Questions du sujet
1. Pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$, déterminer le degré de $T_n$, puis montrer que $(T_k )_{0\leq k\leq n}$ est une base de $\mathbb{C}_n[X]$. 2. Montrer que, pour tous $n\in\mathbb{N}$ et $\theta\in\mathbb{R}$, $T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)$. 3. En déduire que, pour tous $n\in\mathbb{N}$ et $P\in\mathbb{C}_n[X]$, la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$, $\theta\mapsto P(\cos\theta)$ est dans $\mathcal{S}_n$. 4. Pour $n\in\mathbb{N}$, calculer $\|T_n\|_{L^\infty([-1,1])}$. 5. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\|T’_n\|_{L^\infty([-1,1])} = n^2$. \\ On pourra commencer par établir que, pour tous $n\in\mathbb{N}$ et $\theta\in\mathbb{R}$, $|\sin(n\theta)| \leq n|\sin\theta|$.} 6. Soit $A\in\mathbb{C}_{2n}[X]$, scindé à racines simples, et $(\alpha_1,…,\alpha_{2n})$ ses racines. Montrer que \[ \forall B\in\mathbb{C}_{2n-1}[X],\quad B(X) = \sum_{k=1}^{2n} \frac{B(\alpha_k)}{A'( \alpha_k )} \frac{A(X)}{(X-\alpha_k)}. \] 7. Si $\lambda\in \mathbb{C}$, vérifier que $X-1$ divise $P_\lambda$. 8. Pour tout $\lambda$ dans $\mathbb{C}$, on note \[ Q_\lambda(X) = \frac{P(\lambda X) – P(\lambda)}{X-1}\in\mathbb{C}_{2n-1}[X]. \] Montrer que, pour tout $\lambda$ dans $\mathbb{C}$, $Q_\lambda(1) = \lambda P'(\lambda)$. 9. On considère le polynôme $R(X) = X^{2n} + 1$. Pour $k$ dans $\llbracket 1,2n \rrbracket$, on note \[ \varphi_k = \frac{\pi}{2n} + \frac{k\pi}{n},\quad \omega_k = e^{i\varphi_k}. \] Montrer que \[ R(X) = \prod_{k=1}^{2n} (X – \omega_k). \] 10. À l’aide de la formule précédente, montrer que \[ \forall\lambda\in\mathbb{C},\quad Q_\lambda(X) = – \frac{1}{2n} \sum_{k=1}^{2n} \frac{P(\lambda\omega_k) – P(\lambda ) }{\omega_k-1} \frac{X^{2n} + 1}{X-\omega_k}\omega_k, \] puis en déduire que \[ \forall\lambda\in\mathbb{C},\quad \lambda P'(\lambda) = \frac{1}{2n} \sum_{k=1}^{2n} \frac{P(\lambda\omega_k)}{2\omega_k(1-\omega_k)^2} – \frac{P(\lambda)}{2n}\sum_{k=1}^{2n}\frac{2\omega_k}{(1-\omega_k)^2 }. \] } 11. Montrer que \[ \forall\lambda\in\mathbb{C},\quad \lambda P'(\lambda) = \frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{2n} \frac{P(\lambda\omega_k)}{2\omega_k(1-\omega_k)^2} + nP(\lambda). \] \\ On pourra appliquer l’égalité précédente au polynôme $X^{2n}$. 12. Soit maintenant $f$ dans $\mathcal{S}_n$. Montrer qu’il existe $U\in\mathbb{C}_{2n}[X]$ tel que, pour tout $\theta\in\mathbb{R}$, $f(\theta) = e^{-in\theta}U(e^{i\theta})$. 13. Vérifier que, pour tout $k\in\llbracket 1,2n\rrbracket$, \[ \frac{2\omega_k}{(1-\omega_k)^2} = -\frac{1}{2\sin^2(\varphi_k/2)} \] et déduire des questions précédentes que \[ \forall\theta\in\mathbb{R},\quad f'(\theta) = \frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{2n} \frac{f(\theta + \varphi_k)}{(-1)^k2\sin^2(\varphi_k/2)}. \] 14. En déduire que \[ \forall\theta\in\mathbb{R},\quad |f'(\theta)|\leq n \|f\|_{L^\infty (\mathbb{R})}. \] 15. Déduire des questions 3 et 14 que \[ \forall P \in \mathbb{C}_n [X],\ \forall x \in [-1,1],\ \left| P'(x)\sqrt{1-x^2}\right| \leq n \|P\|_{L^\infty([-1,1])}. \] } 16. Montrer que \[ \forall Q \in \mathbb{C}_{n-1}[X],\ |Q(1)| \leq n \sup_{-1 \leq x \leq 1} |Q(x)\sqrt{1-x^2}|. \] On pourra considérer $f : \theta \mapsto Q(\cos\theta)\sin\theta$ et vérifier que $f\in \mathcal{S}_n$. 17. Soit $R\in\mathbb{C}_{n-1}[X]$ et $t\in[-1,1]$. Montrer que \[ |R(t)| \leq n \sup_{-1\leq x\leq 1}|R(x)\sqrt{1-x^2}|. \] On pourra considérer le polynôme $S_t(X) = R(tX)$. 18. En déduire que, pour tout $P\in\mathbb{C}_n[X]$, \[ \|P’\|_{L^\infty([ -1,1 ])} \leq n^2 \|P\|_{L^\infty([ -1, 1 ])}. \] 19. Peut-il y avoir égalité dans l’inégalité précédente ? 20. Montrer que, pour toute fonction $f \in L^1(\mathbb{R})$, $\hat{f}$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$.