \frac{12}{7}$.} 2. I.A.2) On revient au cas général.\\ a) Écrire une procédure de résolution du système $A_{n+1}X = B$, suivant l’algorithme du pivot de Gauss sans échange de lignes.\\ b) On note $(p_0,p_1,\ldots,p_n)$ la suite des pivots. Vérifier que : \[ p_0 = 2 \qquad \forall k \in \{0,\ldots,n-2\},~p_{k+1} = 4 – \frac{1}{p_k} \qquad p_n = 2 – \frac{1}{p_{n-1}} \] \\ c) Étudier la suite définie par : \[ u_0 = 2,~\forall n \in \mathbb{N},~u_{n+1} = 4 – \frac{1}{u_n} \] \\ d) En déduire que $(p_k)$ est bien définie et que $A_{n+1}$ est inversible.} 3. I.B.1) On pose $c_0 = 1$, $c_1 = 4$, $c_2 = 15$ et pour tout $n \geq 3$, $c_n = \det C_n$. Montrer que la suite $(c_n)$ vérifie une relation de récurrence simple ; en déduire $c_3$ puis $c_4$ et $c_5$. 4. I.B.2) En déduire que $C_n$ est inversible. 5. I.B.3) Calculer explicitement les valeurs propres de $A_3$ et $C_3$. 6. I.B.4) Localisation des valeurs propres.\\ a) Soit un réel $\lambda$ tel que : $\lambda > \alpha_1 – 1$ et, $\forall k \in \{2,3,\ldots,n-1\},~\lambda > \alpha_k – 2$ et $\lambda > \alpha_n – 1$. Montrer qu’alors $M_n(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) – \lambda I$ est inversible.\\ b) En déduire que les valeurs propres de $M_n(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ appartiennent à la réunion des intervalles \\ $[\alpha_1-1,\alpha_1+1] \cup \bigcup_{k=2}^{n-1}[\alpha_k-2,\alpha_k+2] \cup [\alpha_n-1,\alpha_n+1]$ \\ et que $A_n$, $B_n$ et $C_n$ sont inversibles.} 7. II.A – Montrer que l’application : \[ S \to \mathbb{R}^{n+3} \\ s \mapsto (s(0),s'(0),s”(0),s(\frac{1}{n}),\ldots, s(\frac{n-1}{n}), s(1), s'(1), s”(1)) \] est un isomorphisme d’espace vectoriel.\\ On rappelle que, si $s^{(d)}(x)$ désigne la dérivée à droite d’ordre $d$ en $x$.\\ Quelle est la dimension de l’espace vectoriel $S$ ?} 8. II.B.1) Soit $f \in \mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})$ et $m_0, m_1, \ldots, m_n \in \mathbb{R}$.\\ a) Montrer qu’il existe une unique fonction $g$ définie sur $[0,1]$, à valeurs dans $\mathbb{R}$, vérifiant : \\ (i) La restriction de $g$ à $[x_{i-1},x_i]$ est polynomiale de degré $\leq 3$ ;\\ (ii) $g(x_i) = f(x_i)$, $\forall i \in \{0,\ldots,n\}$ ;\\ (iii) $g”(x_i^-) = g”(x_i^+) = m_i$ pour $i\in \{1, \ldots, n-1\}$, $g”(x_0) = m_0,~g”(x_n) = m_n$.\\ b) Établir que pour $i\in\{1,\ldots,n\}$ et $x \in [x_{i-1},x_i]$, on a :\\ \[ g(x) = u_i(x) m_{i-1} + v_i(x) m_{i} + w_i(x) f(x_{i-1}) + z_i(x) f(x_i) \] où $u_i$, $v_i$, $w_i$, $z_i$ sont des réels que l’on exprimera en fonction de $x$, $x_{i-1}$, $x_i$, $h$.} 9. II.B.2) Montrer que : $A_{n+1}M = B$, où $A_{n+1}$ est la matrice de la partie I, et $B$ est une matrice colonne dépendant des $f(x_i)$, $f'(0)$, $f'(1)$ et $h$.} 10. II.B.3) En déduire qu’il existe une et une seule fonction spline cubique $g$ vérifiant les conditions :\\ $g(x_i) = f(x_i)$, $g'(0) = f'(0)$, $g'(1) = f'(1)$.} 11. II.B.4) Retrouver la valeur de la dimension de $S$.} 12. II.C.1) Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})$. Montrer qu’il existe une unique fonction polynomiale $h$, de degré $\leq n+2$, telle que :\\ $h(x_i) = f(x_i),~\forall i \in\{0,\ldots,n\}$ ;\\ $h'(0) = f'(0) ; ~ h'(1) = f'(1)$. } 13. II.C.2) On peut montrer, et on admettra ici que, si $f\in \mathcal{C}^{n+3}([0,1])$ : \[ \|f – h\|_\infty \leq \frac{\|f^{(n+3)}\|_\infty}{(n+3)!} M_n \text{ où } M_n = \max_{x\in [0,1]}\left|\prod_{k=0}^n(x-x_k)\right|. \] Comparer les deux méthodes d’approximation précédentes (splines cubiques et Lagrange-Sylvester) du double point de vue de la simplicité et de la précision, d’abord pour $n=1$, puis pour $n\geq 2$.} 14. III.A.1) On considère l’espace vectoriel $E = \mathbb{R}_n[X]$. Pour $P,Q\in E$, on pose : \[ (P,Q) = \sum_{i=0}^n P(i)Q(i) \] Montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire euclidien sur $E$. On notera $\|P\|_2$ la norme du polynôme associée au produit scalaire précédent.} 15. III.A.2) Montrer qu’il existe une unique famille $(L_0,\ldots,L_n)$ telle que :\[ (L_i,L_j) = \delta_{ij} \] où $\delta_{ij}$ désigne le symbole de Kronecker.\\ Vérifier que la famille $(L_0,\ldots,L_n)$ est une base orthonormée de $E$. Elle sera notée $\mathcal{B} = (L_0,\ldots,L_n)$. Que peut-on dire du degré du polynôme $L_i$ ?} 16. III.A.3) Déterminer les coordonnées dans la base $\mathcal{B}$ d’un vecteur de $E$ orthogonal (au sens du produit scalaire précédemment défini) à l’hyperplan $H$ de $E$ formé des polynômes de degré $\leq n-1$. Si $P\in E$, on note $d(P,H) = \inf_{Q\in H}\|P-Q\|_2$. Montrer que $d(X^n,H) = n! L_n(0)$.