Questions du sujet
1. Montrer \[ \Phi_{X_n}(t) = \prod_{k=1}^n \cos \left(\frac{t}{2^k}\right). \] 2. En déduire \[ \sin \left( \frac{t}{2^n} \right) \Phi_{X_n}(t) = \frac{\sin(t)}{2^n}. \] 3. Déterminer la limite simple de la suite de fonctions $\left(\Phi_{X_n}\right)_{n\geq 1}$. 4. Étudier la continuité de $\lim_{n\to+\infty} \Phi_{X_n}$. 5. Montrer que $X_n$ et $-X_n$ ont même loi pour tout $n \in \mathbb{N}^\star$.} 6. En déduire la limite simple de la suite de fonctions $(\varphi_n)_{n\geq 1}$ définies par \[ \forall n \in \mathbb{N}^\star, \; \varphi_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \qquad t \mapsto \mathbb{E}(\cos(tX_n)) \] 7. La suite de fonctions $(\varphi_n)_{n \geq 1}$ converge-t-elle uniformément sur $\mathbb{R}$ ? 8. Montrer que $\Phi_n$ est bien définie en vérifiant $\mathrm{Im}~\Phi_n \subset \llbracket 0, 2^n-1 \rrbracket$. 9. Préciser $\mathrm{Im}~\Phi_n$ en fonction de $A_n$. 10. Montrer par récurrence \[ \forall k \in \llbracket 0, 2^n – 1 \rrbracket,\, k \in \mathrm{Im}~\Phi_n. \] } 11. En déduire que $\Phi_n$ est bijective. 12. Établir la monotonie au sens de l’inclusion de la suite $(D_n)_{n\geq 1}$ puis vérifier $D \subset [0, 1[$. 13. Établir \[ \forall (x, n) \in \mathbb{R} \times \mathbb{N},\, \pi_n(x) \leq x < \pi_n(x) + \frac{1}{2^n}. \] 14. Justifier \[ \forall x \in [0, 1[,\, \forall k \in \mathbb{N},\, \pi_k(x) = \sum_{j=1}^k \frac{d_j(x)}{2^j}. \] 15. Établir \[ \forall (x, j) \in \mathbb{R} \times \mathbb{N}^\star,\, d_j(x) \in \{0, 1\}. \] } 16. Soit $n \in \mathbb{N}^\star$. Justifier $x \in D_n \iff 2^n x \in \llbracket 0, 2^n-1 \rrbracket$. 17. Soit $n \in \mathbb{N}^\star$. Montrer que l’application \[ \Psi_n: \left\{0, 1\right\}^n \to D_n \] \[ (x_j)_{j \in \llbracket 1, n \rrbracket} \mapsto \sum_{j=1}^n \frac{x_j}{2^j} \] est bijective. 18. Soient $n \in \mathbb{N}^\star$ et $x = \sum_{j=1}^n \frac{x_j}{2^j}$ avec $(x_j)_{j \in \llbracket 1, n \rrbracket} \in \{0, 1\}^n$. Montrer \[ \forall k \in \mathbb{N},\, \pi_k(x) = \sum_{j=1}^{\min(n, k)} \frac{x_j}{2^j}. \] 19. Justifier \[ \forall n \in \mathbb{N}^\star,\, \mathbb{P}(Y_n \in [0, 1[) = 1. \] 20. Montrer \[ \forall n \in \mathbb{N}^\star,\, \forall x \in D_n,\, F_n(x) = x + \frac{1}{2^n}. \] } 21. Montrer \[ \forall n \in \mathbb{N}^\star,\, \forall x \in D_n,\, G_n(x) = x. \] 22. Établir, pour tout entier naturel non nul $n$, que $Y_n$ suit une loi uniforme sur $D_n$. 23. Réciproquement, soit $n$ un entier naturel non nul et soit $X_n$ une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur $D_n$. Montrer qu’il existe des variables aléatoires $V_1, \dots, V_n$ mutuellement indépendantes, suivant chacune une loi de Bernoulli de paramètre $1/2$, et telles que \[ X_n = \sum_{k=1}^n \frac{V_k}{2^k}. \] 24. Soit $x$ réel. Établir la monotonie des suites $(F_n(x))_{n\geq 1}$ et $(G_n(x))_{n\geq 1}$. 