Questions du sujet
1. Montrer que
\[ I_n \geq \frac{1}{2n}. \]
2. Justifier l’existence de $K_n$ et donner la valeur exacte de $K_1$.
3. Montrer que
\[
\int_1^{+\infty} \frac{1}{(1 + t^2)^n} \, dt = O \left( \frac{1}{n2^n} \right).
\]
On pourra minorer $1 + t^2$ par un polynôme de degré 1.
4. En déduire que, lorsque $n$ tend vers $+\infty$,
\[
I_n \sim K_n.
\]
5. Établir la relation de récurrence $K_n = K_{n+1} + \frac{1}{2n} K_n$.}
6. En déduire un équivalent simple de $I_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
7. Justifier que
\[
\sqrt{n} I_n = \int_0^{\sqrt{n}} \frac{1}{\left(1 + \frac{u^2}{n}\right)^n} du.
\]
8. Montrer que
\[
\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} I_n = \int_0^{+\infty} e^{-u^2} du.
\]
9. En déduire les valeurs de
\[
\int_0^{+\infty} e^{-u^2} du
\]
puis de
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2/2} du.
\]
10. En écrivant que $\varphi(t) \leq \frac{t}{x} \varphi(t)$ pour tout $t \geq x$, montrer que
\[
\int_x^{+\infty} \varphi(t) dt \leq \frac{\varphi(x)}{x}.
\]}
11. À l’aide de l’étude d’une fonction bien choisie, montrer que
\[
\frac{x}{x^2 + 1} \varphi(x) \leq \int_x^{+\infty} \varphi(t) dt.
\]
12. En déduire un équivalent simple de $1 – \Phi(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
13. Exprimer l’événement $A$ à l’aide des événements $A_1, A_2, …, A_n$.
14. Montrer que l’on a
\[
\mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(\{|R_n| \geq x\}) + \sum_{p=1}^n \mathbb{P}(A_p \cap \{|R_n| < x\}).
\]
15. Justifier que pour tout $p \in \llbracket 1, n \rrbracket$, on a l’inclusion
\[
A_p \cap \{|R_n| < x\} \subset A_p \cap \{|R_n - R_p| > 2x\}.
\]}
16. En déduire que
\[
\mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(\{|R_n| \geq x\}) + \max_{1 \leq p \leq n} \mathbb{P}(\{|R_n – R_p| > 2x\}).
\]
17. Conclure.
18. Comparer les réels $-x_{n,k}$ et $x_{n,n-k}$.
19. Justifier l’existence du réel $\Delta_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
20. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a l’égalité
\[
\Delta_n = \sup_{x \geq 0} |B_n(x) – \varphi(x)|.
\]}
21. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, montrer que $B_n$ est une application décroissante sur $\mathbb{R}^+$. On pourra distinguer selon que $n$ est pair ou impair.
22. Montrer que l’on a
\[
k! (n – k)! = 2\pi e^{-n} k^{k + 1/2} (n – k)^{n – k + 1/2} \left(1 + O\left(\frac{1}{n}\right)\right)
\]
pour $n$ tendant vers l’infini. On pourra utiliser la formule de Stirling rappelée en début d’énoncé.
23. En déduire que, pour $n$ tendant vers $+\infty$, on a
\[
B_n(x_{n,k}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left(1 + O\left(\frac{1}{n}\right)\right) \left(\frac{2k}{n}\right)^{k + 1/2} \left(2 – \frac{2k}{n}\right)^{n – k + 1/2}.
\]
24. En déduire que
\[
B_n(x_{n,k}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left(1 + O\left(\frac{1}{n}\right)\right) (1 – \frac{x_{n,k}^2}{n})^{\frac{n+1}{2}} \left(1 + \frac{x_{n,k}}{\sqrt{n}}\right)^{\frac{x_{n,k}}{2}\sqrt{n}} \left(1 – \frac{x_{n,k}}{\sqrt{n}}\right)^{-\frac{x_{n,k}}{2}\sqrt{n}}
\]
puis que
\[
B_n(x_{n,k}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{x_{n,k}^2}{2}\right) \left(1 + O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right).
\]
25. Montrer qu’il existe un entier naturel $n_1$ tel que, pour tout entier $n \geq n_1$,
\[
\sup_{x \in [0, \ell]} |B_n(x) – \varphi(x)| \leq \frac{\varepsilon}{2}.
\]}
26. Pour tout $\ell > 0$, montrer qu’il existe un entier naturel $n_2$, tel que, pour tout $n \geq n_2$, $B_n(\ell) \leq 2\varphi(\ell)$.
27. Conclure que la suite $(\Delta_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge vers $0$.
28. Si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ (respectivement $(v_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$) est une suite de nombres réels appartenant à $I$ qui converge vers $u \in I$ (respectivement $v \in I$), montrer que
\[
\lim_{n \to +\infty} \left(\int_{u_n}^{v_n} f_n(x) \, dx\right) = \int_u^v f(x) \, dx.
\]
29. Montrer que, pour tout $j \in \llbracket 0, n \rrbracket$,
\[
\mathbb{P}(\{T_n = j\}) = \int_{x_{n,j} – 1/\sqrt{n}}^{x_{n,j} + 1/\sqrt{n}} B_n(x) dx,
\]
où $x_{n,j}$ a été défini dans la partie II.
30. Justifier que
\[
\mathbb{P}\left(\left\{u \leq \frac{S_n}{\sqrt{n}} \leq v\right\}\right) = \sum_{j \in J_n} \mathbb{P}(\{T_n = j\}).
\]}
31. En déduire que l’on a
\[
\lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}\left(\left\{u \leq \frac{S_n}{\sqrt{n}} \leq v\right\}\right) = \int_u^v \varphi(x) dx
\]
puis que
\[
\lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}\left(\left\{u \leq \frac{S_n}{\sqrt{n}}\right\}\right) = 1 – \Phi(u)
\]
où les applications $\varphi$ et $\Phi$ ont été définies dans la partie I.
32. Montrer qu’il existe $x_0 \geq 1$ tel que l’on ait
\[
\forall x \geq x_0, \exists n_x \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_x, x^2 \mathbb{P}(|S_n| \geq x\sqrt{n}) \leq \varepsilon.
\]
33. Pour $x_0$ et $x$ comme à la question précédente, on fixe $N \geq n_{x,\varepsilon}$ et on choisit $n \geq N$. Montrer qu’alors
\[
x^2 \mathbb{P}\left(\max_{1 \leq p \leq n} |S_p| \geq 3x\sqrt{n}\right) \leq 3 \varepsilon.
\]}