Questions du sujet
1. Montrer que $\Delta$ est un endomorphisme de $\mathbb{K}[X]$.
2. Soit $P \in \mathbb{K}[X]$. Déterminer le degré de $\Delta(P)$ en fonction de celui de $P$.
3. Montrer que, pour tout $d \in \mathbb{N}^*$, $\Delta$ induit un endomorphisme sur $\mathbb{K}_d[X]$.
4. Déterminer $\operatorname{Ker}(\Delta_d)$ et $\operatorname{Im}(\Delta_d)$ pour tout $d \in \mathbb{N}^*$.
5. En déduire $\operatorname{Ker}(\Delta)$ et $\operatorname{Im}(\Delta)$. Appliquer les résultats obtenus à l’étude de l’équation $(E_h)$ dans le cas où $h$ est une fonction polynomiale.}
6. On suppose (pour cette question seulement) que $h$ est la fonction $x \mapsto x$. Déterminer une solution de $(E_h)$ dans $\mathbb{K}_2[X]$, puis toutes les solutions polynomiales de l’équation $(E_h)$.
7. Soit $d \in \mathbb{N}^*$. Déterminer un polynôme annulateur de $\Delta_d$. L’endomorphisme $\Delta_d$ est-il diagonalisable ?
8. Justifier que si $(f, g) \in \mathcal{E}^2$ et $(\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^2$, alors $\lambda f + \mu g \in \mathcal{E}$ et $fg \in \mathcal{E}$.
9. Soit $f \in \mathcal{E}$ dont on note $\sum a_n z^n$ le développement en série entière. Montrer que, pour tout $k \in \mathbb{Z}$ :
\[
\frac{1}{\int\limits_0^1} f(\omega(t))\omega(t)^{-k} dt =
\begin{cases}
a_k &\text{ si } k\in \mathbb{N} \\
0 &\text{ sinon}
\end{cases}
\]
10. Pour tout $p \in \mathbb{Z}$, on pose
\[
I_p = \int_0^1 \frac{\omega(t)^{p+1}}{e^{\omega(t)} – 1} dt.
\]
Vérifier que cette intégrale est bien définie pour tout $p \in \mathbb{Z}$.}
11. Montrer qu’il existe une fonction $\beta \in \mathcal{E}$ et une constante $C \in ]0,1[$ telles que, pour tout $\zeta \in \mathbb{U}$,
\[
e^\zeta – 1 = \zeta(1 + \zeta \beta(\zeta))
\quad \text{ et } \quad
| \beta(\zeta)| \leq C.
\]
12. En déduire que pour tout $\zeta \in \mathbb{U}$ et tout $p \in \mathbb{Z}$,
\[
\frac{\zeta^p}{e^\zeta – 1} = \sum_{j=0}^{+\infty} (-1)^j \zeta^{j+p-1} \beta(\zeta)^j.
\]
13. Montrer que $I_0 = 1$ et que, pour tout $p \in \mathbb{N}^*$, $I_p = 0$.
14. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $z \in \mathbb{C}$,
\[
B_n(z) = n! \sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!} I_{k-n}.
\]
En déduire que $B_n$ est un polynôme unitaire de degré $n$.
15. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $B_n’ = n B_{n-1}$.}
16. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et tout $z \in \mathbb{C}$,
\[
B_n(z+1) – B_n(z) = n z^{n-1}.
\]
17. En déduire l’expression d’une fonction polynomiale vérifiant l’équation $(E_h)$ sur $\mathbb{C}$ lorsque $h$ est une fonction polynomiale.
18. Montrer que $(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est l’unique suite de polynômes vérifiant :
\[
\begin{cases}
B_0 = 1 \\
\forall n \in \mathbb{N}^*,\quad B’_n = n B_{n-1} \\
\forall n \in \mathbb{N}^*,\quad \int_0^1 B_n(t) dt = 0
\end{cases}
\]
19. Soit $(H_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite de polynômes définie par : $\forall n \in \mathbb{N}$, $H_n(X) = (-1)^n B_n(1 – X)$. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $H_n = B_n$.
20. Soit $\psi$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}$,
\[
\psi(x) =
\begin{cases}
\frac{x}{e^x – 1} &\text{si } x \neq 0 \\
1 &\text{sinon}
\end{cases}
\]
Soit de plus $u$ la fonction de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ telle que, pour tout $(x, t) \in \mathbb{R}^2$,
$u(x, t) = \psi(x)e^{t x}$.
Montrer que $u$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}^2$.}
21. Pour tout $(x, t) \in \mathbb{R}^2$, calculer $\frac{\partial u}{\partial t}(x, t)$ puis montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$,
\[
\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial^n u}{\partial x^n} (x, t) = x \frac{\partial^n u}{\partial x^n} (x, t) + n \frac{\partial^{n-1} u}{\partial x^{n-1}} (x, t).
\]
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, soit $A_n$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telle que, pour tout $t \in \mathbb{R}$, $A_n(t) = \frac{\partial^n u}{\partial x^n}(0, t)$.
22. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $A_n = B_n$.
23. On se propose dans cette partie de montrer par l’absurde la propriété $\mathcal{P}$ :
\[
\exists c > 0,~ \forall n \in \mathbb{N},~ \forall z \in \mathbb{C},~ (|z|=(2n+1)\pi \Rightarrow |e^z – 1| \geq c)
\]
On suppose que $\mathcal{P}$ est fausse. Montrer l’existence d’une suite d’entiers naturels $(n_p)_{p\in \mathbb{N}}$ et d’une suite de nombres complexes $(z_p)_{p\in \mathbb{N}}$ telles que :
\[
e^{z_p} \xrightarrow[p \to +\infty]{} 1 \quad\text{et}\quad \forall p \in \mathbb{N},~ |z_p| = (2n_p+1)\pi
\]
24. Pour tout $p\in\mathbb{N}$, on note $a_p = \Re(z_p)$ et $b_p = \Im(z_p)$. Montrer que $a_p \to_{p\to+\infty} 0$ et $|z_p| – |b_p| \to_{p\to+\infty} 0$.
25. Pour tout $p \in \mathbb{N}$, on note
\[
\epsilon_p =
\begin{cases}
+1 &\text{si } b_p \geq 0 \\
-1 &\text{si } b_p < 0 \end{cases} \] En étudiant $\exp(z_p – i \epsilon_p |z_p|)$, aboutir à une contradiction et conclure.} 26. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on définit maintenant \[ \gamma_n : \begin{cases} [0, 1] \rightarrow \mathbb{C} \\ t \mapsto (2n+1)\pi e^{2i\pi t} \end{cases} \] Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $z \in \mathbb{C}$, soit \[ Q_n(z) = n! \int_0^1 \frac{e^{z \gamma_n(t)}}{(e^{\gamma_n(t)} – 1) \gamma_n(t)^{n-1}} dt. \] Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $Q_n \in \mathcal{E}$. 27. Montrer que \[ \forall n \in \mathbb{N}^*,\, \forall z \in \mathbb{C},~ Q_n(z+1) – Q_n(z) = n z^{n-1}. \] 28. Montrer qu’il existe deux constantes $a, b \in \mathbb{R}_+^*$ telles que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et tout $z \in \mathbb{C}$, \[ |Q_n(z)| \leq a e^{b n |z|}. \] 29. En déduire l’existence d’une solution dans $\mathcal{E}$ à l’équation $(E_h)$ lorsque $h \in \mathcal{E}$.}