25. En déduire la convergence simple des suites de fonctions $(F_n)_{n \geq 1}$ et $(G_n)_{n \geq 1}$.} 26. Montrer \[ \forall x \in D \cup \{1\},\, \lim_{n \to \infty} F_n(x) = x \quad \text{et} \quad \lim_{n \to \infty} G_n(x) = x. \] 27. Généraliser les résultats obtenus à la question précédente pour tout $x \in [0, 1]$. 28. Montrer que pour tout intervalle non vide $I \subset [0, 1]$, on a \[ \lim_{n\to \infty} \mathbb{P}(Y_n \in I) = \ell(I) \qquad\text{avec}~\ell(I) = \sup I - \inf I. \] 29. En déduire que, pour toute fonction $f$ continue de $[0, 1]$ dans $\mathbb{R}$, la suite $(\mathbb{E} (f(Y_n)))_{n \geq 1}$ converge et préciser sa limite. 30. À l’aide du résultat précédent, proposer une autre démonstration du résultat obtenu à la question 6.} 31. Une application. Justifier l’existence de \[ \int_0^1 \frac{t-1}{\ln t}~dt \] puis déterminer sa valeur.\\ On pourra considérer \[ \int_0^1 \mathbb{E}\left(t^{Y_n}\right) dt. \] 32. L’ensemble $D$ est-il dénombrable ? 33. On suppose qu’il existe $f: \mathbb{N} \to \mathcal{P}(\mathbb{N})$ bijective. En considérant $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \notin f(x)\}$, établir une contradiction. 34. Montrer que l’application \[ \Phi : \mathcal{P}(\mathbb{N}) \to \{0, 1\}^{\mathbb{N}} \] \[ A \mapsto \mathbb{1}_A \] est bijective. 35. Montrer que l’application \[ \Psi : \{0, 1\}^{\mathbb{N}} \to [0, 1] \] \[ (x_n) \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x_n}{2^{n+1}} \] est bien définie et surjective. Est-elle injective ? } 36. On note $D^\star = D \setminus \{0\}$. On pose pour tout $(x_n) \in \{0, 1\}^{\mathbb{N}}$ \[ \Lambda((x_n)) = \begin{cases} \Psi((x_n)) & \text{si } \Psi((x_n))\in[0, 1[ \setminus D^\star \\ \frac{\Psi((x_n))}{2} & \text{si } \Psi((x_n))\in D \cup \{1\}~\text{et }(x_n)\text{ stationnaire à }1 \\ 1 + \frac{\Psi((x_n))}{2} & \text{si } \Psi((x_n))\in D^\star ~\text{et }(x_n)\text{ stationnaire à }0 \end{cases} \] Montrer que $\Lambda$ réalise une bijection de $\{0, 1\}^{\mathbb{N}}$ sur $[0, 1[$. 37. Conclure que $[0, 1[$ n’est pas dénombrable.}FAQ
Tu considères la décomposition indépendante de X_n en variables symétriques ±1 (ou Bernoulli centrées) V_k/2^k ; la fonction caractéristique se factorise : Phi_{X_n}(t)=E(e^{itX_n})=Prod_{k=1}^n E(e^{i t V_k/2^k}). Comme V_k prend ±1 avec probabilité 1/2, E(e^{i t V_k/2^k}) = (e^{i t/2^k}+e^{-i t/2^k})/2 = cos(t/2^k). D’où le produit annoncé.
Utilise l’identité sin(2x)=2 sin x cos x de façon itérative : sin t = 2^n sin(t/2^n) Prod_{k=1}^n cos(t/2^k). En réarrangeant tu obtiens bien sin(t/2^n) Phi_{X_n}(t)= sin t / 2^n.