} 21. Montrer que l’application $f \mapsto \hat{f}$ est une application linéaire continue de l’espace vectoriel normé $(L^1(\mathbb{R}),\|\cdot\|_1)$ dans l’espace vectoriel normé $(L^\infty(\mathbb{R}),\|\cdot\|_\infty)$. 22. Soit $f\in L^1(\mathbb{R})$, $\lambda\in\mathbb{R}_+^*$ et soit $g$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$ telle que $g(x) = f(\lambda x)$ pour tout réel $x$. Montrer que $g\in L^1(\mathbb{R})$ et, pour tout réel $\xi$, exprimer $\hat{g}(\xi)$ à l’aide de $\hat{f}$, de $\xi$ et de $\lambda$. 23. Montrer que $f * g$ est définie sur $\mathbb{R}$ et que \[ \forall x\in\mathbb{R},\ (f * g)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t) g(t) dt = (g * f)(x). \] 24. Montrer que $f * g$ est bornée et que $\|f*g\|_\infty \leq \|f\|_1 \|g\|_\infty$. 25. Soit $k\in\mathbb{N}$. Montrer que, si $g$ est de classe $\mathcal{C}^k$ et si les fonctions $g^{(j)}$ sont bornées pour $j\in\llbracket 0, k\rrbracket$, alors $f * g$ est de classe $\mathcal{C}^k$ et $(f * g)^{(k)} = f * (g^{(k)})$.} 26. On suppose toujours que $f\in L^1(\mathbb{R})$ et $g\in L^\infty(\mathbb{R})$ et on suppose de plus que $g\in L^1(\mathbb{R})$ et $f*g\in L^1(\mathbb{R})$. En admettant que, pour tout $\xi$ réel, \[ \int_{-\infty}^{+\infty} \left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ix\xi} f(t) g(x-t) dt \right)dx \] et \[ \int_{-\infty}^{+\infty} \left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ix\xi} f(t) g(x-t) dx \right)dt \] existent et sont égales, montrer que $\widehat{f*g} = \hat{f} \hat{g}$. 27. Montrer que $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$. \\ On pourra montrer que : $\forall k \in \mathbb{N}$, $\exists P_k\in\mathbb{R}[X]$, $\forall t>0$, $\varphi^{(k)}(t) = P_k (1/t) e^{-1/t}$. 28. Montrer, en l’exprimant à l’aide de $\varphi$, que $\psi$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$. 29. Soit $\theta$ l’unique primitive de $\psi$ s’annulant en $0$. Montrer que $\theta$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$, constante sur $]-\infty, -1]$ (on note $A$ cette constante) et constante sur $[1, +\infty[$ (on note $B$ cette constante). Vérifier que $A\neq B$. 30. Construire alors une fonction $\rho\in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R})$, constante égale à $1$ sur $[-1,1]$ et constante égale à $0$ sur $\mathbb{R}\setminus [-2,2]$.} 31. Montrer que $r$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et donner une expression de sa fonction dérivée (faisant éventuellement intervenir une intégrale). 32. Montrer que $x\mapsto x^2 r(x)$ est bornée sur $\mathbb{R}$ et en déduire que $r$ est intégrable et bornée sur $\mathbb{R}$.\\ On admet qu’en utilisant la même méthode, on montre que $r’$ est intégrable et bornée sur $\mathbb{R}$. 33. Soit $\lambda >0$ et soit $f\in L^1(\mathbb{R})\cap \mathcal{C}^1(\mathbb{R})$ telle que $\hat{f}\in L^1(\mathbb{R})$ et telle que $\hat{f}$ soit nulle en dehors du segment $[-\lambda,\lambda]$. On note $r_\lambda$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$ telle que $r_\lambda(x) = r(\lambda x)$ pour tout réel $x$. \\ On admet que $f * r_\lambda$ est intégrable. Montrer que $f = \lambda f * r_\lambda$. 34. En déduire que, si $f \in L^\infty(\mathbb{R})$, il existe une constante $C\in\mathbb{R}^*_+$, indépendante de $\lambda$ et de $f$, telle que \[ \|f’\|_\infty \leq C \lambda \|f\|_\infty. \] }FAQ
Les polynômes de Chebyshev T_n sont définis par la relation T_n(cos θ)=cos(nθ). Ils ont degré n, des oscillations maîtrisées sur [-1,1] et une propriété extremale en norme L^∞ (ils atteignent la plus petite norme possible pour un coefficient dominant fixé). Dans les exercices, ils servent de fonctions modèles pour obtenir bornes optimales sur les normes et dérivées des polynômes. Pour voir un corrigé détaillé et des remarques pédagogiques, débloque les corrigés sur Prépa Booster.
