Questions du sujet
1. Montrer que $\mathcal{H}(U)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}^2(U, \mathbb{R})$. 2. Soit $f \in \mathcal{H}(U)$. Montrer que si $f$ est $\mathcal{C}^\infty$ sur $U$, alors toute dérivée partielle à tout ordre de $f$ appartient à $\mathcal{H}(U)$. 3. On suppose dans cette question que $U$ est connexe par arcs. Déterminer l’ensemble des fonctions $f$ de $\mathcal{H}(U)$ telles que $f^2$ appartienne aussi à $\mathcal{H}(U)$. 4. Donner une fonction non constante appartenant à $\mathcal{H}(U)$. Le produit de deux fonctions harmoniques est-il une fonction harmonique ? 5. Montrer qu’il existe une constante $\lambda$ réelle telle que $u$ et $v$ soient solutions respectives des équations $z”+\lambda z = 0$ et $z”-\lambda z = 0$} 6. Donner en fonction du signe de $\lambda$ la forme des fonctions harmoniques à variables séparables. 7. Justifier que $g$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}$. 8. Pour tout $(r,\theta) \in \mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}$, exprimer $\frac{\partial g}{\partial r}(r,\theta)$ et $\frac{\partial g}{\partial \theta}(r,\theta)$ en fonction de $\frac{\partial f}{\partial x}(r\cos\theta, r\sin\theta)$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(r\cos\theta, r\sin\theta)$. 9. Exprimer également $\frac{\partial^2 g}{\partial r^2}(r,\theta)$ et $\frac{\partial^2 g}{\partial \theta^2}(r,\theta)$ en fonction des dérivées partielles premières et secondes de $f$ en $(r\cos\theta, r\sin\theta)$. 10. Montrer que $f$ appartient à $\mathcal{H}(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\})$ si et seulement si, pour tout $(r,\theta) \in \mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}$, $$ r^2 \frac{\partial^2 g}{\partial r^2}(r,\theta)+ \frac{\partial^2 g}{\partial \theta^2}(r,\theta) + r\frac{\partial g}{\partial r}(r,\theta) = 0 $$} 11. Déterminer les fonctions harmoniques radiales de $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$, c’est-à-dire les fonctions $f$ appartenant à $\mathcal{H}(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\})$ telles que $(r,\theta)\mapsto f(r\cos\theta, r\sin\theta)$ soit indépendante de $\theta$. 12. Soient $a, b, r_1, r_2$ quatre réels tels que $0 < r_1 < r_2$. Déterminer une fonction $f$ de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ telle que $$ \begin{cases} \Delta f = 0 \\ f(x,y) = a \text{ si } \| (x,y) \| = r_1 \\ f(x,y) = b \text{ si } \| (x,y) \| = r_2 \end{cases} $$ 13. Montrer que, si $f$ n’est pas identiquement nulle, alors $v$ est $2\pi$-périodique. 14. Montrer que, si $f$ est harmonique et non identiquement nulle sur $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$, alors il existe un réel $\lambda$ tel que $u$ soit solution de l’équation différentielle $$ r^2 z''(r) + r z'(r) - \lambda z(r) = 0 $$ et $v$ soit solution de l’équation différentielle $z''(\theta) + \lambda z(\theta) = 0$. 15. Quelles sont les solutions $2\pi$-périodiques de $z''(\theta) + \lambda z(\theta) = 0$ ?} 16. Résoudre $r^2 z''(r) + r z'(r) - \lambda z(r) = 0$ sur $\mathbb{R}^*_+$. 17. En déduire, dans le cas $\lambda = 0$, les fonctions harmoniques à variables polaires séparables. 18. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $z''(\theta) + \lambda z(\theta) = 0$ admette des solutions $2\pi$-périodiques non nulles. Donner ces solutions. 19. Résoudre $r^2 z''(r) + r z'(r) - \lambda z(r) = 0$ sur $\mathbb{R}^*_+$. On pourra considérer, en justifiant son existence, une fonction $Z$ de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$ telle que, pour tout $r>0$, $z(r) = Z(\ln r)$. 20. Quelles sont les solutions se prolongeant par continuité en $0$ ?} 21. Montrer que $f$ admet un maximum en un point $x_0 \in U$. 22. Montrer que $x_0 \in \partial U$ et en déduire que $\forall x \in U,\ f(x) < \sup_{y\in\partial U} f(y)$. On pourra supposer par l’absurde que $x_0 \in U$, justifier qu’il existe $i\in \llbracket 1,n\rrbracket$ tel que $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}(x_0)>0$, et considérer la fonction $\varphi$ définie, pour $t$ réel, par $\varphi(t)=f(x_0+te_i)$, où $e_i$ désigne le $i$-ème vecteur de la base canonique de $\mathbb{R}^n$. 