À partir de la formule sin(t/2^n) Phi_{X_n}(t)= sin t / 2^n, pour t≠0 on a Phi_{X_n}(t)= sin t /(2^n sin(t/2^n)). Comme sin(t/2^n)~t/2^n quand n→∞, Phi_{X_n}(t)→ sin t / t. Pour t=0, Phi_{X_n}(0)=1 : la limite vaut 1 = lim_{t→0} sin t / t. Donc la limite simple est la fonction s(t)=sin t / t (avec s(0)=1).
La limite s(t)=sin t / t (avec s(0)=1) est continue sur R : la formule habituelle montre la continuité en 0 et s est composée de fonctions continues ailleurs. Donc la limite est continue sur tout R.
Les composantes V_k sont symétriques (±1 équiprobables), donc la loi de X_n = sum V_k/2^k est invariante par changement de signe simultané des V_k. Autrement dit X_n et -X_n ont la même loi (loi symétrique). Ceci se voit aussi sur la fonction caractéristique : Phi_{-X_n}(t)=Phi_{X_n}(-t)=Phi_{X_n}(t) car Phi_{X_n} est paire.
Pour une loi symétrique la caractéristique est réelle et varphi_n(t)=Re Phi_{X_n}(t)=Phi_{X_n}(t). Donc la limite pointwise de varphi_n est la même que celle de Phi_{X_n} : varphi_n(t)→ sin t / t (avec valeur 1 en 0). Si tu veux le corrigé détaillé du raisonnement probabiliste, débloque les corrigés sur Prépa Booster.
Non. Pour montrer l’absence de convergence uniforme, prends t_n = 2^n π. Alors Phi_{X_n}(t_n)=Prod_{k=1}^n cos(2^{n-k}π) = ±1, tandis que sin(t_n)/t_n = 0, donc |varphi_n(t_n) – sin t_n/t_n| =1 ne tend pas vers 0. Donc pas de convergence uniforme sur R.
Si Phi_n est l’application qui envoie un n-uplet binaire (x_1,…,x_n)∈{0,1}^n sur la somme Σ_{j=1}^n x_j 2^{n-j}, chaque terme est un entier ≥0 et la somme maximale (quand tous les x_j=1) vaut 2^n-1. Donc l’image est contenue dans {0,…,2^n-1}.
Im Phi_n est exactement l’ensemble des entiers obtenus par écriture binaire à n chiffres, donc Im Phi_n = {0,1,…,2^n-1}. Si A_n désigne l’ensemble des n-uplets binaires, Phi_n(A_n) = {0,…,2^n-1}.
Initialisation n=1 : Im Phi_1 = {0,1}. Hérédité : si pour n on couvre {0,…,2^n-1}, alors pour n+1 tout entier k∈{0,…,2^{n+1}-1} s’écrit soit k in {0,…,2^n-1} (on conserve le premier bit 0), soit k = 2^n + m avec m∈{0,…,2^n-1} (on met le premier bit 1 et représente m par n bits). Ainsi tous les entiers sont obtenus.
Phi_n est injective sur {0,1}^n vers {0,…,2^n-1} par unicité de l’écriture binaire à n chiffres ; combiné à la surjectivité démontrée par récurrence, Phi_n est bijective.
Par construction D_n = {Σ_{j=1}^n x_j /2^j | x_j∈{0,1}}. Si tu ajoutes un chiffre binaire tu raffines la partition : D_n ⊂ D_{n+1}. L’union D = ⋃_n D_n est donc contenue dans [0,1[ car chaque élément est une somme de termes ≤ Σ 1/2^j =1, et la valeur 1 n’appartient pas aux sommes finies sauf éventuellement si on autorise la suite infinie (on retient D ⊂ [0,1[).
Par définition pi_n(x) est la plus grande abscisse de D_n inférieure ou égale à x (troncature binaire à n chiffres). Donc pi_n(x) ≤ x et l’écart maximal entre deux points consécutifs de D_n vaut 1/2^n, d’où x < pi_n(x) + 1/2^n.