La substitution x=cos θ transforme des problèmes sur [-1,1] en problèmes de fonctions 2π-périodiques et permet d’exploiter les identités trigonométriques (comme T_n(cos θ)=cos nθ). Les polynômes trigonométriques sont plus maniables pour estimer normes et dérivées grâce aux translations et à la représentation par séries ou par valeurs sur le cercle unité en complexifiant.
Deux inégalités essentielles : une inégalité de type Bernstein ponctuelle |P'(x)|·√{1−x^2} ≤ n‖P‖_∞ et l’inégalité de Markov globale ‖P’‖_∞ ≤ n^2‖P‖_∞ pour P∈ℂ_n[X]. Ces bornes sont utilisées partout en CPGE pour contrôler les oscillations d’un polynôme. La caractérisation du cas d’égalité fait intervenir des multiples des polynômes de Chebyshev.
C’est la formule de Lagrange : tout B de degré ≤2n−1 s’exprime comme somme de fractions partielles B(X)=Σ_k B(α_k)/A'(α_k) · A(X)/(X−α_k), où les α_k sont les racines de A. Cet outil est fréquent pour obtenir des sommes finies exploitables numériquement et établir des formules d’évaluation ou de dérivation.
Les racines de X^{2n}+1 sont réparties régulièrement sur le cercle unité et permettent d’obtenir des identités symétriques utiles (sommes trigonométriques, formules de sommation discrète, expressions de dérivées). Elles facilitent la conversion d’intégrales ou de sommes complexes en combinaisons de valeurs de la fonction aux translations angulaires, ce qui donne des bornes précises.
C’est une écriture standard des polynômes trigonométriques de degré ≤n : on exprime f comme combinaison finie de e^{ikθ} pour k∈[−n,n]. En posant U un polynôme en z=e^{iθ} de degré ≤2n, on regroupe les facteurs pour obtenir cette forme, pratique pour exploiter l’analyse complexe sur le cercle.
Pour f∈L^1(ℝ) : ˆf(ξ)=∫ e^{-ixξ}f(x)dx est bien définie et continue sur ℝ ; l’application f↦ˆf est linéaire et continue de L^1(ℝ) dans L^∞(ℝ) avec ‖ˆf‖_∞ ≤ ‖f‖_1. Ces faits sont souvent utilisés pour passer d’estimations temporelles à des estimations fréquentielles.
Si g(x)=f(λx) avec λ>0 alors g∈L^1 et ˆg(ξ) = (1/λ) ˆf(ξ/λ). Cette relation est indispensable pour relier support fréquentiel et cônes d’échelle et apparaît dans les questions où l’on dilate des fonctions tests.
Convolution : f*g(x)=∫ f(x−t)g(t)dt est définie quand l’intégrale a un sens ; elle est commutative et bornée avec ‖f*g‖_∞ ≤ ‖f‖_1‖g‖_∞. Si g est C^k et ses dérivées sont bornées, alors f*g est C^k et on peut dériver sous le signe convolution : (f*g)^{(k)}=f*(g^{(k)}). Ces propriétés servent à lisser une fonction tout en contrôlant normes et dérivées.
Sous des hypothèses d’intégrabilité suffisantes (par exemple f∈L^1, g∈L^1 ou des hypothèses mixtes garantissant l’échange des intégrales), la transformée de Fourier transforme la convolution en produit pointwise : ˆ{f*g}=ˆf·ˆg. C’est un outil fondamental pour passer de l’espace temporel à l’espace fréquentiel et obtenir des estimations en fréquence.
On part d’une fonction φ(t)=e^{-1/t} pour t>0 (et 0 pour t≤0), puis on compose et découpe pour obtenir ψ∈C^∞ à support compact et enfin une primitive et une normalisation pour construire ρ qui vaut 1 sur [-1,1] et 0 hors de [-2,2]. Ces fonctions servent de mollificateurs et de filtres fréquentiels pour approcher ou modifier des fonctions tout en contrôlant normes et dérivées ; elles interviennent dans la construction de r et r_λ du sujet.
Si ˆf est nul hors de [−λ,λ] (bande limitée), alors on obtient une inégalité de type ||f’||_∞ ≤ C λ ||f||_∞ pour une constante C>0 universelle (indépendante de f et λ). C’est une version continue de l’inégalité de Bernstein pour fonctions de fréquence bornée et elle est utilisée pour lier support fréquentiel et contrôle des variations temporelles.