23. Montrer que $g_\varepsilon$ est une fonction continue sur $U$, de classe $\mathcal{C}^2$ sur $U$, et telle que $\forall x \in U$, $\Delta g_\varepsilon(x)>0$. 24. En déduire que $\forall x \in U,\ f(x) \leq \sup_{y\in\partial U} f(y)$. 25. Soient $f_1$ et $f_2$ deux fonctions continues sur $U$, de classe $\mathcal{C}^2$ et harmoniques sur $U$. Montrer que si les fonctions $f_1$ et $f_2$ sont égales sur $\partial U$, alors $f_1$ et $f_2$ sont égales sur $U$.} 26. Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $D(0,R)$ et que ses dérivées partielles se développent en série entière sur $D(0,R)$. Que peut-on en déduire pour la fonction $f$ ? 27. Montrer que $u$ et $v$ sont des fonctions harmoniques sur $D(0,R)$. 28. Montrer que si $f$ ne s’annule pas sur $D(0,R)$ alors $1/f$ se développe en série entière sur $D(0,R)$. 29. Montrer que la fonction $uv$ est harmonique sur $D(0,R)$. 30. Montrer que la fonction $h$ définie sur $D(0,R)$ par $h:(x,y) \mapsto \frac{\partial g}{\partial x}(x,y) – i \frac{\partial g}{\partial y}(x,y)$ se développe en série entière sur $D(0,R)$.} 31. Montrer que si $g$ appartient à $\mathcal{H}(D(0,R))$ alors il existe une fonction $H$ se développant en série entière sur $D(0,R)$ telle que $g$ est la partie réelle de $H$. On pourra considérer une série entière primitive de la série entière associée à la fonction $h$ de la question précédente. 32. Montrer que pour tout $r \in [0,R[$, on a $f(0) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(r\cos t, r\sin t)dt$. 33. Montrer un résultat analogue pour les fonctions harmoniques. 34. Montrer que $\forall r \in [0,R[,~|f(0)|\leq \sup_{t\in \mathbb{R}} |f(r\cos t, r\sin t)|$. 35. Montrer un résultat analogue pour les fonctions harmoniques.} 36. Montrer que si $|f|$ admet un maximum en $0$, alors $f$ est constante sur $D(0,R)$. 37. Montrer le théorème de d’Alembert-Gauss : tout polynôme complexe non constant admet au moins une racine. On pourra procéder par l’absurde, supposer qu’il existe un polynôme ne s’annulant pas et considérer son inverse. 38. Montrer que la fonction $z \mapsto \frac{e^{it} + z}{e^{it} – z}$ est développable en série entière pour $|z| < 1$ et calculer son développement en série entière. En déduire que la fonction $(x,y) \mapsto g(x+iy)$ est une fonction harmonique sur $D(0,1)$. 39. Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ tel que $|z| < 1$, $$ \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \mathcal{P}(t, z) dt = 1. $$ 40. Soit $\varphi \in \mathbb{R}$. Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ tel que $|z| < 1$, $g(z)=\frac{1}{2\pi} \int_{\varphi}^{\varphi+2\pi} h(t)\mathcal{P}(t,z) dt$.} 41. Montrer que, pour tout $r \in [0,1[$ et tous réels $t$ et $\theta$, $$ \mathcal{P}(t, re^{i\theta}) = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos(t-\theta) + r^2} $$ 42. Montrer que, pour tout $\delta \in ]0, \pi[$ et tout réel $\varphi$, $$ \int_{\varphi + \delta}^{\varphi + 2\pi - \delta} \mathcal{P}(t, z) dt \longrightarrow_{z \to e^{i\varphi}} 0 $$ 43. En utilisant le théorème de Heine, montrer que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\delta>0$ tel que, pour tout nombre réel $\varphi$ et tout nombre complexe $z$ vérifiant $|z|<1$, $$ |g(z)-h(\varphi)| \leq \sup_{t\in\mathbb{R}}|h(t)| \frac{1}{\pi} \int_{\varphi+\delta}^{\varphi+2\pi-\delta} \mathcal{P}(t, z) dt + \varepsilon $$ 44. Montrer l’existence et l’unicité de la solution au problème de Dirichlet étudié dans cette partie.}FAQ
H(U) d\u00e9signe l’ensemble des fonctions harmoniques sur U (solutions de \u0394f=0). C’est un sous-espace vectoriel parce que la combinaison lin\u00e9aire de deux solutions de l’op\u00e9rateur lin\u00e9aire \u0394 reste une solution, et l’espace contient la fonction nulle. Dans le corrig\u00e9 tu trouveras la justification formelle et les propri\u00e9t\u00e9s alg\u00e9briques associ\u00e9es.