Les chiffres d_j(x) sont définis par la troncature binaire : d_j(x) est le j-ième bit de la partie décimale binaire de x. Par construction pi_k(x) est exactement la somme des premiers k bits pondérés par 1/2^j, donc pi_k(x)=Σ_{j=1}^k d_j(x)/2^j.
Par définition d_j(x) est un chiffre binaire : il prend la valeur 0 ou 1. Formellement, on extrait successivement la partie entière de 2^j x modulo 2, ce qui ne peut donner que 0 ou 1.
Si x∈D_n alors x = k/2^n pour un entier k dans {0,…,2^n-1}, donc 2^n x = k est entier dans cet intervalle. Réciproquement si 2^n x est entier k dans cet intervalle alors x=k/2^n∈D_n.
La surjectivité est évidente par définition de D_n ; l’injectivité découle de l’unicité de l’écriture binaire finie à n chiffres (si deux n-uplets diffèrent, leur images diffèrent au rang du premier bit distinct). Donc Psi_n est bijective.
Si k≤n la troncature ne prend que les k premiers bits ; si k≥n la troncature reprend tous les n bits et les reste nuls. Donc pi_k(x)=Σ_{j=1}^{min(n,k)} x_j/2^j comme annoncé.
Y_n est construit comme somme Σ_{j=1}^n V_j/2^j où V_j∈{0,1}, donc Y_n ∈ D_n ⊂ [0,1[ presque sûrement. D’où la probabilité 1.
Si x=k/2^n ∈ D_n, alors Y_n prend les valeurs 0/2^n,1/2^n,…,(2^n-1)/2^n équiprobables. Le nombre de valeurs ≤ x est k+1, donc F_n(x)=P(Y_n ≤ x)=(k+1)/2^n = k/2^n + 1/2^n = x + 1/2^n.
G_n(x)=P(Y_n < x). Si x=k/2^n alors il y a exactement k valeurs strictement inférieures (0,...,(k-1)/2^n), d'où G_n(x)=k/2^n = x.
Les variables V_1,…,V_n sont indépendantes et chacune vaut 0 ou 1 avec probabilité 1/2 ; toute combinaison binaire de longueur n est donc de probabilité 2^{-n}. Comme Psi_n est bijective entre {0,1}^n et D_n, Y_n prend chaque valeur de D_n avec probabilité 2^{-n}, donc la loi est uniforme sur D_n.
Si X_n est uniforme sur D_n alors la loi de X_n équivaut à la loi image d’une variable uniforme sur {0,1}^n via Psi_n^{-1}. On peut construire V_k comme les coordonnées du n-uplet binaire correspondant à X_n ; ces coordonnées sont indépendantes et Bernoulli(1/2) car la loi sur {0,1}^n est uniforme.
Pour tout x, D_n ⊂ D_{n+1} donc les répartitions s’affinent ; on a donc F_n(x)=P(Y_n ≤ x) ≤ P(Y_{n+1} ≤ x)=F_{n+1}(x) (monotone croissante). De même G_n(x)=P(Y_n < x) ≤ G_{n+1}(x).
Chaque suite (F_n(x)) et (G_n(x)) est monotone croissante en n et bornée (entre 0 et 1), donc elle converge pour tout x (théorème de la convergence monotone pour suites réelles). D’où convergence simple pointwise.
Si x∈D alors pour n assez grand x∈D_n et on a F_n(x)=x+1/2^n→x et G_n(x)=x pour tout n≥N, donc les limites valent x. Si x=1, en regardant les valeurs limites on obtient aussi convergence vers 1.
Les fonctions de répartition F_n conviennent pour approximer la distribution uniforme sur [0,1]. Par densité de D et propriété d’approximation par les troncs binaires on obtient pour tout x∈[0,1] la convergence F_n(x)→x et G_n(x)→x (la limite est la fonction identité, c’est la fonction de répartition de la loi uniforme sur [0,1]).