} 17. III.A.4) En remarquant que $(1+X)^n = \sum_{p=0}^n \binom{n}{p} X^p$, exprimer $L_n(0)$ à l’aide d’un seul coefficient binômial.} 18. III.A.5) En déduire la valeur de $d(X^n,H)$.} 19. III.B.1) On note $M_0 = \prod_{i=0}^n (X – i)$ et on fixe un polynôme $\Pi$ dans $E$. On considère l’application de $E$ dans $E$, qui à tout $P\in E$ associe le reste de la division euclidienne de $P\cdot \Pi$ par $M_0$. Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$.} 20. III.B.2) Exprimer $\varphi(L_i)$ en fonction de $L_i$. En déduire que $\varphi$ est un endomorphisme autoadjoint de $E$.} 21. III.B.3) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $\Pi$ pour que $\varphi$ soit un automorphisme orthogonal de $E$. Quelle est alors sa nature géométrique ?} 22. III.B.4) On note $B_E(0,1) = \{P\in E ; \|P\|_2 \leq 1\}$.\\ Exprimer $\min_{P\in B_E(0,1)} \|\varphi(P)\|_2$ et $\max_{P\in B_E(0,1)} \|\varphi(P)\|_2$ à l’aide des $\varphi(L_i)$.}FAQ
L’algorithme du pivot de Gauss sans échange de lignes est une méthode systématique permettant de résoudre les systèmes linéaires, particulièrement utile lorsque la matrice du système est tridiagonale ou possède une structure particulière. En CPGE scientifique, tu retrouves cet algorithme car il constitue un socle méthodologique incontournable : il te permet notamment de démontrer l’inversibilité des matrices, d’étudier les suites de pivots, et de comprendre la stabilité numérique des méthodes de calcul matriciel. Pour aller plus loin et maîtriser tous ces points, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster !
La récurrence sur les matrices (comme dans les relations de récurrence vérifiées par les déterminants) te permet de généraliser des propriétés et de prouver des assertions pour toutes les dimensions n, ce qui est très apprécié en concours. Cette technique, souvent associée à l’étude de la structure des matrices tridiagonales ou à bande, t’aidera à gagner en efficacité sur les problèmes de diagonalisation, d’inversibilité et d’étude de valeurs propres, des thèmes récurrents au concours Centrale-Supélec en physique-chimie. Prends le temps de maîtriser ces méthodes pour progresser vite !
Les splines cubiques servent à interpoler des points par morceaux de polynômes du troisième degré tout en assurant la continuité de la fonction, mais aussi de ses dérivées premières et secondes. Elles permettent de limiter les oscillations exagérées que l’on retrouve parfois avec l’interpolation polynomiale globale de Lagrange-Sylvester, surtout pour un grand nombre de points. La spline offre une meilleure précision locale et une grande souplesse à l’ajustement des données, ce qui en fait un outil privilégié pour l’approximation lisse de fonctions. Si tu veux voir des exemples d’application issus du concours, débloque les corrigés sur Prépa Booster.
Pour bien t’en sortir sur ce type de questions, tu dois savoir caractériser précisément les espaces de splines : leur dimension s’exprime en fonction du nombre de nœuds et des conditions aux bords (comme l’imposition des dérivées en 0 ou 1). Calcule le nombre de conditions imposées et le nombre de coefficients libres pour bien identifier la dimension ! Les raisonnements sur la base et l’isomorphisme avec un espace de vecteurs réels sont aussi fondamentaux pour résoudre efficacement cette partie des sujets d’écrit.
L’essentiel, c’est de bien assimiler la définition du produit scalaire sur l’espace des polynômes, et de comprendre comment on peut construire une base orthonormée à partir de polynômes d’interpolation (par exemple, via la méthode de Gram-Schmidt ou dans des cas particuliers avec les polynômes de Lagrange). Savoir calculer explicitement les coordonnées d’un polynôme projeté orthogonalement sur un sous-espace est clef pour réussir les dernières parties des sujets ! Ces outils sont à réviser dès maintenant pour préparer efficacement les écrits.
L’étude des valeurs propres permet de détecter les symétries, d’analyser la stabilité et d’obtenir des informations fines sur la nature des solutions d’un système (existence, unicité, comportement asymptotique, etc.). L’autoadjonction d’un endomorphisme te garantit notamment la diagonalisabilité sur R, ce qui simplifie beaucoup les calculs lors de bilans énergétiques ou d’études de stabilité en physique. Pour progresser rapidement, il est utile de refaire des exercices ciblés et de t’entraîner avec des corrigés détaillés, accessibles via le dashboard personnalisé de Prépa Booster.