L’op\u00e9rateur Laplacien commute avec les d\u00e9rivations partielles lorsqu’on est en classe C^\u221e ; appliquer une d\u00e9riv\u00e9e \u00e0 \u0394f=0 donne \u0394(\partial^\u03b1 f)=0. La remarque est standard et expliqu\u00e9e dans le corrig\u00e9 pour te familiariser avec les manipulations d’ordre sup\u00e9rieur.
En g\u00e9n\u00e9ral non : la classe des fonctions harmoniques n’est pas ferm\u00e9e par le produit. Il existe des exemples concrets (pris dans le corrig\u00e9) montrant que \u0394(uv) n’est pas n\u00e9cessairement nulle, sauf dans des cas particuliers (par exemple si l’une est constante).
On cherche des solutions f(r,\u03b8)=u(r)v(\u03b8); l’\’equation de Laplace en polaires s’organise en deux \u00e9quations ordinaires li\u00e9es par un param\u00e8tre spectral \u03bb. Le principe est d\u00e9taill\u00e9 pas \u00e0 pas dans le corrig\u00e9, avec l’interpr\u00e9tation des solutions selon le signe de \u03bb.
Les harmoniques radiales d\u00e9pendent seulement de r et satisfont une \u00e9quation ordinaire r^2 u” + r u’ = 0 dont la famille g\u00e9n\u00e9rale est explicite (constante et log r). Le corrig\u00e9 montre la d\u00e9rivation via les coordonn\u00e9es polaires et comment imposer des conditions aux cercles.
Le noyau de Poisson permet d’exprimer la solution harmonique \u00e0 l’int\u00e9rieur du disque \u00e0 partir des valeurs au bord (formule int\u00e9grale). C’est l’outil canonique pour la r\u00e9solution explicite du probl\u00e8me de Dirichlet et la preuve d’unicit\u00e9 est rappel\u00e9e dans le corrig\u00e9.
Le principe dit qu’une fonction harmonique atteint ses extr\u00eames sur le bord d’un domaine connexe ; il emp\u00eache un maximum strict interne sauf si la fonction est constante. Associ\u00e9 \u00e0 une condition de bord, c’est exactement l’argument utilis\u00e9 pour d\u00e9montrer l’unicit\u00e9 de la solution du probl\u00e8me de Dirichlet.
Sur un disque, toute fonction harmonique r\u00e9guli\u00e8re admet localement un conjugu\u00e9 harmonique et donc se pr\u00e9sente comme la partie r\u00e9elle d’une fonction holomorphe. Le corrig\u00e9 te fait suivre la construction via s\u00e9ries entières et primitives.
Les d\u00e9riv\u00e9es partielles d’une harmonique se d\u00e9veloppent en s\u00e9rie entières ; cela permet de repr\u00e9senter localement f comme partie r\u00e9elle d’une s\u00e9rie holomorphe et d’utiliser les propri\u00e9t\u00e9s analytiques (principe du maximum, prolongement, etc.). Les points techniques sont expliqu\u00e9s dans le corrig\u00e9.
La connexit\u00e9 par arcs sert \u00e0 justifier l’unicit\u00e9 de certains conjugu\u00e9s harmoniques et des constantes spectrales ; le disque permet l’usage de s\u00e9ries entières ; l’annulus (ou \u00e9crou) met en jeu les solutions radiales et les conditions aux cercles. Le corrig\u00e9 distingue clairement quels arguments topologiques sont n\u00e9cessaires \u00e0 chaque \u00e9tape.
Travaille les arguments modulaires : principe du maximum, s\u00e9paration des variables, noyau de Poisson et s\u00e9ries entières ; ce sont des outils r\u00e9currents aux oraux et \u00e9crits. Pour obtenir le corrig\u00e9 complet, les exercices corrig\u00e9s et un tableau de bord personnalis\u00e9, d\u00e9bloque les corrig\u00e9s sur Pr\u00e9pa Booster \u2014 tu acc\u00e8deras \u00e0 l’ensemble des explications pas \u00e0 pas.
Le corrig\u00e9 comporte un passage d\u00e9taill\u00e9 montrant comment exprimer \u0394 en polaires, calculer les d\u00e9riv\u00e9es partielles et r\u00e9cup\u00e9rer la \u00e9quation aux d\u00e9riv\u00e9es ordinaires. Ces manipulations sont cruciales pour les probl\u00e8mes radiaux et pour la s\u00e9paration des variables \u2014 tu peux d\u00e9bloquer les corrig\u00e9s sur Pr\u00e9pa Booster pour voir les d\u00e9tails calculatoires.