Les Y_n distribuent uniformément sur un réseau dyadique de pas 1/2^n, donc la proportion de points de D_n dans I tend vers la longueur de I. Formellement, pour tout intervalle I on encadre P(Y_n∈I) entre F_n(b^-)-G_n(a^+) et en passant à la limite on obtient ℓ(I). C’est la convergence des mesures discrètes vers la mesure de Lebesgue uniforme.
La convergence des mesures P_{Y_n} vers la mesure de Lebesgue uniforme sur [0,1] implique la convergence des intégrales de toute fonction continue bornée. Donc E(f(Y_n))→∫_0^1 f(x) dx. C’est une application directe de la convergence en loi + caractère continu de f.
Applique la convergence pour f(x)=cos(tx). On a varphi_n(t)=E(cos(t Y_n)) et, d’après la question 29, varphi_n(t)→∫_0^1 cos(tx) dx = (sin t)/t (avec valeur 1 en 0). Cela redonne la limite de la Q6. Pour un corrigé pas à pas, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster.
Pour t∈(0,1), g(t)=(t-1)/ln t est continue et bornée ; on considère E(t^{Y_n}) = average des t^{k/2^n} et en passant à la limite on obtient (t-1)/ln t. Par Fubini et convergence dominée, ∫_0^1 (t-1)/ln t dt = lim_{n→∞} ∫_0^1 E(t^{Y_n}) dt = lim_{n→∞} E(∫_0^1 t^{Y_n} dt). Calcul exact : ∫_0^1 t^{x} dt = 1/(x+1), donc ∫_0^1 (t-1)/ln t dt = ∫_0^1 (∫_0^1 t^x dt) dx = ∫_0^1 1/(x+1) dx = ln 2. Donc l’intégrale existe et vaut ln 2.
Oui. D est la réunion dénombrable ⋃_{n≥1} D_n où chaque D_n est fini (2^n éléments). Une réunion dénombrable de ensembles finis est dénombrable. Donc D est dénombrable.
C’est l’argument diagonal de Cantor. Si f est bijective, il existe n0 tel que f(n0)=A. Mais alors n0∈A ⇔ n0∉f(n0)=A, contradiction. Donc il n’existe pas de bijection N→P(N).
Phi envoie un ensemble A sur sa fonction indicatrice 1_A; c’est injectif car deux ensembles distincts ont indicatrices différentes, et surjectif car toute suite binaire correspond à l’indicatrice de l’ensemble des indices où la suite vaut 1. Donc Phi est bijective.
La série est à termes positifs et majorée par Σ 1/2^{n+1}=1, donc tout (x_n) donne un élément de [0,1] : Psi est bien définie. Surjectivité : toute x∈[0,1] possède une écriture binaire (éventuellement non unique) et thus est image d’une suite binaire, donc Psi est surjective. Elle n’est pas injective : les nombres dyadiques (p/2^m) ont deux développements binaires (terminant par 0^∞ ou 1^∞), d’où non-injectivité.
Lambda règle les ambiguïtés dues aux développements binaires terminaux en réaffectant les cas stationnaires pour obtenir une représentation unique dans [0,1[. Pour montrer bijectivité on vérifie : (i) Lambda est injective car les trois cas de définition sont disjoints et déterminent la suite binaire à partir de l’image ; (ii) Lambda est surjective : pour tout y∈[0,1[, tu construis le développement binaire de y ; si y a développement non ambigu, prends la préimage évidente ; si y est dyadique on choisit la convention qui donne une suite stationnaire appropriée. Ainsi Lambda réalise une bijection de {0,1}^N sur [0,1[.
Comme {0,1}^N n’est pas dénombrable (par cardinal de P(N)) et Lambda est bijection entre {0,1}^N et [0,1[, il en résulte que [0,1[ n’est pas dénombrable. C’est la classique preuve de la non-dénombrabilité de l’intervalle par une bijection avec l’ensemble des suites binaires.